2024-2025学年内蒙古巴彦淖尔市乌拉特前旗八年级（下）期末数学试卷

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1．（3分）在端午节到来之前，学校食堂推荐了A，B，C三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子做调查，以决定最终向哪家店采购，下面的统计量中最值得关注的是（ ）
A．方差B．平均数C．中位数D．众数
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3+4=7B．12=32
C．146=213D．(−2)2=−2
3．（3分）下列命题中正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
4．（3分）函数y=1−x+1x−2中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＝2B．x≤1C．x＜1且x≠2D．x≤1且x≠2
5．（3分）若x=2+1，则代数式x2﹣2x+2的值为（ ）
A．7B．4C．3D．3﹣22
6．（3分）如图，将边长为3cm的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．34cm2B．32cm2C．3cm2D．（3−3）cm2
7．（3分）已知y＝kx+b，与x轴，y轴分别交于（2，0）和（0，3），则当kx+b＞3时，x的取值为（ ）
A．x＜2B．x≤2C．x≤0D．x＜0
8．（3分）将2×2的正方形网格如图放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形ABCD的顶点都在格点上．若直线y＝kx（k≠0）与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．k≤2B．k≥12C．12≤k≤2D．12＜k＜2
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
9．（3分）已知一次函数y＝﹣2x+kx+k，y随x的增大而减小，且图象交于x轴的正半轴，则k的取值范围是 ．
10．（3分）如图，大正方形中截去面积为15cm2和24cm2的两个小正方形，留下部分的面积是 cm2．
11．（3分）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 ．
12．（3分）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．
三、解答题：（本大题有6个小题，共64分）
13．（8分）（1）计算：18+13−12+2；
（2）计算：（23−6）2+(54+26)÷3．
14．（10分）在全民读书月活动中，某校随机调查了40名同学，本学期计划购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如图所示的统计图．根据相关信息，解答下列问题，直接写出结果．
（1）这次调查获取的样本数据的众数是 ．
（2）这次调查获取的样本数据的中位数是 ．
（3）若该校共有1200名学生，根据样本数据，估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有 人．
15．（10分）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若增加一个条件，可使四边形AECF是菱形，则该条件可以是 ．
16．（12分）某商店购进甲、乙两种商品，甲商品每件进价20元，售价25元．乙商品每件进价30元，售价40元．
（1）若甲、乙两件商品共购进100件，设购进甲商品x件，销售完此两种商品的总利润为y元，求出y与x的函数关系式．
（2）该商家计划最多投入2800元用于购进此两种商品共100件，则至少要购进多少件甲种商品．
（3）若售完这些商品，商家可获得最大利润是多少元？
17．（12分）已知一次函数y1＝kx+b的图象经过点（﹣1，﹣3）．且与正比例函数y2=12x的图象相交于点（4，a）．
（1）求a的值；
（2）求一次函数y1＝kx+b的表达式；
（3）请你画出这两个函数的图象，并判断当x取何值时，y1＞y2；
（4）求这两个函数图象与x轴围成的三角形的面积．
18．（12分）操作：将一把三角尺放在如图1的正方形ABCD中，使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．
探究：
①如图2，当点Q在DC上时，求证：PQ＝PB．
②如图3，当点Q在DC延长线上时，①中的结论还成立吗？简要说明理由．
2024-2025学年内蒙古巴彦淖尔市乌拉特前旗八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）在端午节到来之前，学校食堂推荐了A，B，C三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子做调查，以决定最终向哪家店采购，下面的统计量中最值得关注的是（ ）
A．方差B．平均数C．中位数D．众数
【答案】D
【分析】学校食堂最值得关注的应该是哪种粽子爱吃的人数最多，即众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故学校食堂最值得关注的应该是统计调查数据的众数．
故选：D．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3+4=7B．12=32
C．146=213D．(−2)2=−2
【答案】C
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、3+4，无法合并，故此选项错误；
B、12=23，故此选项错误；
C、146=213，故此选项正确；
D、(−2)2=2，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
3．（3分）下列命题中正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】B
【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．
【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；
B、正确；
C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；
D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不大，属于基础题．
4．（3分）函数y=1−x+1x−2中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＝2B．x≤1C．x＜1且x≠2D．x≤1且x≠2
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据题意得：1−x≥0x−2≠0，
解得：x≤1．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
5．（3分）若x=2+1，则代数式x2﹣2x+2的值为（ ）
A．7B．4C．3D．3﹣22
【答案】C
【分析】利用条件得到x﹣1=2，两边平方得x2﹣2x＝1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x=2+1，
∴x﹣1=2，
∴（x﹣1）2＝2，即x2﹣2x+1＝2，
∴x2﹣2x＝1，
∴x2﹣2x+2＝1+2＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：完全平方公式的灵活运用是解决问题的关键．利用整体代入的方法可简化计算．
6．（3分）如图，将边长为3cm的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．34cm2B．32cm2C．3cm2D．（3−3）cm2
【答案】D
【分析】设BC、C′D′相交于点M，连接AM．根据HL即可证明△AD′M≌△ABM，可得到∠MAB＝30°，然后可求得MB的长，从而可求得△ABM的面积，最后
利用正方形的面积减去△AD′M和△ABM的面积进行计算即可．
【解答】解：设BC、C′D′相交于点M，连接AM．
由旋转的性质可知：AD＝AD′．
在直角△AD′M和直角ABM中AD′=ABAM=AM，
∴△AD′M≌△ABM．
∴∠BAM＝∠D′AM，S△AMB＝S△AD′B．
∵∠DAD′＝30°，
∴∠MAB=12×（90°﹣30°）＝30°．
又∵BA=3，
∴MB=33AB＝1．
∴S△AMB=12×1×3=32．
又∵S正方形ABCD＝（3）2＝3，
∴S阴影＝3﹣2×32=3−3．
故选：D．
【点评】本题考查旋转的性质以及全等三角形的判定与性质、特殊锐角三角函数值的应用，证得△AD′M≌△ABM是本题的关键．
7．（3分）已知y＝kx+b，与x轴，y轴分别交于（2，0）和（0，3），则当kx+b＞3时，x的取值为（ ）
A．x＜2B．x≤2C．x≤0D．x＜0
【答案】D
【分析】充分利用图形，直接从图上得出x的取值范围．
【解答】解：当x＜0时，函数图象位于x轴左方，
可见kx+b＞3时，x＜0．
故选：D．
【点评】此题考查了一次函数与不等式，利用数形结合是解题的关键．
8．（3分）将2×2的正方形网格如图放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形ABCD的顶点都在格点上．若直线y＝kx（k≠0）与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．k≤2B．k≥12C．12≤k≤2D．12＜k＜2
【答案】C
【分析】分别确定点A和点C的坐标，代入正比例函数的解析式即可求得k的取值范围．
【解答】解：由题意得：点A的坐标为（1，2），点C的坐标为（2，1），
∵当正比例函数经过点A时，k＝2，当经过点C时，k=12，
∴直线y＝kx（k≠0）与正方形ABCD有公共点，k的取值范围是12≤k≤2，
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是求得点A和点C的坐标，难度不大．
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
9．（3分）已知一次函数y＝﹣2x+kx+k，y随x的增大而减小，且图象交于x轴的正半轴，则k的取值范围是 0＜k＜2 ．
【答案】0＜k＜2．
【分析】y随x增大而减小，那么k﹣2＜0，图象交于x轴的正半轴，k＞0据此解答．
【解答】解：由y＝﹣2x+kx+k得到：y＝（k﹣2）x+k．
根据题意，得k﹣2＜0且k＞0，
解得0＜k＜2．
故答案为：0＜k＜2．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．
10．（3分）如图，大正方形中截去面积为15cm2和24cm2的两个小正方形，留下部分的面积是 1210 cm2．
【答案】1210．
【分析】依据题意，求出大正方形的边长，进而列式计算可以得解．
【解答】解：如图所示，
由题意可得：AB=24=26(cm)，BC=BE=15(cm)，
∴留下部分的面积为：2(26×15)=1210(cm2)．
故答案为：1210．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
11．（3分）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 2.4 ．
【答案】2.4
【分析】根据已知得当AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，从而不难根据相似比求得其值．
【解答】解：∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵四边形AFPE是矩形
∴AM=12AP，AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短
∴当AP⊥BC时，△ABP∽△CAB
∴AP：AC＝AB：BC
∴AP：8＝6：10
∴AP最短时，AP＝4.8
∴当AM最短时，AM＝AP÷2＝2.4．
【点评】解决本题的关键是理解直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用相似求解．
12．（3分）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 76 ．
【答案】76
【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．
【解答】解：设将AC延长到点D，连接BD，
根据题意，得CD＝6×2＝12，BC＝5．
∵∠BCD＝90°
∴BC2+CD2＝BD2，即52+122＝BD2
∴BD＝13
∴AD+BD＝6+13＝19
∴这个风车的外围周长是19×4＝76．
故答案为：76．
【点评】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
三、解答题：（本大题有6个小题，共64分）
13．（8分）（1）计算：18+13−12+2；
（2）计算：（23−6）2+(54+26)÷3．
【答案】（1）42−533；
（2）18﹣72．
【分析】（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案；
（2）直接利用完全平方公式以及二次根式的除法运算法则化简，进而计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝32+33−23+2
＝42−533；
（2）原式＝12+6﹣122+18+22
＝12+6﹣122+32+22
＝18﹣72．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
14．（10分）在全民读书月活动中，某校随机调查了40名同学，本学期计划购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如图所示的统计图．根据相关信息，解答下列问题，直接写出结果．
（1）这次调查获取的样本数据的众数是 30元 ．
（2）这次调查获取的样本数据的中位数是 50元 ．
（3）若该校共有1200名学生，根据样本数据，估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有 300 人．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）众数就是出现次数最多的数，据此即可判断；
（2）中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义判断；
（3）求得调查的总人数，然后利用1200乘以本学期计划购买课外书花费50元的学生所占的比例即可求解．
【解答】解：（1）这次调查获取的样本数据的众数是30元；
（2）这次调查获取的样本数据的中位数是50元；
（3）调查的总人数是：6+12+10+8+4＝40（人），
则估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有：1200×1040=300（人）
故答案为：（1）30元；（2）50元；（3）300．
【点评】此题考查的是条形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
15．（10分）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若增加一个条件，可使四边形AECF是菱形，则该条件可以是 AE＝CE（答案不唯一） ．
【答案】（1）证明见解析；
（2）AE＝CE（答案不唯一）．
【分析】（1）证明△ABE≌△CDF（SAS），得AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，则∠AEF＝∠CFE，再证明AE∥CF，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的判定即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：添加条件：AE＝CE，理由如下：
由（1）可知，四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝CE，
∴平行四边形AECF是菱形，
故答案为：AE＝CE（答案不唯一）．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
16．（12分）某商店购进甲、乙两种商品，甲商品每件进价20元，售价25元．乙商品每件进价30元，售价40元．
（1）若甲、乙两件商品共购进100件，设购进甲商品x件，销售完此两种商品的总利润为y元，求出y与x的函数关系式．
（2）该商家计划最多投入2800元用于购进此两种商品共100件，则至少要购进多少件甲种商品．
（3）若售完这些商品，商家可获得最大利润是多少元？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设购进甲商品x件，则购进乙商品（100﹣x）件，根据“总利润＝甲商品的利润+乙商品的利润”即可得出y关于x的函数关系式；
（2）设至少购进甲种商品x件，根据该商家计划最多投入2800元用于购进此两种商品共100件，即可得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围；
（3）根据一次函数的性质找出一次函数的单调性，结合x的取值范围即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设购进甲商品x件，则购进乙商品（100﹣x）件，
∴y＝（25﹣20）x+（40﹣30）（100﹣x）＝﹣5x+1000．
（2）设至少购进甲种商品x件，
依题意得：20x+30（100﹣x）≤2800，
解得：x≥20．
答：至少购进甲种商品20件．
（3）对于y＝﹣5x+1000，
∵k＝﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝20时，y取最大值，最大值为900．
答：若售完这些商品，商家可获得最大利润是900元．
【点评】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次不等式，根据数量关系列出函数关系式或不等式是解题的关键．
17．（12分）已知一次函数y1＝kx+b的图象经过点（﹣1，﹣3）．且与正比例函数y2=12x的图象相交于点（4，a）．
（1）求a的值；
（2）求一次函数y1＝kx+b的表达式；
（3）请你画出这两个函数的图象，并判断当x取何值时，y1＞y2；
（4）求这两个函数图象与x轴围成的三角形的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将点（4，a）代入正比例函数y2=12x即可求出a的值；
（2）根据（1）所求，及一次函数y＝kx+b的图象经过两点（﹣1，﹣3）、（4，2），用待定系数法可求出函数关系式；
（3）根据两点确定一直线画出这两个函数的图象，观察函数图象得到当x＞4时，一次函数y1＝kx+b的图象在正比例函数y2=12x的图象的上方，即y1＞y2；
（4）先确定一次函数与x轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）∵正比例函数y2=12x的图象过点（4，a），
∴a=12×4＝2；
（2）∵一次函数y1＝kx+b的图象经过两点（﹣1，﹣3）、（4，2），
∴−k+b=−34k+b=2，解得k=1b=−2，
∴y＝x﹣2．
故所求一次函数的解析式为y1＝x﹣2；
（3）函数图象如图：
由图象可知，当x＞4时，y1＞y2；
（4）一次函数的表达式为：y1＝x﹣2，与x轴交于（2，0），
∵正比例函数y=12x与一次函数y＝x﹣2的交点为（4，2），
∴两个函数图象与x轴所围成的三角形面积为12×2×2＝2．
【点评】本题考查了一次函数函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，三角形的面积等知识，都是基础知识，需熟练掌握．
18．（12分）操作：将一把三角尺放在如图1的正方形ABCD中，使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．
探究：
①如图2，当点Q在DC上时，求证：PQ＝PB．
②如图3，当点Q在DC延长线上时，①中的结论还成立吗？简要说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】①过点P作正方形对边CD、AB的垂线垂足为M、N，可以证明△PMQ≌△BNP，从而得出BP＝QP；
②过点P作正方形对边CD、AB的垂线垂足为M、N，可以证明△PMQ≌△BNP，从而得出BP＝QP．
【解答】解：
①证明：
如图1，过点P作PN⊥AB于N，PN交CD于点M，
在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ACD＝45°
∴∠PMQ＝∠PNB＝∠CBN＝90°，
∴CBNM是矩形，
∴CM＝BN，
∴△CMP是等腰直角三角形，
∴PM＝CM＝BN，
∵∠PBN+∠BPN＝90°，∠BPN+∠MPQ＝90°，
∴∠MPQ＝∠PBN，
在△PMQ和△BNP中，∠MPQ=∠PBNBN=PM∠PNB=∠PMQ=90°，
∴△PMQ≌△BNP，（ASA）
∴BP＝QP；
②成立；
理由：如图2，过点P作PN⊥AB于N，PN交CD于点M，
在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ACD＝45°
∴∠PMQ＝∠PNB＝∠CBN＝90°，
∴CBNM是矩形，
∴CM＝BN，
∴△CMP是等腰直角三角形，
∴PM＝CM＝BN，
∵∠PBN+∠BPN＝90°，∠BPN+∠MPQ＝90°，
∴∠MPQ＝∠PBN，
在△PMQ和△BNP中，∠MPQ=∠PBNBN=PM∠PNB=∠PMQ=90°，
∴△PMQ≌△BNP（ASA），
∴BP＝QP．
【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理等知识．
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
B
B
C
D
D
C