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浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高一下学期期中数学试卷（Word版附答案）
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这是一份浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高一下学期期中数学试卷（Word版附答案），文件包含浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷Word版无答案docx、浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案标号涂黑.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液.
4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破.
选择题部分(共58分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数，，其中为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在第（ ▲ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
2．边长为2的正三角形的直观图的面积是（ ▲ ）
A． B． C． D．
3．甲乙丙丁四位同学各掷5次骰子并记录点数，方差最大的是（ ▲ ）
甲：4 5 4 5 5 乙：4 2 3 4 3 丙：2 3 2 3 4 丁：6 1 2 6 1
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4.若为空间中的不同直线，为不同平面，则下列为真命题的个数是（ ▲ ）
①，则； ②，则；
③，则； ④，则.
A．0 B．1 C．2 D． 3
5．一个射击运动员打靶6次的环数为:9，5，7，6，8，7下列结论不正确的是（ ▲ ）
A.这组数据的平均数为7 B.这组数据的众数为7
C.这组数据的中位数为7 D.这组数据的方差为7
6．如图，正三棱柱的所有边长都相等，P为线段的中点，Q为侧面内的一点（包括边界，异于点P），过点A、P、Q作正三棱柱的截面，则截面的形状不可能是（ ▲ ）
A．五边形 B．四边形 C．等腰三角形 D．直角三角形
7．已知球O为棱长为1的正四面体ABCD的外接球，若点P是正四面体ABCD的表面上的一点，Q为球O表面上的一点，则的最大值为（ ▲ ）
A．B．C．D．
8. 三棱锥中，，则三棱锥的体积的最大值为（ ▲ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0 分，部分选对的得部分．
9.已知事件A，B满足，，则（ ▲ ）
A. 事件A与B可能为对立事件 B. 若A与B相互独立，则
C. 若A与B互斥，则 D. 若A与B互斥，则
10.如图，在正方体中，分别为线段中点，分别为线段，线段上的动点，则三棱锥的体积（ ▲ ）
A.与点位置有关 B.与点位置无关
C.与点位置有关 D.与点位置无关
11.如图，三棱锥中，为边长是的正三角形，底面是线段上一动点,则下列说法正确的是（ ▲ ）
A.点B到平面的距离的最大值为
B.三棱锥的内切球半径为
C.PB与AQ所成角可能为
D.与平面所成角的正切值的最大值为
非选择题部分(共92分)
三、 填空题: 本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为，则事件的概率为__▲__.
13.正方体棱长为为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为__▲__.
某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取70件做使用寿命的测试，则C车间应抽取的件数为__▲___；若A,B,C三个车间产品的平均寿命分别为200，220，210小时，方差分别为30，20，40，则总样本的方差为__▲__.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知复数z满足方程，其中i为虚数单位，.
（1）当时，求；（2）若，求的最小值.
16.（15分）正方体棱长为2，，分别为和的中点．
(1)证明：直线平面;
(2)求直线与平面所成角的正切值．
17. （15分）为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，进一步推动青少年学生阅读深入开展，促进全面提升育人水平，教育部决定开展全国青少年学生读书行动.某校实施了全国青少年学生读书行动实施方案.现从该校的2400名学生中发放调查问卷，随机调查100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照[0，20），[20，40），…[120，140]分组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟）
(1)若每周课外阅读时间1小时以上视为达标，则该校达标的约为几人（保留整数）；
(2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间；
(3)估计该校学生每周课外阅读时间的第75百分位数（结果保留1位小数）.
18.（17分）如图，已知三棱台的体积为 ，平面平面 ，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，
（1）证明：平面 ；
（2）求点到面的距离;
（3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.
19.（17分）球面几何学是在球表面上的几何学，也是非欧几何的一个例子.
对于半径为的球，过球面上一点作两条大圆的弧，它们构成的图形叫做球面角，记作，其值为二面角的大小,点称为球面角的顶点，大圆弧称为球面角的边.
不在同一大圆上的三点，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧，这三条劣弧组成的图形称为球面.这三条劣弧称为球面的边，三点称为球面的顶点；三个球面角称为球面的三个内角.
已知球心为的单位球面上有不同在一个大圆上的三点.
（1）球面的三条边长相等（称为等边球面三角形），若，求球面的内角和；
（2）类比二面角，我们称从点出发的三条射线组成的图形为三面角，记为.
其中点称为三面角的顶点，称为它的棱，称为它的面角.
若三面角 的三个面角的余弦值分别为.
(i) 求球面的三个内角的余弦值;
(ii) 求球面的面积.
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案标号涂黑.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液.
4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破.
选择题部分(共58分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数，，其中为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在第（ ▲ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
2．边长为2的正三角形的直观图的面积是（ ▲ ）
A． B． C． D．
3．甲乙丙丁四位同学各掷5次骰子并记录点数，方差最大的是（ ▲ ）
甲：4 5 4 5 5 乙：4 2 3 4 3 丙：2 3 2 3 4 丁：6 1 2 6 1
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4.若为空间中的不同直线，为不同平面，则下列为真命题的个数是（ ▲ ）
①，则； ②，则；
③，则； ④，则.
A．0 B．1 C．2 D． 3
5．一个射击运动员打靶6次的环数为:9，5，7，6，8，7下列结论不正确的是（ ▲ ）
A.这组数据的平均数为7 B.这组数据的众数为7
C.这组数据的中位数为7 D.这组数据的方差为7
6．如图，正三棱柱的所有边长都相等，P为线段的中点，Q为侧面内的一点（包括边界，异于点P），过点A、P、Q作正三棱柱的截面，则截面的形状不可能是（ ▲ ）
A．五边形 B．四边形 C．等腰三角形 D．直角三角形
7．已知球O为棱长为1的正四面体ABCD的外接球，若点P是正四面体ABCD的表面上的一点，Q为球O表面上的一点，则的最大值为（ ▲ ）
A．B．C．D．
8. 三棱锥中，，则三棱锥的体积的最大值为（ ▲ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0 分，部分选对的得部分．
9.已知事件A，B满足，，则（ ▲ ）
A. 事件A与B可能为对立事件 B. 若A与B相互独立，则
C. 若A与B互斥，则 D. 若A与B互斥，则
10.如图，在正方体中，分别为线段中点，分别为线段，线段上的动点，则三棱锥的体积（ ▲ ）
A.与点位置有关 B.与点位置无关
C.与点位置有关 D.与点位置无关
11.如图，三棱锥中，为边长是的正三角形，底面是线段上一动点,则下列说法正确的是（ ▲ ）
A.点B到平面的距离的最大值为
B.三棱锥的内切球半径为
C.PB与AQ所成角可能为
D.与平面所成角的正切值的最大值为
非选择题部分(共92分)
三、 填空题: 本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为，则事件的概率为__▲__.
13.正方体棱长为为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为__▲__.
某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取70件做使用寿命的测试，则C车间应抽取的件数为__▲___；若A,B,C三个车间产品的平均寿命分别为200，220，210小时，方差分别为30，20，40，则总样本的方差为__▲__.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知复数z满足方程，其中i为虚数单位，.
（1）当时，求；（2）若，求的最小值.
16.（15分）正方体棱长为2，，分别为和的中点．
(1)证明：直线平面;
(2)求直线与平面所成角的正切值．
17. （15分）为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，进一步推动青少年学生阅读深入开展，促进全面提升育人水平，教育部决定开展全国青少年学生读书行动.某校实施了全国青少年学生读书行动实施方案.现从该校的2400名学生中发放调查问卷，随机调查100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照[0，20），[20，40），…[120，140]分组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟）
(1)若每周课外阅读时间1小时以上视为达标，则该校达标的约为几人（保留整数）；
(2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间；
(3)估计该校学生每周课外阅读时间的第75百分位数（结果保留1位小数）.
18.（17分）如图，已知三棱台的体积为 ，平面平面 ，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，
（1）证明：平面 ；
（2）求点到面的距离;
（3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.
19.（17分）球面几何学是在球表面上的几何学，也是非欧几何的一个例子.
对于半径为的球，过球面上一点作两条大圆的弧，它们构成的图形叫做球面角，记作，其值为二面角的大小,点称为球面角的顶点，大圆弧称为球面角的边.
不在同一大圆上的三点，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧，这三条劣弧组成的图形称为球面.这三条劣弧称为球面的边，三点称为球面的顶点；三个球面角称为球面的三个内角.
已知球心为的单位球面上有不同在一个大圆上的三点.
（1）球面的三条边长相等（称为等边球面三角形），若，求球面的内角和；
（2）类比二面角，我们称从点出发的三条射线组成的图形为三面角，记为.
其中点称为三面角的顶点，称为它的棱，称为它的面角.
若三面角 的三个面角的余弦值分别为.
(i) 求球面的三个内角的余弦值;
(ii) 求球面的面积.
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