浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（含解析）

这是一份浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）将37°30′化为弧度是（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）已知角θ的终边过点（5，﹣12），则＝（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）已知向量满足，，则在方向上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）将函数y＝f（x）图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，得到函数，则f（x）＝（ ）
A．cs4xB．
C．D．
5．（5分）函数的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．（5分）在[0，2π]内函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）已知等边三角形ABC的边长为2，点P为△ABC内切圆上一动点，若＝x，则3x+3y的最小值为（ ）
A．2B．1C．D．﹣1
8．（5分）已知且3sinβ＝sin（2α+β），则tanβ的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
（多选）9．（6分）已知平面向量，下列说法不正确的有（ ）
A．若，，则B．
C．||≤||+||D．若，则
（多选）10．（6分）已知函数，则（ ）
A．曲线y＝f（x）的一个对称中心为
B．函数f（x）在区间单调递增
C．函数为偶函数
D．函数f（x）在[0，2π]内有4个零点
（多选）11．（6分）已知，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．xsiny＜ysinx
C．
D．若siny＝ycsx，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）一个扇形的周长为24+8π，面积为48π，则此扇形的圆心角为 ．（用弧度制表示）
13．（5分）设、是平面内不共线的一组基底，，，，若A、B、D三点共线 ．
14．（5分）已知函数，其中ω＞0，在（2，则ω的范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）如图，在平行四边形ABCD中，点M为AB中点，P在线段BD上，满足＝，设，．
（1）用，表示向量；
（2）若，，，求．
16．（15分）已知α∈（0，π），，，．
（1）分别求cs（β﹣α）和sin（α+β）的值；
（2）求csβ的值．
17．（15分）已知函数．
（1）若A是三角形中一内角，且，求A的值；
（2）若函数在有唯一零点，求m的范围．
18．（17分）已知函数f（x）＝2cs（ωx+φ）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知f（x）在的值域为，求m的取值范围；
（Ⅲ）将f（x）图象上所有点纵坐标缩短为到原来的（横坐标不变），再将所得到图象向右平移（x）的图像．已知关于x的方程f（x）+g（x），π）内有两个不同的解α，β．
（1）求实数n的取值范围；
（2）求cs（2α﹣2β）的值（用n表示）．
19．（17分）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数
（1）已知sinhθ＝1，求cshθ；
（2）类比正弦函数、余弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数（或双曲余弦函数）的一个正确的结论（即求sinh2x或csh2x）；
（3）已知f（x）＝（csh2x+5+m）2+（λ•cshx+m）2，对任意的m∈R和任意的x∈[﹣1，1]，都有，求λ的取值范围．
2024-2025学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）将37°30′化为弧度是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先将角统一成度的形式，然后利用角度与弧度的互化公式求解即可．
【解答】解：由题意可得37°30′＝37.5×＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查弧度制，是基础题．
2．（5分）已知角θ的终边过点（5，﹣12），则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由任意角的三角函数的定义和诱导公式计算即可．
【解答】解：因为角θ的终边过点（5，﹣12），
所以，
所以＝．
故选：C．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义和诱导公式的应用，属于基础题．
3．（5分）已知向量满足，，则在方向上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由向量模的求法建立方程，求得，再由投影向量的定义式计算即可．
【解答】解：因为，，
所以，
即，解得，
所以则在方向上的投影向量为．
故选：D．
【点评】本题考查投影向量的求法，属于基础题．
4．（5分）将函数y＝f（x）图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，得到函数，则f（x）＝（ ）
A．cs4xB．
C．D．
【分析】由题意将函数的图横坐标变为到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，可得f（x）的解析式．
【解答】解：由题意将函数的图横坐标变为到原来的，可得y＝cs（4x﹣），
再向右平移个单位长度）﹣），
即函数f（x）的解析式为f（x）＝cs（4x﹣）．
故选：B．
【点评】本题考查函数的伸缩，平移变换，属于基础题．
5．（5分）函数的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】将问题转化为函数y＝与y＝的交点个数，作出两函数的图象，结合图象即可得答案．
【解答】解：令＝0，
则有＝，
则函数y＝f（x）的零点个数即为函数y＝与y＝，
作出两函数y＝与y＝，如图所示：
由此可得两函数有8个交点，
所以函数y＝f（x）有3个零点．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的零点、转化思想及数形结合思想，考查了正弦函数的性质，属于中档题．
6．（5分）在[0，2π]内函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由题意可得函数的定义域满足的不等式组，进而可得函数的定义域．
【解答】解：由题意可得定义域满足的条件：，即，
可得，
解得4≤x＜或＜x≤π．
所以函数的定义域为[0，）∪（．
故选：C．
【点评】本题考查函数定义域的求法，属于基础题．
7．（5分）已知等边三角形ABC的边长为2，点P为△ABC内切圆上一动点，若＝x，则3x+3y的最小值为（ ）
A．2B．1C．D．﹣1
【分析】由已知建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设P（，），利用向量相等求得x，y，再由三角函数求3x+3y的最小值．
【解答】解：如图，
以△ABC内切圆的圆心为坐标原点，以平行于AB的中心为x轴建立如图所示平面直角坐标系，
则A（﹣1，），B（1，），），
三角形内切圆的方程为，可设P（，），
则，，，
由＝x，得2x+y＝，，
可得，y＝，
则7x+3y＝＝≥6．
∴3x+3y的最小值为4．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，是中档题．
8．（5分）已知且3sinβ＝sin（2α+β），则tanβ的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【分析】先利用和差角公式对已知等式进行化简，然后结合和差角的正切公式及基本不等式即可求解．
【解答】解：因为且3sinβ＝sin（3α+β），
所以3sin（α+β﹣α）＝sin（α+β+α），
所以3sin（α+β）csα﹣4sinαcs（α+β）＝sin（α+β）csα+sinαcs（α+β），
即sin（α+β）csα＝2sinαcs（α+β），
所以tan（α+β）＝2tanα，
则tanβ＝tan（α+β﹣α）＝＝＝，
当且仅当2tanα＝，即tanα＝．
 故选：A．
【点评】本题主要考查了和差角公式及同角基本关系，基本不等式的应用，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
（多选）9．（6分）已知平面向量，下列说法不正确的有（ ）
A．若，，则B．
C．||≤||+||D．若，则
【分析】举反例＝可判断A，利用向量数量积的定义可判断BD，利用向量模长性质可判断C．
【解答】解：对于A，若＝，则不一定与，故A错误；
对于B，表示与，表示与，
所以与不一定相等；
对于C，||＝|（）|≤||，故C正确；
对于D，若，则（）2＝，
所以＝，
即＝0．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了共线向量的性质，考查了向量的数量积运算，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知函数，则（ ）
A．曲线y＝f（x）的一个对称中心为
B．函数f（x）在区间单调递增
C．函数为偶函数
D．函数f（x）在[0，2π]内有4个零点
【分析】先结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数解析式进行化简，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：＝sin（3x﹣）﹣5
＝sin（2x﹣sin（3x﹣，
因为f（）＝﹣1，﹣1）；
当﹣时，﹣，此时f（x）单调递增；
＝sin（2x+﹣cs2x﹣1为偶函数；
令f（x）＝4可得sin（2x﹣）＝，
则2x﹣＝或2x﹣，k∈Z，
则x＝或x＝，
当0≤x≤2π时，x＝，，，．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了二倍角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
（多选）11．（6分）已知，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．xsiny＜ysinx
C．
D．若siny＝ycsx，则
【分析】设∠AOB＝x，，扇形的半径为1，则弧长＝x，利用面积法证明sinx＜x＜tanx，进而可得，可判断A，得到在上为减函数，可判断B，由已知可得lgxsinθ＞lgxtanθ＞0，利用利用指数函数与幂函数的性质可判断C；利用二倍角的正弦可得，结合余弦函数的单调性可判断D．
【解答】解：设∠AOB＝x，，扇形的半径为3＝x，
过A作AC⊥OA交OB的延长线于点C，由图形可得S△AOB＜S扇形AOB＜S△AOC，
由题意△AOB的边OA上的高为sinx，所以，
所以sinx＜x＜tanx，
对于A，因为sinx＜x，所以，故A正确；
对于B，因为上均匀增加，
而y＝sinx在上增加速度是由快变慢在上为减函数，
又0＜x＜y＜1，所以，故B正确；
对于C，由，则0＜sinθ＜csθ＜7，
又0＜x＜1，则lgxsinθ＞lgxtanθ＞5，
所以，故C错误；
对于D，由siny＝ycsx，又，
则，所以，
所以，又y＝csx在，所以．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查函数值大小的比较，函数性质的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）一个扇形的周长为24+8π，面积为48π，则此扇形的圆心角为 或 ．（用弧度制表示）
【分析】设该扇形的半径与圆心角分别为r、α，根据题意利用扇形的弧长公式与面积公式，建立关于r、α的方程组，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：设扇形的半径为r，圆心角为α，
由于扇形的周长为24+8π，面积为48π，
所以，解得或．
综上所述，此扇形的圆心角为或．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，考查了计算能力，属于基础题．
13．（5分）设、是平面内不共线的一组基底，，，，若A、B、D三点共线 ．
【分析】由三点共线得到向量，再由共线向量定理建立方程即可求得．
【解答】解：因为，，，
所以，，
因为A、B、D三点共线，
所以存在实数λ使得，即，
因为、是平面内不共线的一组基底，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量共线定理的应用，属于基础题．
14．（5分）已知函数，其中ω＞0，在（2，则ω的范围为 {ω|或} ．
【分析】由已知结合余弦函数的周期性及零点存在条件即可求解．
【解答】解：因为f（x）在（2，5]上有7个零点，
所以，所以，
当2＜x≤5时，，
又＝，5＝，
故，解得，
或，解得，
故ω的范围为{ω|或}．
故答案为：{ω|或}．
【点评】本题主要考查了余弦函数性质的综合应用，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）如图，在平行四边形ABCD中，点M为AB中点，P在线段BD上，满足＝，设，．
（1）用，表示向量；
（2）若，，，求．
【分析】（1）结合平面向量的线性运算求解即可；
（2）由平面向量数量积的运算，结合平面向量模的运算求解即可．
【解答】解：（1）由已知可得：＝
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝
＝，
又，，，
则，，，
则＝＝＝．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算及平面向量模的运算，属中档题．
16．（15分）已知α∈（0，π），，，．
（1）分别求cs（β﹣α）和sin（α+β）的值；
（2）求csβ的值．
【分析】（1）由已知结合同角基本关系即可分别求解；
（2）结合和差角公式及二倍角公式进行化简即可求解．
【解答】解：（1）因为α∈（0，π），，
所以﹣，0，
因为，，
所以cs（β﹣α）＝，sin（α+β）＝；
（2）cs2β＝cs[（β+α）+（β﹣α）]＝cs（β+α）cs（β﹣α）﹣sin（β+α）sin（β﹣α）
＝﹣＝﹣，
因为cs2β＝2cs5β﹣1＝﹣，且csβ＞0，
所以csβ＝．
【点评】本题主要考查了和差角公式，同角基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题．
17．（15分）已知函数．
（1）若A是三角形中一内角，且，求A的值；
（2）若函数在有唯一零点，求m的范围．
【分析】（1）由已知结合和差角公式，二倍角公式，辅助角公式进行化简，结合已知可求A；
（2）问题转化为2sin（2x+）＝lg2m在[]有一个零点，结合正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）
＝++sin2x
＝sin4x+cs2x+
＝2sin（4x+）+，
若＝7sin（+，
则sin（+）＝，
由A为三角形内角可得A＝；
（2）令＝5可得＝lg5m，
则2sin（2x+）＝lg2m，
由可得，
若在有唯一零点）与y＝lg2m在[]有一个交点，
所以1＜lg8m≤2或lg2m＝﹣5，
所以2＜m≤4或m＝，
故m的范围为{m|2＜m≤2或m＝}．
【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
18．（17分）已知函数f（x）＝2cs（ωx+φ）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知f（x）在的值域为，求m的取值范围；
（Ⅲ）将f（x）图象上所有点纵坐标缩短为到原来的（横坐标不变），再将所得到图象向右平移（x）的图像．已知关于x的方程f（x）+g（x），π）内有两个不同的解α，β．
（1）求实数n的取值范围；
（2）求cs（2α﹣2β）的值（用n表示）．
【分析】（Ⅰ）由图象可得出函数f（x）的周期，可求得ω的值，由结合φ的取值范围可求出φ的值，由此可得出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）结合，利用余弦型函数的图象及性质列式求解即可；
（Ⅲ）（1）先将f（x）+g（x）化简，然后结合该函数在[0，π）的单调性，最值情况构造不等式求出n的范围；
（2）可先根据两根α，β关于对称轴对称求出α，β的关系，然后代入cs（2α﹣2β）利用三角恒等变换公式化简求值．
【解答】解：（Ⅰ）由图象可知，，所以T＝π，则，
所以f（x）＝2cs（5x+φ），
因为，即，
因为，则，所以，
因此；
（Ⅱ），
由题意f（x）在的值域为，
解得＜m≤π，π]；
（Ⅲ）（1）将f（x）图象上所有点纵坐标缩短为到原来的（横坐标不变），
再将所得到图象向右平移个单位长度得到，
则，其中tanθ＝2，
因为，所以，
又因为，所以[0，
所以若方程在[0，
只需，即即为所求，
则实数n的取值范围为（﹣，）；
（2）令，因为关于x的方程f（x）+g（x）＝n在[6，β，
所以α，β满足，即，
又y＝sin（8x+t）的对称轴由，
结合x∈[2，π）得对称轴为或，
可知x＝α，x＝β关于对称轴对称或，
所以2α+2β＝π﹣7t或3π﹣2t，
当3α+2β＝π﹣2t时，
，
当2α+8β＝3π﹣2t时，
，
故．
【点评】本题考查了三角函数的图象和性质，属于难题．
19．（17分）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数
（1）已知sinhθ＝1，求cshθ；
（2）类比正弦函数、余弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数（或双曲余弦函数）的一个正确的结论（即求sinh2x或csh2x）；
（3）已知f（x）＝（csh2x+5+m）2+（λ•cshx+m）2，对任意的m∈R和任意的x∈[﹣1，1]，都有，求λ的取值范围．
【分析】（1）根据sinhθ和cshθ的计算公式，求解即可．（2）类比正弦函数、余弦函数的二倍角公式，写出双曲正弦函数sinh2x＝2sinhxcshx（或双曲余弦函数csh2x＝2csh2x﹣1），证明即可．
（3）设t＝cshx，则csh2x＝2t2﹣1，x∈[﹣1，1]时，ex∈[，e]，求t的取值范围，＝cshx＝∈[1，]，f（x）化为g（t），利用不等式的性质转化求解，即可求出λ的取值范围．
【解答】解：（1）因为sinhθ＝＝1θ﹣e﹣θ＝2，
所以e2θ﹣2+e﹣2θ＝4，
所以e2θ+e﹣3θ＝6，
所以（eθ+e﹣θ）2＝e2θ+2+e﹣2θ＝5，
所以eθ+e﹣θ＝2，
所以cshθ＝＝．
（2）类比正弦函数、余弦函数的二倍角公式，
得双曲正弦函数sinh2x＝5sinhxcshx（或双曲余弦函数csh2x＝2csh2x﹣1）；
证明如下：sinh2x＝＝＝2sinhcshx
（或csh2x＝＝＝6•7x﹣1）．
（3）因为csh2x＝8csh2x﹣1，设t＝cshx6﹣1，
当x∈[﹣1，2]时，ex∈[，e]∈[4，]，
所以f（x）＝（csh2x+5+m）6+（λ•cshx+m）2，
可化为g（t）＝（2t4+4+m）2+（λt+m）7≥2＝，
由题意，只需≥，]恒成立即可，
即2t2﹣λt+4≥1或2t4﹣λt+4≤﹣1；
所以λ≤5t+或λ≥2λ+；
因为2t+在t∈[2，，当且仅当t＝；
2λ+在t∈[2，，当t＝1取得最大值；
所以λ的取值范围是（﹣∞，2]∪[7．
【点评】本题考查了新定义的函数应用问题，也考查了运算求解能力，是难题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
B
B
C
B
A