安徽省部分重点中学2024-2025学年高二下学期期中联考 数学试卷（含解析）

这是一份安徽省部分重点中学2024-2025学年高二下学期期中联考 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．的小数点后第三位数字为（ ）
A．B．C．D．
2．从1，2，…，20这20个数中，任取三个不同的数.则这三个数构成等差数列的概率为.
A．B．C．D．
3．若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
4．设函数，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C． D．1
5．若，则等于（ ）
A．49B．55C．120D．165
6．若函数有极值点，，且则关于x的方程的不同实根个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．设等差数列的前项和为，且，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．除以8所得的余数为1D．
10．商场某区域的行走路线图可以抽象为一个的正方体道路网（如图，图中线段均为可行走的通道），甲、乙两人分别从，两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，为止，下列说法正确的是（ ）

A．甲从必须经过到达的方法数共有9种
B．甲从到的方法数共有180种
C．甲、乙两人在处相遇的概率为
D．甲、乙两人相遇的概率为
11．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，是的极大值点
B．存在实数，使得成立
C．若在区间上单调递减，则的取值范围是
D．若存在唯一的零点，且，则的取值范围是
三、填空题
12．将A， B， C， D ，E五名教师安排到甲，乙，丙三所学校，若每所学校至少安排一名教师，每名教师只去一所学校，则不同的安排方法 种
13．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
14．“算两次”是一种重要的数学方法，也称做富比尼（G. Fubini）原理．“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”（波利亚著《数学的发现》第一卷），即将一个量“算两次”．由等式，，，利用“算两次”原理可得 ．（结果用组合数表示）
四、解答题
15．已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是.
（1）求的值；
（2）求展开式的常数项；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项.
16．若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列满足，且．
(1)证明：数列是“平方递推数列”；
(2)设数列的前项乘积为，即．若，数列的前项和为，求使得的的最小值．
17．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围.
18．已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
19．已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围；
(3)求证：当时，.
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为
，
因此，的小数点后第三位数字为.
故选A.
2．【答案】C
【详解】从这20个数中任取三个数，有种取法.
若取出的三个数a、b、c成等差数列，则a+c=2b.
故a与c的奇偶性相同，且a、c确定后，b随之而定.
从而，所求概率为. 选C.
3．【答案】C
【详解】由，得，故.
由题意得，，，
由得，.
设，，则，
∴在上单调递增，
∵，∴，
∴，即，，
∴，令，得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
∴当时，取极小值也是最小值，最小值为．
故选C．
4．【答案】D
【详解】当时，，不满足恒成立；
当时，令，可得或，
函数的零点为和，
因为恒成立，所以，
所以，
令，则，
令，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
则，
所以的最小值为1.
故选D.
5．【答案】D
【详解】因为二项式展开式的通项为（且），
又，
所以
.
故选D.
6．【答案】A
【详解】，，是方程的两根，
由，得或，
即的根为或的解．
∵根据题意画图：
，
由图象可知有2个解，有1个解，因此的不同实根个数为3.
故选A．
7．【答案】B
【详解】因为数列满足，，即，
当时，则有，
所以，，，，
上述等式全部相加得，
所以，
也满足，故对任意的，，
所以，
由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，因为，，故，
所以的最小值为.
故选B.
8．【答案】A
【详解】因为，
当时，则，
两式相减得，
整理可得，
且，则，可得，即，
可知等差数列的公差，
当时，则，解得；
所以，可知数列为正奇数列，
对于数列，
当时，可得为偶数；
当时，可得为奇数；
所以数列与的公共项从小到大排列得到数列的通项公式为，
则，
所以.
故选A.
9．【答案】BCD
【详解】根据题意可知，故，
故，
对于A，令，则，令，则，故，故A错误，
对于B，，
故为负值，为正，且令时，，
因此，B正确，
对于C, ,故除以8所得的余数为1，C正确，
对于D，对求导可得
，令可得，故D正确，
故选BCD.
10．【答案】ACD
【详解】对于A，从点到点，需要向上走2步，向前走1步，
从点到点，需要向右走2步，向前走1步，
所以，甲从必须经过到达的方法数为种，A正确；
对于B,从点到点，一共要走6步，其中向上2步，向前2步，向右2步，
所以，甲从到的方法数为种，B错误；
对于C，甲从点运动到点，需要向上、前、右各走一步，
再从点运动到点，也需要向上、前、右各走一步，
所以，甲从点运动到点，且经过点，不同的走法种数为种，
乙从点运动到点，且经过点，不同的走法种数也为36种，
所以，甲、乙两人在处相遇的概率为，C正确；
对于D，若甲、乙两人相遇，则甲、乙两人只能在点、、、、、、，
甲从点运动到点，需要向上走2步，向前走1步，再从点运动到点，需要向前走1步，向右走2步，
所以甲从点运动到点且经过点的走法种数为，
所以甲、乙两人在点处相遇的走法种数为，
同理可知，甲、乙两人在点、、、、处相遇的走法种数都为，
因此，甲、乙两人相遇的概率为，D正确．
故选ACD．
11．【答案】ABD
【详解】A：，令，得或.
当时，，令或，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极大值点，故A正确；
B：，
所以，
整理得，
所以，解得，即存在使得，故B正确；
C：若在上单调递减，则在上恒成立，
即不等式在上恒成立，
又在上单调递减，其值域为，所以，故C错误；
D：由选项A知，当时，，
令，解得，所以函数又两个零点，不符合题意；
当时，，令或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，极小值，
且当时，，当时，，
要使存在唯一的零点，则，
解得或（舍去），所以，此时，不符合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为，极小值，
且当时，，当时，，
要使存在唯一的零点，且，则，
解得或（舍去），所以.
综上，的取值范围为，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】由题意，五名教师分配到三所学校，有两类分法，
共有种分法，
则这三组老师分配到三所不同学校，共有种安排方法.
13．【答案】2
【详解】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，
则由，，即.
14．【答案】
【详解】因为，因此是展开式中项的系数，而的展开式中项的系数为，
所以．
15．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为，
所以，即，则，或（舍去）；
（2）展开式的通项为（，），
令，解得，所以，所以常数项为第5项60.
（3）系数的绝对值为
，则
所以，即，，所以，
因此，系数绝对值最大的项是.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）由题知，所以数列是“平方递推数列”．
（2）（i）由（1）知，又，有，
则，
因，则，则，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
则，即，
则，
则，
因，则，
因为对任意的，，
所以数列是递增数列，
又知，当时，，
当时，，
故的最小值为．
17．【答案】（1）答案见详解
（2）
【详解】（1）的定义域为，，
若，则，则在上单调递减；
若，则由得.
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）若，由（1）知，至多有一个零点.
若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，因为单调递增，单调递增，所以单调递增，
所以，，故没有零点；
③当时，由于，即，
又，
故在上有一个零点.
设正整数满足，则，
故在上有一个零点.
综上，的取值范围为.
18．【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.
（2）求出函数的二阶导数，就,,分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）当时，，，
故，
因为在上均为增函数，
故在上为增函数，而，
故当时，，当时，，
故在处取极小值且极小值为，无极大值.
（2），
设，
则，
当时，，故在上为增函数，
故，即，
所以在上为增函数，故.
当时，当时，，
故在上为减函数，故在上，
即在上即为减函数，
故在上，不合题意，舍去.
当，此时在上恒成立，
同理可得在上恒成立，不合题意，舍去.
综上，.
【思路导引】导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.
19．【答案】(1)答案见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【详解】（1）由题设，则且，
当，，即在上单调递增，
当，，即在上单调递减，
当，，即在上单调递增；
（2）由题设，令，则，
对时，恒成立，且，只需，即，
另一方面，时，，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，则，满足题设，
综上，；
（3）由（2）取，在上，
令，，则，即，
所以，则，得证.