安徽省安庆市重点高中2025-2026学年高二下学期4月检测试卷数学（含解析）

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这是一份安徽省安庆市重点高中2025-2026学年高二下学期4月检测试卷数学（含解析），共40页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．可表示为（）
A．B．C．D．
2．在数列中，，，则的值为（）
A．B．C．D．
3．甲、乙、丙、丁四人从网球、乒乓球、羽毛球这三门选修课中，每人任选一门参加，则不同的选择方案共有（）
A．B．C．D．
4．下列导数运算正确的是（）
A．B．
C．D．
5．已知等差数列的前n项和为，且，则=（）
A．76B．68C．38D．34
6．被7整除的余数为（）
A．2B．3C．4D．5
7．已知等比数列的前n项积为，，，则使得成立的正整数n的最大值为（）
A．7B．13C．14D．15
8．已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则a的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）
A．函数在区间上单调递增
B．函数在区间上单调递增
C．在处，函数取得极值
D．在处，函数取得极值
10．甲、乙、丙、丁四名大学生到A，B，C三家公司参加实习工作，每名大学生仅去一家公司实习，每家公司至少安排一名大学生，则下列说法正确的是（）
A．共有36种不同的安排方法
B．若C公司需要两名大学生，则有12种不同的安排方法
C．若甲不能安排在C公司，则有24种不同的安排方法
D．若甲、乙不能在同一家公司，则有27种不同的安排方法
11．下列等式中正确的是（）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．函数在区间上的平均变化率为______．
13．已知，则=______，=______.
14．在数列中，，，，记数列的前n项和为，则=______.
四、解答题
15．（1）2名女生和4名男生排成一排，若女生不相邻，有多少种排法？
（2）用0、1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位数且是偶数？
（3）从5名男生和4名女生中选出4人参加一项无人机表演赛，如果这4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？
16．已知函数在处取得极小值.
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
17．在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是.
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大的项.
18．在等差数列中，，，数列的前n项和为，且满足.
(1)求和的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和；
(3)设表示不超过x的最大整数，如，，求的值.
19．已知函数.
(1)当时，求的图象在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)当时，求证： .
参考答案
1．B
【详解】.
2．B
【详解】因为，，可得，
.
3．D
【详解】甲、乙、丙、丁四人从网球、乒乓球、羽毛球这三门选修课中，每人任选一门参加，
可以分4步完成，每一步由1人选择一门选修课，每步均有3种选法，
根据分步乘法计数原理，故共有种不同的选择方案.
4．C
【详解】，故A错误；，故B错误；
，故C正确；，故D错误.
5．A
【详解】因为为等差数列，所以，
又，所以，解得，
所以.
6．B
【详解】由题可知，，
则其展开式的通项公式为，
由通项公式可得，只有时，不能被7整除，
其余项均能被7整除，故被7整除的余数为3．
7．C
【详解】设等比数列的公比为q，
因为，
假设，则，，不满足，不合题意，
故，则，
因为，则，，
可得当时，；当时，；
又因为，，
故使得成立的正整数n的最大值为14.
8．A
【详解】若对任意的，存在，使得成立，
等价于，，
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以对任意的恒成立，
所以.
令，，
所以，
当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以，即a的取值范围是.
9．BC
【详解】对于A，由图象知，当时，，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，当时，，
所以函数在区间上单调递增，故B正确；
对于C，是导函数的一个变号零点，
故当时，函数取得极值，故C正确；
对于D，不是导函数的一个变号零点，
故当时，函数不能取得极值，故D错误.
10．ABC
【详解】先将四人分为三组，人数为2,1,1，有种分法，分配到三家公司，有种分法，所以共有种不同的安排方法，故A正确；
若C公司需要两名大学生，先选2人去C公司，有种；剩余2人必须分别去A和B，有种，共种，故B正确；
若甲不能安排在C公司，分类计算：
第一类：C公司安排1人，甲不能去C，因此从剩余3人中选1人去C，共种选法；
剩余3人分到A，B公司（每家至少1人），共有种安排，这类总方法：.
第二类：C公司安排2人，甲不能去C，因此从剩余3人中选2人去C，共种选法；
剩余2人全排列到A，B公司，共种安排，这类总方法：.
总安排方法为种，因此C选项说法正确；
甲，乙在同一家公司的安排方法有种，所以甲，乙不能在同一家公司的安排方法有种，故D错误.
11．BCD
【详解】若m=2，n=3，此时，，故A错误；
，又，
所以原式，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为，所以，故D正确.
12．4
【详解】函数在区间上的平均变化率为．
13． 1024 780
【详解】令，得.
为的系数.
若从10个式子中取出0个，则需要从中取出3个2x，7个1，
则得到的项为；
若从10个式子中取出1个，则需要从中取出1个2x，8个1，
则得到的项为；
若从10个式子中取出大于或等于2个，则无法得到含的项.
综上，含的项为，则含项的系数为780，即.
14．
【详解】由，得，又，
所以是以为首项，以为公差的等差数列，所以得，
故，得，
所以，
所以.
15．（1）480（2）156（3）120
【详解】（1）先排4名男生，有种排法，
这4名男生之间和两端有5个位置，从中选取2个位置排女生，有种排法，
因此共有种不同排法.
（2）若个位数为0，则可以组成个无重复数字的四位数且是偶数；
若个位数为2或4，则千位数有4种不同选法，可以组成个无重复数字的四位数且是偶数.
综上，组成无重复数字的四位数且是偶数的个数为60+96=156.
（3）若这4人中有1个男生，3个女生，则有种选法；
若这4人中有2个男生，2个女生，则有种选法；
若这4人中有3个男生，1个女生，则有种选法.
综上，一共有20+60+40=120种选法.
16．(1)
(2)，
【详解】（1）解：（1）由题意知，
又在处取得极小值，所以，
解得或.
当时，，令，解得或，
令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，不符合题意；
当时，，令，解得或，
令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，符合题意.
综上，.
（2）由（1）知，又，，
，，
所以，.
17．(1)672
(2)
【详解】（1）在的展开式中，
第2项与第3项的二项式系数之比是，解得，
则其通项为，，.
令，解得，所以常数项为.
（2）由（1）知：，，，
设展开式中系数最大的项为第项，则，
即，整理可得，
解得，所以，
所以展开式中系数最大的项为.
18．(1)，
(2)
(3)48
【详解】（1）设等差数列的公差为d，又，，
所以，解得，所以，
当时，，得；
当时，由，得，所以，
所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以.
（2）由，得，
所以，则，
所以，
所以.
（3）由题意知，
由，，得，，
故，，…，，
以上各式相加，得 .
由，，得，
故，，……，，
以上各式相加，得，
则.
综上，，所以 .
19．(1)
(2)当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，所以，，
所以，
所以的图象在处的切线方程为，即.
（2）的定义域为，，
当时，，此时在上单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，若，即，，所以在上单调递增；
若，即，令，解得或，
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（3）当时，，要证，即证.
令，则，易得在上单调递增，
又，，
所以，使得，故，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，所以 .