江苏南京市七校联合体2025-2026学年第二学期期中调研高二数学试卷

这是一份江苏南京市七校联合体2025-2026学年第二学期期中调研高二数学试卷，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为（ ）
A. B. C. D.
2.若曲线在点处的切线方程是，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知展开后共有30项，则为（ ）
A. 5B. 6C. 10D. 12
4.在四面体中，点在上，且，点是中点，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知随机变量的分布列如下表所示，设，则的数学期望的值是（ ）
A. B. C. D.
6.若函数在区间上存在单调递减区间，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.在三棱锥中，，，为的中点，且，，若二面角的大小为，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，若函数有4个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列求导运算正确的有（）
A. B.
C. D.
10.3名男生，3名女生，这6个人站成一排，下列选项正确的是（）
A. 男生必须排在一起，共有120种排法
B. 男生必须排在一起，并且女生也必须排在一起，共有36种排法
C. 男生互不相邻，共有144种排法
D. 男生和女生均按照身高递增的顺序从左到右依次排列，共有20种排法
11.已知正方体棱长为1，动点满足，，则下列选项正确的是（ ）
A. 若点在平面内，则
B. 当，，时，点到直线的距离为
C. 当，时，该正方体被平面所截得的截面的最大面积是
D. 当，时，二面角的正弦值的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则x可能取值为 .
13.从5名女生和3名男生中选取3人参加学校活动，在女生甲被选中的情况下，有两名男生被选中的概率为 .
14.把黄、绿、棕、蓝、粉、黑6颗不同的小球放入A，B，C三个不同的盒子里，每个盒子至少放一个小球，其中黑色小球必须放入A盒子中，则有 种不同的安排方法.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知.
(1)求展开式中的带有的项；
(2)求展开式中各项的系数和；
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
16.(本小题15分)
多项选择题是标准化考试中常见题型，从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或者三个选项是正确的）如果答案有且仅有两个选项是正确的，那么其评分标准为全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分；如果答案有且仅有三个选项是正确的，那么评分标准是全部选对得6分，只选一个且没有选错得2分，只选两个且没有选错得4分，有选错的得0分．
(1)在一次数学考试中，某道多项选择题的正确答案是三个选项，甲同学不会做，于是他随机选择了两个选项，求他本题得4分的概率；
(2)现有2道正确答案是两个选项的多项选择题，根据以往经验，第一题得6分的概率为，得3分的概率为；第二题得6分的概率为，得3分的概率为．两道题答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题的总得分的分布列．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥中，平面，，，，．
(1)若点为的中点，求证：.
(2)求直线与平面所成的角的正弦值．
(3)若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知函数，．
(1)当时，求的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若对任意恒成立，求整数的最小值．
19.(本小题17分)
有一些不透明的盒子，每个盒子里都装有形状和大小完全相同的个红球和个白球．
(1)取出五个盒子，分别编号为，
第一步，把号盒子里的两个球放入号盒子，把号盒子里的两个球放入号盒子，把号盒子中的红球放入号盒子，白球放入号盒子；
第二步，从号盒子里随机摸出2个球，若摸出的两个球颜色相同，则将这两个球放入号盒子中，若摸出的两个球颜色不同，则放回号盒子中；
第三步，从号盒子中随机摸出一个球，查看颜色．
①求第三步摸到的球是红球的概率；
②若第三步摸到的是白球，请问第二步中从号盒子里摸出的两个球是放入号盒子中，还是放回号盒子中，哪种可能性更大呢？
(2)取出个盒子，重新编号，依次为，
从号盒子里随机摸出一个球放入号盒子，再从号盒子中随机摸出一个球放入号盒子，重复上述操作，直至从号盒子中随机摸出一个球放入号盒子，最后从号盒子中随机摸出一个球丢掉．记此时号盒子中红球个数的期望为，试比较与的大小．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】BCD
10.【答案】CD
11.【答案】BC
12.【答案】7或5
13.【答案】
14.【答案】180
15.【答案】解：（1）由题意知，展开式的通项公式为，，
令，解得
所以，展开式中的带有的项为；
（2）根据题意，令，此时展开式的值即为各项系数和：.
（3）因为，所以展开式共有7项，
由二项式系数的性质可知，第4项的二项式系数最大，
所以.

16.【答案】解：（1）设“甲同学得4分”为事件，
该同学所有可能的选择答案的样本空间，
包含6个样本点，而事件A包含3个，所以
所以他本题得4分的概率为．
（2）设“这2道多项选择题的总得分”为随机变量，可能取值为0，3，6，9，12，
则，，
，
，，
所以随机变量的概率分布如下：

17.【答案】解：（1）分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，
则，则，，
，所以.
（2）设平面的法向量为，
，
则，设，则，所以，
设与平面的夹角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为；
（3）由得，，
在平面中，，，设平面的法向量为，
则有，令，解得，，
故平面的一个法向量为，
同理，，设平面的一个法向量为，
则有，令，则，故，
设平面与平面的夹角为，则，
综上，平面与平面的夹角的余弦值为

18.【答案】解：（1）当 时， ，定义域为 ,
则 ，令 解得
所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减
所以 有极大值 ，无极小值
（2）
若 时， 在 上恒成立，此时 在 上单调递增；
若 时，令 ，即 ，解得 或 （舍去）.
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减；
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递减
（3）因为对任意 ， 恒成立，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立
设 ，则
设 ， ，则 在 上单调递减，
因为 ， ，
所以 ，使得 ，即 ，则 .
当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 在 上的最大值
因为 ，所以 .故整数 的最小值为1

19.【答案】解：（1）第一步结束后，1号盒子中有3个红球和2个白球，2号盒子中有3个白球和2个红球．
①设“第三步从2号盒子中摸出红球”为事件
设“第二步从1号盒子中摸出2个红球”为事件，则.
此时2号盒子中有4红3白，.
设“第二步从1号盒子中摸出2个白球”为事件，则.
此时2号盒子中有2红5白，则.
设“第二步从1号盒子中摸出1个红球和1个白球”为事件，则.
此时2号盒子中有2红3白，则
则
故第三步从2号盒子中摸出红球的概率是.
②设“第三步从2号盒子中摸出白球”为事件，则.
.
.
最大，所以放回1号盒子的可能性更大.
（2）记“从号盒子中摸出的球为红球”，
所以，
则由全概率公式可得：.
又，，
又，，.
设号盒子中红球个数为，可能取值为，
，，.
.
而.
.