浙江省宁波市镇海中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷含解析（word版）

这是一份浙江省宁波市镇海中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷含解析（word版），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 设全集为 ,若 ,则集合 等于
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】集合 .
2. 已知 ,则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ,可得 .
3.已知 是一元二次方程 的两个正根,则 “ 且 ” 是 “ 且 ” 的条件
A. 充分必要 B. 必要不充分 C. 充分不必要 D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】 时, 且 ,当 时可证明条件充分不必要 .
4.函数 的图象大致是
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】由题意, 为奇函数, .
5.已知函数 在 单调递减，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意, ,由 向右移 个单位,向上移 1 个单位得到,由单调性可知 需在 的范围内, .
6.已知 ,则
A. B. C. 1012 D. 1013
【答案】A
【解析】原式 ,
所以原式 .
7.已知 为正实数，函数 在区间 上的最小值为 ，在区间 上的最小值为 ，当 变化时，下列不可能的是
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
【答案】C
【解析】 ,令 ,
则问题转化为 在 的最小值为 和 的最大值为 ,
① 当 时， ， 在这些区间上单调递增，则 是可能的；
② 当 则 在 有最小值,在 有最大值,则 是可能的;
③ 当 ,则 在 有最小值,在 有最大值则 是可能的,所以 是不可能的.
8.设函数 ,若函数 在区间 上的最大值为 ,则 的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ,则 ,则 ,
则 ,这表示 与直线 之间的距离,
若 在值域 内,则函数的最大值为 ;
若 在函数的值域外，最大值会更大；
为了使最大值最小, 我们需要平衡这些距离.
考虑 在区间 内:
此时 ,显然 ,所以 ,
因此,当 时,函数的最大值为 ,要使 最小, 应取最大值,即 ,
此时最大值为 .
考虑 在区间 内:
此时函数的最大值为 ,即 ,
当 时,即 时,最大值最小,此时最小值为 ,
比较两种情况的最小值: ,所以, 的最小值为 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数 ，则下列说法中正确的是
A. 为奇函数 B.
C. 有 3 个零点D.
【答案】ABD
【解析】对于 选项: ,故 为奇函数,故 正确;
对于 选项: 因为 为奇函数,所以 ,则 ,又
时, 单调递增,所以 单调递减,所以 ,
故 B 正确;
对于 选项: 令 ,所以只有一个零点,故 错误;
对于 选项: ,又因为 ,所以 ,故 正确.
10.已知 ,则下列命题一定正确的是
A. B.
C. 若 ,则 D. 若 ,则
【答案】AC
【解析】对于 选项: ，同构，令 ，则 ， 随着 的增加而增加,所以 故 正确;
对于 选项: 时， ，所以不一定成立，如 ,故 B 错误;
对于 选项: ,所以 ,所以 ,故 正确; 对于 选项:因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，显然 ， 不一定成立,如 ,故 错误.
11.设二维实向量空间为 ,若 且满足以下所有条件,则称 为 “完美集”:
① ；
②对任意的 ，任意 ，都有
则下列命题正确的是
A. 若 为 “完美集”，则集合 也是 “完美集”
B. 若 都是 “完美集”,则集合 也是 “完美集”
C. 若 都是 “完美集”,且 ,则 也是 “完美集”
D. 若 都是 “完美集”,则 也是 “完美集”
【答案】BC
【解析】A 项: 设 为完美集 (凸集), .
反例: 取 (单点集,显然是凸集),则 ,即去掉原点的直线 。取点 和 ,它们都属于 ,取 ,则 ,因此 不是完美集, 故 A 错误;
B 项: 设 都是完美集, .
非空性: 非空,故 非空;
凸组合验证: 任取 ,则存在 ,使得 , ,对任意 , 因为 是凸集, ,故上式属于 ,因此 是完美集,故 B 正确. 项: 设 都是完美集,且 .
非空性: 条件已保证 ;
凸组合验证: 任取 ,则 且 ,因此 是凸集,对任意 且 ,故 ,因此 是完美集,故 正确;
D 项: 设 都是完美集, 判断且 是否为完美集.
反例: 取 ( 轴正半轴,凸集), ( 轴正半轴,凸集),它们的并集 是两条正半轴的并,取点 ,取 ,则 , 这个点不在 中,故 不是凸集,故 错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知 ,若 ,则 的最小值为________.
【答案】
【解析】因为 ,当且仅当 时等号成立,故答案为 .
13.已知函数 的部分图象如图所示,则 _____.
【答案】2
【解析】根据 图像的对称性,图中 到 的部分恰好是半个周期, 所以 .
14.已知 的三个内角分别为 ，则 的最大值为________.
【答案】
【解析】要求最大值, 则令 ,
此时有 ,
则原式 ,当且仅当 时,取得最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知集合 ，集合 .
(1)当 时，求集合 ；
(2)若 是 的必要不充分条件，求 的取值范围 .
【解析】(1)当 时, ,故 .
(2)由 是 的必要不充分条件得,集合 是集合 的真子集,
,则 或 ,解得 .
16.点 为 内的一点,满足 ,过点 的直线与 分别交于点 , 且满足 ,其中 .
(1)用 表示 ；
(2)求 的最小值.
【解析】(1)由 ，得 ，
化简得 .
(2) 三点共线，故存在 ，使得 ， .
所以 ,得 ,
又 ,解得 ,当且仅当 时取到等号,
故 的最小值为 .
17.已知 是 的三个内角,且满足 .
(1)求 的值；
(2)若 ；
① 求 的值；
② 求 边上的高.
【解析】）
(1)由正弦定理得， ， 根据余弦定理 ,解得 .
(2)① ，
则有 ，解得 ，故 .
② ，
由 , 得 ,
由 ,得 ,故 ,
解得 或 ,故 ,即 边上的高为 .
18.设函数 .
(1)若 ，求函数 的零点；
(2)若函数 在区间 上存在零点，求实数 的取值范围；
(3)设 ，若对任意的 ，存在 ，使得不等式 成立,求实数 的取值范围.
【解析】(1)当 时,方程 ,即 ,
可得 ,解得 或 ,可得 或 ,
所以函数 的零点为 0 和 .
(2)由方程 ，可得 ，
即 ,可得 ,即为 ,
令 ,当 时,可得 ,
可得关于 的方程 在 上有解,
令 ,可得 在 单调递减,在 单调递增,
且 ,
则满足 ,解得 ,
所以实数 的取值范围为 .
(3)不等式 ,可化为 ,
因为对任意的 ,不等式 ,
由函数 在 上单调递减,可得 ,
即 ,可得 ,即 ,
所以存在 ,使 成立,即不等式
令 , 当 时,可得 ,
函数 在 上为单调递增函数,所以 ,
函数 在 上为单调递增函数,所以 ,
所以 ,解得 ,
综上可得,实数 的取值范围为 .
19.已知函数 .
(1)若函数 是偶函数，求实数 的值；
(2)若函数 有 3 个零点，求实数 的取值范围；
(3)若在 上存在两个不同的实数 满足 ,且 ，证明: .
【解析】(1) 上式对任意的 恒成立,所以 ;
(2) ,
令 ,显然 ,所以 ,令 ,
画出图象如下图所示,因此 ;
(3)首先如(2)变形可得 ，
① 当 时， ，不等式 显然成立；
② 当 时，只需讨论以下两种情况，
若 ,此时 是 的两根, 即一元二次方程 的两根,因此 ,
要证 ,只需证 ,
而 ,所以不等式成立;
若 ,此时 , 要证 ,只需证 , 而 ,显然 ,所以不等式成立;
②当 时，只需讨论以下两种情况，
若 ,此时 是 的两根,
同 ,只需证 ,而 ,所以不等式成立;
若 ,此时 ,
要证 ,只需证 ,
而 ,显然 ,所以不等式成立;
综上,不等式 恒成立 .