河南省郑州市2025-2026学年中考数学最后一模试卷（含答案解析）

这是一份河南省郑州市2025-2026学年中考数学最后一模试卷（含答案解析），共5页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，已知抛物线y=x2-2mx-4，如图，右侧立体图形的俯视图是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列计算或化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知是一个单位向量，、是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图图形中，可以看作中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图是由一些相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体个数最多为（ ）
A．7B．8C．9D．10
5．已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为
A．2B．3C．4D．8
6．已知抛物线的图像与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点.给出下列结论：①当的条件下，无论取何值，点是一个定点；②当的条件下，无论取何值，抛物线的对称轴一定位于轴的左侧；③的最小值不大于；④若，则.其中正确的结论有（ ）个.
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为( )
A．B．C．D．
8．已知抛物线y=x2-2mx-4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（ ）
A．（1，-5）B．（3，-13）C．（2，-8）D．（4，-20）
9．如图，右侧立体图形的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
10．一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球则两次摸到的球的颜色不同的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．在Rt△ABC中，∠A是直角，AB=2，AC=3，则BC的长为_____．
12．一个扇形的面积是πcm，半径是3cm，则此扇形的弧长是_____．
13．新田为实现全县“脱贫摘帽”，2018年2月已统筹整合涉农资金235000000元，撬动800000000元金融资本参与全县脱贫攻坚工作，请将235000000用科学记数法表示为___．
14．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴的正半轴上，，过点作轴交直线于点，若反比例函数的图象经过点，则的值为_________________．
15．关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是__________．
16．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO=90°，OA与反比例函数y=的图象交于点D，且OD=2AD，过点D作x轴的垂线交x轴于点C．若S四边形ABCD=10，则k的值为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）某运动品牌对第一季度A、B两款运动鞋的销售情况进行统计，两款运动鞋的销售量及总销售额如图6所示.1月份B款运动鞋的销售量是A款的，则1月份B款运动鞋销售了多少双？第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变，求3月份的总销售额（销售额=销售单价×销售量）；结合第一季度的销售情况，请你对这两款运动鞋的进货、销售等方面提出一条建议.
18．（8分）某校为了解学生对篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球这五种球类运动的喜爱情况，随机抽取一部分学生进行问卷调查，统计整理并绘制了以下两幅不完整的统计图：
请根据以上统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）共抽取 名学生进行问卷调查；
（2）补全条形统计图，求出扇形统计图中“足球”所对应的圆心角的度数；
（3）该校共有3000名学生，请估计全校学生喜欢足球运动的人数．
（4）甲乙两名学生各选一项球类运动，请求出甲乙两人选同一项球类运动的概率．
19．（8分）直角三角形ABC中，，D是斜边BC上一点，且，过点C作，交AD的延长线于点E，交AB延长线于点F．
求证：；
若，，过点B作于点G，连接依题意补全图形，并求四边形ABGD的面积．
20．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．
21．（8分）计算：2-1+20160-3tan30°+|-|
22．（10分）中华文化，源远流长，在文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：
（1）本次调查了 名学生，扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为 度，并补全条形统计图；
（2）此中学共有1600名学生，通过计算预估其中4部都读完了的学生人数；
（3）没有读过四大古典名著的两名学生准备从四大固定名著中各自随机选择一部来阅读，求他们选中同一名著的概率．
23．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，以OA为半径的圆分别交AB、AC于点E、D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A=30°，求证：DG=DA；
（3）若∠A=30°，且图中阴影部分的面积等于2，求⊙O的半径的长．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE交AC于点E，且∠A＝∠ADE．求证：DE是⊙O的切线；若AD＝16，DE＝10，求BC的长．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、D
【解析】
解：A．不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B． ，故B错误；
C．，故C错误；
D．，正确．
故选D．
2、B
【解析】
长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．
【详解】
A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；
B. 符合向量的长度及方向，正确；
C. 得出的是a的方向不是单位向量，故错误；
D. 左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故错误.
故答案选B.
本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.
3、D
【解析】
根据 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选D．
此题主要考查了中心对称图形，关键掌握中心对称图形定义．
4、C
【解析】
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【详解】
根据三视图知，该几何体中小正方体的分布情况如下图所示：
所以组成这个几何体的小正方体个数最多为9个，
故选C．
考查了三视图判定几何体，关键是对三视图灵活运用，体现了对空间想象能力的考查.
5、C
【解析】
试题分析：利用根与系数的关系来求方程的另一根．设方程的另一根为α，则α+2=6， 解得α=1．
考点：根与系数的关系．
6、C
【解析】
①利用抛物线两点式方程进行判断；
②根据根的判别式来确定a的取值范围，然后根据对称轴方程进行计算；
③利用顶点坐标公式进行解答；
④利用两点间的距离公式进行解答．
【详解】
①y=ax1+（1-a）x-1=（x-1）（ax+1）．则该抛物线恒过点A（1，0）．故①正确；
②∵y=ax1+（1-a）x-1（a＞0）的图象与x轴有1个交点，
∴△=（1-a）1+8a=（a+1）1＞0，
∴a≠-1．
∴该抛物线的对称轴为：x=，无法判定的正负．
故②不一定正确；
③根据抛物线与y轴交于（0，-1）可知，y的最小值不大于-1，故③正确；
④∵A（1，0），B（-，0），C（0，-1），
∴当AB=AC时，，
解得：a=,故④正确．
综上所述，正确的结论有3个．
故选C．
考查了二次函数与x轴的交点及其性质．（1）.抛物线是轴对称图形．对称轴为直线x = - ，对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P；特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）；（1）.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/1a ，(4ac-b1)/4a )，当-=0，〔即b=0〕时，P在y轴上；当Δ= b1-4ac=0时，P在x轴上；（3）.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；当a>0时，抛物线开口向上；当a0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ= b1-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
Δ= b1-4ac0时，函数在x= -b/1a处取得最小值f(-b/1a)=〔4ac-b1〕/4a；在{x|x-b/1a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b1/4a}相反不变；当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax1+c(a≠0).
7、C
【解析】
看到的棱用实线体现.故选C.
8、C
【解析】
试题分析：=，∴点M（m，﹣m2﹣1），∴点M′（﹣m，m2+1），∴m2+2m2﹣1=m2+1．解得m=±2．∵m＞0，∴m=2，∴M（2，﹣8）．故选C．
考点：二次函数的性质．
9、A
【解析】
试题分析：从上边看立体图形得到俯视图即可得右侧立体图形的俯视图是，故选A.
考点：简单组合体的三视图．
10、B
【解析】
本题主要需要分类讨论第一次摸到的球是白球还是红球，然后再进行计算.
【详解】
①若第一次摸到的是白球，则有第一次摸到白球的概率为，第二次，摸到白球的概率为，则有；②若第一次摸到的球是红色的，则有第一次摸到红球的概率为，第二次摸到白球的概率为1，则有，则两次摸到的球的颜色不同的概率为.
掌握分类讨论的方法是本题解题的关键.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、
【解析】
根据勾股定理解答即可．
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠A是直角，AB＝2，AC＝3，
∴BC＝＝＝，
故答案为：
此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理解答．
12、
【解析】
根据扇形面积公式求解即可
【详解】
根据扇形面积公式.
可得：，
，
故答案：.
本题主要考查了扇形的面积和弧长之间的关系, 利用扇形弧长和半径代入公式即可求解, 正确理解公式是解题的关键. 注意在求扇形面积时, 要根据条件选择扇形面积公式.
13、2.35×1
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
解：将235000000用科学记数法表示为：2.35×1．
故答案为：2.35×1．
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14、1
【解析】
先求出直线y=x+2与坐标轴的交点坐标，再由三角形的中位线定理求出CD，得到C点坐标．
【详解】
解：令x=0，得y=x+2=0+2=2，
∴B（0，2），
∴OB=2，
令y=0，得0=x+2，解得，x=-6，
∴A（-6，0），
∴OA=OD=6，
∵OB∥CD，
∴CD=2OB=4，
∴C（6，4），
把c（6，4）代入y= （k≠0）中，得k=1，
故答案为：1．
本题考查了一次函数与反比例函数的综合，需要掌握求函数图象与坐标轴的交点坐标方法，三角形的中位线定理，待定系数法．本题的关键是求出C点坐标．
15、且
【解析】
分析：根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△=4-12m＞1且m≠1，求出m的取值范围即可．
详解：∵一元二次方程mx2-2x+3=1有两个不相等的实数根，
∴△＞1且m≠1，
∴4-12m＞1且m≠1，
∴m＜且m≠1，
故答案为：m＜且m≠1．
点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=1（a≠1，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞1，方程有两个不相等的实数根；当△=1，方程有两个相等的实数根；当△＜1，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
16、﹣1
【解析】
∵OD=2AD，
∴，
∵∠ABO=90°，DC⊥OB，
∴AB∥DC，
∴△DCO∽△ABO，
∴，
∴，
∵S四边形ABCD=10，
∴S△ODC=8，
∴OC×CD=8，
OC×CD=1，
∴k=﹣1，
故答案为﹣1．
三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）1月份B款运动鞋销售了40双；（2）3月份的总销售额为39000元；（3）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）用一月份A款的数量乘以，即可得出一月份B款运动鞋销售量；（2）设A，B两款运动鞋的销量单价分别为x元，y元，根据图形中给出的数据，列出二元一次方程组，再进行计算即可；（3）根据条形统计图和折线统计图所给出的数据，提出合理的建议即可．
试题解析：（1）根据题意，用一月份A款的数量乘以：50×=40（双）．即一月份B款运动鞋销售了40双；（2）设A，B两款运动鞋的销量单价分别为x元，y元，根据题意得：，解得：．则三月份的总销售额是：400×65+500×26=39000=3.9（万元）；（3）从销售量来看，A款运动鞋销售量逐月增加，比B款运动鞋销量大，建议多进A款运动鞋，少进或不进B款运动鞋．
考点：1.折线统计图；2.条形统计图．
18、（1）1；（2）详见解析；（3）750；（4）．
【解析】
（1）用排球的人数÷排球所占的百分比，即可求出抽取学生的人数；
（2）足球人数=学生总人数-篮球的人数-排球人数-羽毛球人数-乒乓球人数，即可补全条形统计图；
（3）计算足球的百分比，根据样本估计总体，即可解答；
（4）利用概率公式计算即可.
【详解】
（1）30÷15%=1（人）．
答：共抽取1名学生进行问卷调查；
故答案为1．
（2）足球的人数为：1﹣60﹣30﹣24﹣36=50（人），“足球球”所对应的圆心角的度数为360°×0.25=90°．
如图所示：
（3）3000×0.25=750（人）．
答：全校学生喜欢足球运动的人数为750人．
（4）画树状图为：（用A、B、C、D、E分别表示篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球的五张卡片）
共有25种等可能的结果数，选同一项目的结果数为5，
所以甲乙两人中有且选同一项目的概率P（A）=．
本题主要考查了条形统计图，扇形统计图以及用样本估计总体的应用，解题时注意：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
19、（1）证明见解析；（2）补图见解析；．
【解析】
根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，根据余角的性质即可得到结论；
根据平行线的判定定理得到AD∥BG，推出四边形ABGD是平行四边形，得到平行四边形ABGD是菱形，设AB=BG=GD=AD=x，解直角三角形得到 ，过点B作 于H，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：，
，
，
，
，
，
，
，
；
补全图形，如图所示：
，，
，，
，，
，
，，且，
，
，
，
四边形ABGD是平行四边形，
，
平行四边形ABGD是菱形，
设，
，
，
，
过点B作于H，
．
．
故答案为（1）证明见解析；（2）补图见解析；．
本题考查等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
20、（1）证明见解析；（2）CE=1．
【解析】
（1）根据等角对等边得∠OBE=∠OEB，由角平分线的定义可得∠OBE=∠EBC，从而可得∠OEB=∠EBC，根据内错角相等，两直线平行可得OE∥BC，根据两直线平行，同位角相等可得∠OEA=90°，从而可证AC是⊙O的切线.
（2）根据垂径定理可求BH=BF=3，根据三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形OHCE是矩形，由矩形的对边相等可得CE=OH，在Rt△OBH中，利用勾股定理可求出OH的长，从而求出CE的长.
【详解】
（1）证明：如图，连接OE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵ BE平分∠ABC．
∴∠OBE=∠EBC，
∴∠OEB=∠EBC，
∴OE∥BC，
∵ ∠ACB=90° ，
∴∠OEA=∠ACB=90°，
∴ AC是⊙O的切线 .
（2）解：过O作OH⊥BF，
∴BH=BF=3，四边形OHCE是矩形，
∴CE=OH，
在Rt△OBH中，BH=3，OB=5，
∴OH==1，
∴CE=1.
本题考查切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线和垂径定理以及勾股定理的运用，具有一定的综合性．
21、
【解析】
原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值化简，最后一项利用绝对值的代数意义化简，即可得到结果；
【详解】
原式=
=
=．
此题考查实数的混合运算．此题难度不大，注意解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．
22、（1）40、126（2）240人（3）
【解析】
（1）用2部的人数10除以2部人数所占的百分比25％即可求出本次调查的学生数，根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°，即可得到“1部”所在扇形的圆心角；
（2）用1600乘以4部所占的百分比即可；
（3）根据树状图所得的结果，判断他们选中同一名著的概率．
【详解】
（1）调查的总人数为：10÷25%=40，
∴1部对应的人数为40﹣2﹣10﹣8﹣6=14，
则扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为：×360°=126°；
故答案为40、126；
（2）预估其中4部都读完了的学生有1600×=240人；
（3）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，
画树状图可得：
共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，
故P（两人选中同一名著）==．
本题考查了扇形统计图和条形统计图的综合，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率.解答此类题目，要善于发现二者之间的关联点，即两个统计图都知道了哪个量的数据，从而用条形统计图中的具体数量除以扇形统计图中占的百分比，求出样本容量，进而求解其它未知的量.
23、（1）EF是⊙O的切线，理由详见解析；（1）详见解析；（3）⊙O的半径的长为1．
【解析】
（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠AEO，∠B=∠BEF，于是得到∠
OEG=90°，即可得到结论；
（1）根据含30°的直角三角形的性质证明即可；
（3）由AD是⊙O的直径，得到∠AED=90°，根据三角形的内角和得到∠EOD=60°，求得
∠EGO=30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：（1）连接OE，
∵OA=OE，
∴∠A=∠AEO，
∵BF=EF，
∴∠B=∠BEF，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠AEO+∠BEF=90°，
∴∠OEG=90°，
∴EF是⊙O的切线；
（1）∵∠AED=90°，∠A=30°，
∴ED=AD，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠B=∠BEF=60°，
∵∠BEF+∠DEG=90°，
∴∠DEG=30°，
∵∠ADE+∠A=90°，
∴∠ADE=60°，
∵∠ADE=∠EGD+∠DEG，
∴∠DGE=30°，
∴∠DEG=∠DGE，
∴DG=DE，
∴DG=DA；
（3）∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED=90°，
∵∠A=30°，
∴∠EOD=60°，
∴∠EGO=30°，
∵阴影部分的面积
解得：r1=4，即r=1，
即⊙O的半径的长为1．
本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
24、（1）证明见解析；（2）15.
【解析】
（1）先连接OD，根据圆周角定理求出∠ADB=90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=BE，推出∠EDB=∠EBD，∠ODB=∠OBD，即可求出∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可．
（2）首先证明AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC=12，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2-202，可得x2+122=（x+16）2-202，解方程即可解决问题．
【详解】
（1）证明：连结OD，∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
又∵OD=OB，
∴∠B=∠BDO，
∵∠ADE=∠A，
∴∠ADE+∠BDO=90°，
∴∠ODE=90°．
∴DE是⊙O的切线；
（2）连结CD，∵∠ADE=∠A，
∴AE=DE．
∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°．
∴EC是⊙O的切线．
∴DE=EC．
∴AE=EC，
又∵DE=10，
∴AC=2DE=20，
在Rt△ADC中，DC=
设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，
在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，
∴x2+122=（x+16）2﹣202，解得x=9，
∴BC=.
考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活综合运用所学知识解决问题.