安徽省部分重点高中2025-2026学年高二下学期4月期中学业质量检测试卷 数学（含解析）

这是一份安徽省部分重点高中2025-2026学年高二下学期4月期中学业质量检测试卷 数学（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若函数在处可导，且，则（ ）．
A．B．C．1D．3
2．某合唱队有男队员15人，女队员20人，现需从中选出一名同学担任指挥，则不同的选法共有（ ）．
A．15种B．20种C．35种D．300种
3．对于事件A和B，，，，则（ ）．
A．0.3B．0.48C．0.5D．0.6
4．射击中每次击中目标得2分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（ ）．
A．0.63B．1.4C．2.1D．4.2
5．若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
6．现将3名人工智能课程教师，3名编程竞赛教练，4名创客空间导师全部分配到三所不同的中学中，要求每所中学都要有这三类教师，则不同的安排种数为（ ）．
A．864B．1296C．2592D．5184
7．春天来了，万物复苏，校园楼下的花坛里种了不同颜色的花．如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则不同的栽种方案数有（ ）．
A．240种B．360种C．420种D．720种
8．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（ ）．
A．第2026行中第1012个数和第1014个数相等
B．
C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则
D．第7行的第8个数、第8行的第8个数、第9行的第8个数及第10行的第8个数之和等于第11行的第9个数
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．下列说法正确的是（ ）．
A．已知随机变量，则
B．设随机变量X等可能取1，2，3，⋯，10，则
C．设随机变量X服从两点分布，若，则成功概率
D．若随机变量的概率分布为且a是常数，则
10．下列各项中，正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
11．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开j号箱子，下列结论正确的是（ ）．
A．
B．主持人打开3号箱的概率
C．若，且甲更改选择，则他获奖的概率均为
D．若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则______．
13．是函数与的公切线，则______．
14．已知关于x的方程在上有解，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）
某企业开展内部知识竞赛，参赛的员工需要从8道题中随机抽取3道来回答．竞赛规则规定：每题回答正确得6分，回答不正确得分．
（Ⅰ）已知甲员工每题回答正确的概率均为0.6，且各题回答正确与否之间没有影响，记甲答对的题目个数为X，求X的期望和方差；
（Ⅱ）已知员工乙能正确回答8道题中的5道，记乙的总得分为Y，求Y的分布列．
16．（本小题15分）
已知的展开式中共有10项．
（Ⅰ）求展开式中的系数；
（Ⅱ）当时，求被4整除的余数．
17．（本小题15分）
已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调区间；
（Ⅱ）当时，求函数在上的最小值．
18．（本小题17分）
亳州百草园为了让游客有更好的游玩体验，特推出代步自行车租用服务已知有脚踏自行车A与电动自行车B两种车型，采用分段计费的方式租用．A型车每30分钟收费10元（不足30分钟的部分按30分钟计算），B型车每30分钟收费20元（不足30分钟的部分按30分钟计算），现有甲、乙、丙、丁四人，分别相互独立地到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲、乙、丙、丁不超过30分钟还车的概率分别为，，，，并且四个人每人租车都不会超过60分钟，甲、乙、丙均租用A型车，丁租用B型车．
（Ⅰ）求甲、乙、丙、丁四人所付的费用之和为50元的概率；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率；
（Ⅲ）设甲、乙、丙、丁四人所付费用之和为随机变量，求的概率分布列．
19．（本小题17分）
设，（其中为的导函数）．
（Ⅰ）证明：将A中元素适当排序后能构成等差数列；
（Ⅱ）设，求的最小值；
（Ⅲ）设，，试比较与的大小，并说明理由．
2024级高二第二学期期中学业质量检测数学试卷
参考答案
1．B
2．C
【详解】选一名指挥，可以从15名男队员中选，有15种选法；也可以从20名女队员中选，有20种选法．
根据分类加法计数原理，总选法数为种．故选：C．
3．D
【详解】，所以．
又，所以．
4．D
【详解】由题意可知，射击3次得分X的可能取值为0，1，1，3，每次射击击中目标的概率是0.7，且每次射击击中目标与否互不影响，
所以，射击3次得分，，
设，所以．
5．A
【详解】令得：
设，则，令得．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以在处取得极大值，如图．
6．B
【详解】求不同的安排种数需要分成3步，先把4名创客空间导师按分成3组，并分配到三所学校，有种方法，再把3名人工智能课程教师分配到三所学校，有种方法，最后把3名编程竞赛教练分配到三所学校，有种方法，
由分步乘法计数原理得不同的安排种数为．故选B．
7．C
【解析】把图中的区域分别标上A，B，C，D，E，
用三种颜色：区域和相同，（种），
用四种颜色：区域或相同，共有2种，再选取四种颜色，及（种），
用五种颜色：（种）．一共有（种）．
8．D
【详解】对于A，因“杨辉三角”的第2026行中第1012个数和第1014个数分别为和，
因，故，故A错误；
对于B，因，…
，
则，故B错误；
对于C，第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为，
所以，C错误；
对于D，因，而，故D正确．
9．ACD
【详解】对于A，因，则，
故，故A正确；
对于B，因，包含1，2，3，4，5五种情况，则，故B错误；
对于C，随机变量X服从两点分布，则，
又，解得，故C正确；
对于D，依题意，，解得，故D正确．
故选：ACD．
10．ACD
【详解】对于选项A，因为，所以A正确；
对于选项B，根据组合数性质知道，所以B选项错误；
对于选项C，，，
因此，所以C选项正确；
对于选项D，全班n个男生n个女生，选取n个人留下来搞卫生，左边是从性别的角度考虑，用分类加法得，
所以．故选：ACD．
11．BC
【详解】对于A选项，奖品在1号箱里，主持人可打开2、3、4号箱，
故，故A错误；
对于B选项，奖品在1号箱里，主持人可打开2、3、4号箱，故，
奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故，
奖品在3号箱里，主持人打开3号箱的概率为0，故，
奖品在4号箱里，主持人只能打开2、3号箱，故，
由全概率公式可得：，故B正确；
对于C、D选项，（1）若甲不更改选则时，由贝叶斯公式计算
．
从而．
（2）当甲更改选择时
①若甲改选2，甲中奖的概率为．
②若甲改选3，甲中奖的概率为．
③若甲改选4，甲中奖的概率为．
，，故选项C正确,
选项D错误．综上，选项BC正确．
12．【答案】34
【详解】令得，
令得，
得，．
13．【答案】
【详解】设的切点为，
∴，∴，∴切点为，∴，
同理可得，∴．
14．【答案】
【详解】可以看成到的距离，
方程可以看成直线．
所以
设，则，
，，
所以单调，令，，，
因为在上单调递增，所以，，
，
所以．
15．【解析】（1）设甲答对题目的数目为X，则，
可得，．
（2）设乙答对的题目数为Z，可知Z的可能取值为0，1，2，3．
则，
所以Y的可能取值为，2，10，18．
；；
；．
所以Y的分布列为：
16．【解析】（1）由题意可得，，
∴，∴的系数是5376．
（2）当时，
即余数是3．
当，被4整除的余数为3．
17．【详解】（1）易得定义域为R．
当，．
，，
则在上单调递增，在上单调递减，
当，．
ⅰ．若，，，，
则在上递增，在上递减．
ⅱ．若，令或．
当，此时，
，
则在，上单调递增，在上单调递减，
当，此时在R上单调递增，
当，此时，
，
则在，上单调递增，在上单调递减．
综上可得：当时，在上递增，在上递减，
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在R上单调递增；
当时在，上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）分析可得，
若，则在上单调递减，
；
若，则在上单调递减，在上单调递增，
则此时；
综上可得：时，；
时，．
18．【解析】解：（1）记“甲、乙、丙、丁四人所付的费用之和为50元”为事件A，
即4人均不超过30分钟，
则．
答：求甲、乙、丙、丁四人所付的费用之和为50元的概率是．
（2）由题意，甲、乙、丙、丁在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为，，，，
设“甲、乙、丙三人所付费用之和等于丁所付费用”为事件B，
则．
答：甲、乙、丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率是．
（3）①若“4人均不超过30分钟”此时随机变量的值为50，即为事件A，
由（1）所以．
②记“4人中仅有一人超过30分钟”为事件C，事件C又分成两种情况“超过30分钟的这一人是甲、乙、丙中的一个”和“超过30分钟的这一人是丁”，分别将上述两种情况记为事件和．
ⅰ.事件对应的的值为50，此时．
ⅱ.事件对应的的值为70，此时，．
③记“4人中仅有两人超过30分钟”为事件D，事件D又分成两种情况“超过30分钟的两人是甲、乙、丙中的两个”和“超过30分钟的两人是甲、乙、丙中的一个和丁”，分别将上述两种情况记为事件和．
ⅰ.事件对应的的值为70，此时．
ⅱ.事件对应的的值为80，此时．
④记“4人中仅有三人超过30分钟”为事件E，事件E又分成两种情况“超过30分钟的三人是甲、乙、丙”和“超过30分钟的三人是甲、乙、丙中的两个和丁”，分别将上述两种情况记为事件和．
ⅰ.事件对应的的值为80，此时．
ⅱ.事件对应的的值为90，此时．
⑤记“4人均超过30分钟”为事件F，则随机变量的值为100，
此时．
综上：随机变量的所有取值为50，70，80，90，100且
，
，
，
，，
所以甲、乙、丙、丁四人所付费用之和的分布列为
19．（1），
．
将A中元素按照从小到大排列分别设为：，，…，，…，
则，，
∴，．
所以将A中元素从小到大排序后能构成等差数列，首项是，公差是．
（2），得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
．
（3）由（1）可设，，
，
，，
所以与的大小关系等价于与的大小关系，
由（1）知：，
（其中）．
由（2）知，当时，
，
所以，
即，所以．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
D
D
A
B
C
D
ACD
ACD
BC
Y
10
25
P
50
70
80
90
100
P