2025-2026学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数f(x)=sinx，则Δx→0lim f(π3+Δx)−f(π3)Δx=( )
A. 12B. 32C. − 32D. −12
2.已知(1+x)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7，则a3+a4=( )
A. 35B. 70C. 210D. 420
3.f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )
A. f(x)=lnxx2
B. f(x)=xex
C. f(x)=x2lnx
D. f(x)=xln1x
4.小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡.若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为( )
A. 1−C175C205B. C31C174C205C. 1−C30C175C203D. C31C205
5.甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学相约体育馆一起坐一排看村BA篮球比赛，若甲和乙相邻，丙不坐在两端，不同的排列方式共有( )种．
A. 144B. 192C. 216D. 288
6.已知函数f(x)= x2+1x2−x+2，则f(x)的极值为( )
A. 12B. 2 57C. 22D. 54
7.甲、乙、丙、丁、戊、己6人一起报名校运会的跑步项目，跑步项目共有100m短跑、400m短跑和1000m长跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目至少有一人报名，则不同的报名方法有( )
A. 450B. 540C. 630D. 900
8.已知函数f(x)=(x−1x)lnx，方程f(x)=a的两个不相等的根为x1，x2(x10，均有f′(x)>2x
B. 2(1+12+13+14+……+1n+1n+1)>2ln(n+1)+1+1n+1
C. 当a+1=6b时，则f(x)为单调函数的充要条件是a∈(5,+∞)
D. 当a+1=6b>2且f(x)有唯一零点时，a有最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X～N(1,4)，且P(X≤a)=P(X≥b)，则a+b= ．
13.已知f(x)=x3−ax+2有三个零点，则a的范围是 ．
14.一个不透明的袋子有除颜色不同外，大小质地完全相同的球，其中有2个红球、3个白球和3个黑球，逐个不放回地随机取球，直至剩下只有一种颜色的球时游戏结束，记游戏结束时取球次数为X，则E(X)= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某工厂有两台机床生产同种产品，产品按质量分为特优级产品和优级产品，为比较两台机床生产的产品质量是否与机床有关，分别用两台机床各自生产了300件产品，产品的质量统计如下表：
(1)能否有99.9%的把握认为两台机床的产品质量有差异？
(2)现考虑让一号机床生产4件产品，若用上述样本中的频率作为概率进行估计，用X表示这4件产品中的特优级品数量，求X的期望与方差．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，
16.(本小题15分)
在二项式(x−12 x)n的展开式中，所有项的系数之和为1512．
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中所有项的系数绝对值的和；
(3)求展开式中系数最大的项．
17.(本小题15分)
在汽车生产过程中，合金钢的性能直接影响车身结构的安全性和耐久性.其中，碳含量x是影响合金钢屈服强度y的关键因素之一.为研究二者之间的关系，某实验室制备了9组不同碳含量的合金钢样本，并测量了对应的屈服强度(MPa)，数据如下表所示：
(1)求合金钢屈服强度y(MPa)关于碳含量x(%)的回归方程y​=b​x+a​，并预测碳含量为12%(即x=0.12)时的合金钢屈服强度；
(2)为了综合评估材料性能，需要同时考虑强度收益5lny、脆性损失4x2和冶炼成本2x，为此工程师定义了一个综合性能指标P(x)=5lny−4x2−2x(0.1≤x≤0.6).为便于运算，屈服强度y用100[b 100]x+100([a 100]+1)近似计算(其中b​,a​为(1)问中计算所得数据，[a]表示不小于a的最小整数)，请根据上述优化模型计算最大的综合性能指标值．
附：参考数据：i=19xi=2.7,i=19yi=5400,i=19xiyi=1709.55,i=19xi2=0.96
参考公式：对于一组数据(x1,y1)，(x2,y2)，⋯，(xn,yn)，其经验回归方程y​=b​x+a​的斜率和截距的最小二乘估计分别为b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nxy−i=1nxi2−nx−2,a =y−−b x−．
18.(本小题17分)
镇海中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为12，选择乒乓球的概率为13；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为23，选择乒乓球的概率为13；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算：
(1)求甲第2天选择羽毛球的概率；
(2)已知甲第2天选择羽毛球的条件下甲第1天选择篮球的概率；
(3)求甲第n(n∈N∗)天选择羽毛球的概率．
19.(本小题17分)
已知对∀θ∈{θ∈R|θ≠kπ,k∈Z}，定义θ的余切值为ctθ=csθsinθ，函数f(x)=ct(π2x)在(1,0)处的切线为直线l．
(1)求切线l的方程；
(2)证明：对∀x∈(1,2)，y=f(x)始终在切线l下方；
(3)证明：至少存在3个整数a，使得ln(x2+1)+a2cs(π2x)≥0恒成立．
(参考：1.60，B错误；
f(x)=x2lnx的定义域为{x|x>0}，当x→+∞时，f(x)→+∞，C错误；
f(x)=xln1x=−xlnx的定义域{x|x〉0}，当x→+∞时，f(x)→−∞，D错误．
故选：A．
根据函数性质利用排除法得到选项
本题主要考查了由函数图象求解函数解析式，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．
4.【答案】A
【解析】解：一共20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡，一次性抽取5张，
抽到的卡中没有稀有卡的概率p=C175C205，
可知抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为1−p=1−C175C205．
故选：A．
运用“正难则反”的策略求出抽到的卡中没有稀有卡的概率，再根据对立事件的概率公式求得抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率．
本题主要考查对立事件的概率计算，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意，分3步进行分析：
①把甲乙看成一个元素，考虑甲乙之间的顺序，有A22种情况，
②此时相当于有5个元素，丙不坐在两端，则丙有C31种选法，
③剩下的三名同学和甲乙一起进行全排列即可，共有A44种方法．
故不同的排列方式共有A22C31A44=144种．
故选：A．
利用捆绑法处理甲乙，根据“特殊元素优先考虑”原则先安排丙，利用排列组合与计数原理即可得解．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由题f′(x)=x x2+1(x2−x+2)− x2+1(2x−1)(x2−x+2)2
=x(x2−x+2)−(x2+1)(2x−1) x2+1(x2−x+2)2=−x3+1 x2+1(x2−x+2)2
=−(x−1)(x2+x+1) x2+1(x2−x+2)2=−(x−1)((x+12)2+34) x2+1(x2−x+2)2，
所以当x∈(−∞,1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
当x∈(1,+∞)时，f′(x)2k=1nlnk+1k，
而2k=1nlnk+1k=2(ln21+ln32+ln43+⋯+lnn+1n)=2[ln(21×32×43×⋯×n+1n)]=2ln(n+1)，
因此2(1+12+13+14+⋯+1n+1n+1)−1−1n+1>2ln(n+1)，
即2(1+12+13+14+⋯+1n+1n+1)>2ln(n+1)+1+1n+1，因此B选项正确；
对于C选项，因为a+1=6b，因此b=a+16，因此f(x)=ax+(a+16)x−2．
求导得f′(x)=axlna+(a+16)xln(a+16)，要使得f(x)为单调函数，那么f′(x)恒正或恒负，
若a>1，则lna>0，要使得f′(x)>0恒成立，需a+16>1，解得a>5；
若01.6−π2>0，故g(x)>0，
故a=2时，g(x)≥g(x0)>0在(1,2)成立，故a=2符合题意，
若a∈{0,1}时，∀x∈(1,2)有cs(π2x)ln(x2+1)+cs(π2x)，
右边式子即a=2情形，对于a=2的情形，前文已证其值恒大于0，故a∈{0,1}也符合，
综上：a∈{0,1,2}符合题意
【解析】解：(1)由题f′(x)=−π2sin2(π2x)−π2cs2(π2x)sin2(π2x)=−π21sin2(π2x)．
在x=1处，f′(1)=−π2，且f(1)=0，
故切线l方程为：y=−π2(x−1)；
(2)证明：构造差函数p(x)=f(x)−(−π2x+π2)=f(x)+π2(x−1)，
求导得p′(x)=−π2ct2(π2x)0，
∀x>2有ln(x2+1)+cs(π2x)>ln5−1>0，
对于x∈[1,2]，先证明引理：cs(π2x)≥π2−π2x,x∈[1,2]，
令φ(x)=cs(π2x)−π2+π2x,x∈[1,2]，φ′(x)=−π2sin(π2x)+π2≥0，所以φ(x)在[1,2]上递增，
故φ(x)≥φ(1)=0⇒cs(π2x)≥π2−π2x,x∈[1,2]，引理得证，则g(x)≥ln(x2+1)+π2−π2x，
令h(x)=ln(x2+1)+π2−π2x，h′(x)=2xx2+1−π2≤1−π2h(2)=ln5−π2>1.6−π2>0，故g(x)>0，
因此a=2时，g(x)≥g(x0)>0在(1,2)成立，故a=2符合题意，
若a∈{0,1}时，∀x∈(1,2)有cs(π2x)ln(x2+1)+cs(π2x)，
右边式子即a=2情形，对于a=2的情形，前文已证其值恒大于0，故a∈{0,1}也符合，
综上所述，a∈{0,1,2}符合题意．
(1)先对函数求导，代入x=1得到切线斜率，结合该点函数值为0，直接写出切线方程；
(2)构造差函数，求导判断其在区间(1,2)上单调递减，从而证明f(x)恒小于切线，即函数图像始终在切线下方；
(3)构造差函数法，验证端点趋势，研究函数在区间内的单调性，两者结合即可，转化为最值问题即可．
本题考查函数恒成立问题，属于中档题．特优级品
优级品
合计
一号机床
225
75
300
二号机床
180
120
300
合计
405
195
600
P(χ2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
编号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
碳含量xi
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
屈服强度yi(MPa)
481
512
532
573
604
635
656
687
719