浙江省宁波市镇海中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷含解析（word版）

这是一份浙江省宁波市镇海中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷含解析（word版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 如果 是两个单位向量,则下列说法中正确的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A 项: 方向不同时 ,故错误; B 项: 时, ,故错误; C 项: ,故错误; D 项: 由 C 项知正确.
2. 已知复数 满足 ,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
3.若直线 与平面 相交,则下列说法中正确的是
A. 内的所有直线与 都相交 B. 内的所有直线与 都是异面直线
C. 内不存在与 垂直的直线 D. 内不存在与 平行的直线
【答案】D
【解析】A 项: 设 ,平面 中总能找到 ,而 与 不相交,故错误; B 项: 过 作任意平面 与 共面,故错误;
C 项: 根据三垂线定理, 内过交点即可作与 垂直的直线,故错误;
D 项: 与 平行的直线都与 相交,故正确 .
4.如图， 是水平放置的 用斜二测画法得到的直观图，其中 ,则原图形 的面积是
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】 ,所以 .
5.已知 为空间中一点, 为互不相同的直线, 为互不相同的平面,则下列推理中正确的是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A 项: 面面相交于直线, 故错误;
B 项: 反例如图 ,故错误;
C 项: 面面垂直的性质, 故正确;
D 项: 反例如图, 故错误.
6.如图， 、 是圆台的两条母线，若圆台的高为 ，上底面半径为 3，下底面半径为 6，则截面 面积的最大值为
A. B. C. 18 D. 24
【答案】C
【解析】 ,圆锥高 ,
当且仅当 时取等.
7.如图，在直角梯形 中， ， ，点 分别是 中点， 在线段 上运动(包含端点)，则 的最大值与最小值之和为
A. 0 B. 1C. D.
【答案】B
【解析】 ,
当 与 点重合时,取到最大值 ,当 与 点重合时,取到最小值 .
8.已知二面角 的大小为 ， ， ，且 ， 为 内异于 的任意一点， 且 的最大值是 ,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 最大时, 最小.
当 时, 的最小值为 ,余弦值为 ,不合题意;
当 时, ,解得 ,
此时 为直线 与平面 所成线面角.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知复数 ,则下列说法中错误的是
A. 若 ,则 为实数
B.
C. 若 ,则 在复平面内对应的点在第二象限
D. 存在 ,使得 为纯虚数
【答案】BD
【解析】A 项: ,由 可得 ,故正确;
B 项: ,由 得 ,故错误;
C 项: ,在第二象限,故正确;
D 项: ,故错误.
10.已知平面向量 ,则下列说法中正确的是
A. 可能共线 B. 可能垂直
C. 不可能为 3 D. 若 ,则 在 方向上的投影向量为
【答案】ACD
【解析】A 项: 共线,则 ,故正确;
B 项: 垂直,则 ,故错误;
C 项: ,故正确;
D 项: 若 ,则 ,故正确.
11.如图,在直角梯形 中, ,取 中点 ,将 沿 翻折至 ( 不重合),则下列说法中正确的是
A. 在翻折的过程中， 与平面 始终平行
B. 在翻折的过程中， 与 始终不垂直
C. 若二面角 的大小为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为
D. 记四面体 的外接球为球 为球心)， 是球 上一动点，则当直线 与直线 所成角最大时,四面体 体积的最大值为
【答案】ABD
【解析】
A 选项: 因为 且 ，四边形 是平行四边形，所以 ， 平面 ， 平面 ,所以 平面 ,故正确;
B 选项: 若 ,作 平面 ,投影落在 上,
,矛盾.
C 选项: 为二面角 的平面角, , ,在 中, ,由余弦定理得 ,故错误;
D 选项: 是等腰直角三角形,外接圆圆心落在 中点, 是等腰直角三角形,外接圆圆心落在 中点. 因此外接球球心 的投影落在 中点,当 与球相切且与平面 底面 时,四面体 底面三角形面积固定,高最大,此时体积最大. , ,解得 ,故正确
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.若两个体积相等的圆锥底面半径之比为 2:1 , 则它们对应的高之比为________.
【答案】1:4
【解析】 .
13.如图，在长方体 中， 为线段 上的一个动点(不含端点),则 的最小值为_____.
【答案】
【解析】把 和长方形 单独拿出来,并沿公共边 旋转到共面: 显然 与 共线 时 最小,
.
14.如图，在三棱锥 中， 平面 平面 . 若 为线段 上的动点 (不含端点),记 与平面 所成角为 ,锐二面角 的平面角为 ,则 的最大值为_____.
【答案】
【解析】在平面 内过 作 ,在平面 内过 作 ,连结 ,
可知 , 故 ,
,当且仅当 时取到等号.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.如图, 四棱锥 的底面为矩形, 平面 为 的中点， 为 的中点， 为 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)求异面直线 和 所成角的余弦值.
【解析】(1)因为 是 的中点，所以 ，
又因为 平面 平面 ，所以 平面 .
(2)因为 ，所以 即为 和 所成角(或其补角)，
因为在 中解得 ,
所以异面直线 和 所成角的余弦值为 .
16.已知复数 满足 .
(1)求复数 ；
(2)若复数 是关于 的方程 的一个根，求实数 的值.
【解析】(1)将复数 代入等式，得到 ，
由复数相等条件得 ,解得 ,所以 .
(2) 是方程的根，则其共轭复数 也是方程的根，
根据韦达定理得 , 解得 .
17.在 中,角 的对边分别是 的面积为 ,外接圆半径 , 且 .
(1)求 ；
(2)若 的平分线交 于 ，求 的长度.
【解析】
(1) ，化简得 ，得 ，
所以 ,所以 ,所以 .
(2) ，解得 ， ，
因为 是角平分线,所以 ,
得 ,
化简得 ,解得 .
18.如图，斜三棱柱 的底面是边长为 2 的正三角形，且 .
(1)证明: ；
(2)求二面角 的余弦值；
(3)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】(1)取 中点 ，连接 ， ，
因为 且 为中点,所以 ,
又因为 且 为中点,所以 ,
,
在三棱柱中有 ,故 .
(2)作 ，连接 .
,
因为 ,所以 即为二面角 的平面角,
，解得 ，同理 ，
，故二面角 的平面角的余弦值为
(3)法一:定义法
取 中点为 中点为 ， 作 ，
平面 ,
所以 是 在平面 上的射影, 即为 与平面 所成角,
在菱形 中,解得 ,
由余弦定理可得, ,
在 Rt 中, .
在菱形 中, ,
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
法二: 等积法
由题意,三棱锥 为正棱锥,连结 与底面重心 可知 底面 ,
设直线 与平面 所 成角为 ,
可证 平面 ,故点 与点 到平面 的距离相等,设为 ,
故由 ,得 ,
在 中可解得 ,
可得 ,又因为 ,所以 ,
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
19.如图，在三棱锥 中， ， ， ，点 ， 分别是棱 ， 上的动点(不含端点).
(1)若 平面 ，
① 求 的长度；
②求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)若三棱锥 的内切球半径 ，求 长度的最小值.
【解析】(1) ① ，
在 Rt 中, ,所以 ,
在 Rt 中, ,所以 ,
②法一:定义法
平面 ,
是 在平面 上的射影, 为直线 与平面 所成角,
在 中解得 ,在 中解得 ,
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
法二: 等积法

,解得 .
设点 到平面 的距离为 ，直线 与平面 所成角为 ，
故由 ,
得 ,
解得 .
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
(2)因为 平面 ，所以 .
设 ,
因为 ,
所以
.
又因为 ,
所以 ,
化简得 , 即 .
所以 ,
又由 可得 ,
故 的最小值为 ,当且仅当 时取到 .