浙江省宁波市镇海中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学含解析（word版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，求（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则（ ）
A. 35B. 70C. 210D. 420
3. 的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）．
A. B. C. D.
4. 小卖部推出一套20张不同角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 甲、乙、丙、丁、戊、己名同学相约体育馆一起坐一排看村BA篮球比赛，若甲和乙相邻，丙不坐在两端，不同的排列方式共有（ ）种
A. 144B. 192C. 216D. 288
6. 已知函数，则的极值为（ ）
A. B. C. D.
7. 甲、乙、丙、丁、戊、己6人一起报名校运会的跑步项目，跑步项目共有100m短跑、400m短跑和1000m长跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目至少有一人报名，则不同的报名方法有（ ）
A. 450B. 540C. 630D. 900
8. 已知函数，方程的两个不相等的根为．若，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则事件与相互独立
B. 两个变量X、Y的相关系数为，若越小．则X、Y之间的线性相关程度越弱
C. 线性回归分析可用决定系数判断模型拟合效果，越趋近于1，则拟合效果越好
D. 经验回归直线可能不经过样本点，但一定会经过样本点的中心
10. 镇海中学在新的一年举行了首届教职工歌手大赛，共有位男教师，位女教师参加．现通过抽签决定出场顺序，记事件表示“第一位出场的是男教师”，事件表示“第二位出场的是男教师”，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知，其中为的导函数，则下列正确的是（ ）
A. 时，则对，均有
B.
C. 当时，则为单调函数的充要条件是
D. 当且有唯一零点时，有最小值
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. 已知随机变量，且，则_________________．
13. 已知有三个零点，则的范围是________________．
14. 一个不透明的袋子有除颜色不同外，大小质地完全相同的球，其中有个红球、个白球和个黑球，逐个不放回地随机取球，直至剩下只有一种颜色的球时游戏结束，记游戏结束时取球次数为，则________________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．（第15题13分，16到17题每题15分，18到19题每题17分），解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某工厂有两台机床生产同种产品，产品按质量分为特优级产品和优级产品，为比较两台机床生产的产品质量是否与机床有关，分别用两台机床各自生产了300件产品，产品的质量统计如下表：
（1）能否有把握认为两台机床的产品质量有差异？
（2）现考虑让一号机床生产4件产品，若用上述样本中的频率作为概率进行估计，用表示这4件产品中的特优级品数量，求的期望与方差．
附：，
16. 在二项式的展开式中，所有项的系数之和为．
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中所有项的系数绝对值的和；
（3）求展开式中系数最大项．
17. 在汽车生产过程中，合金钢的性能直接影响车身结构的安全性和耐久性．其中，碳含量是影响合金钢屈服强度的关键因素之一．为研究二者之间的关系，某实验室制备了9组不同碳含量的合金钢样本，并测量了对应的屈服强度（MPa），数据如下表所示：
（1）求合金钢屈服强度关于碳含量的回归方程，并预测碳含量为（即）时的合金钢屈服强度；
（2）为了综合评估材料性能，需要同时考虑强度收益、脆性损失和冶炼成本2x，为此工程师定义了一个综合性能指标．为便于运算，屈服强度用近似计算（其中为（1）问中计算所得数据，［］表示不小于的最小整数），请根据上述优化模型计算最大的综合性能指标值．
附：参考数据：
参考公式：对于一组数据，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
18. 镇海中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目．已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼．请完成下列计算：
（1）求甲第2天选择羽毛球的概率；
（2）已知甲第2天选择羽毛球的条件下甲第1天选择篮球的概率；
（3）求甲第天选择羽毛球的概率．
19. 已知对，定义余切值为，函数在处的切线为直线．
（1）求切线的方程；
（2）证明：对始终在切线下方；
（3）证明：至少存在3个整数，使得恒成立．
（参考：）
特优级品
优级品
合计
一号机床
225
75
300
二号机床
180
120
300
合计
405
195
600
0050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
碳含量
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
屈服强度
481
512
532
573
604
635
656
687
719