山西省太原市2025-2026学年高一上学期期末学业诊断数学试卷（Word版附解析）

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数学试题
一、单选题
1．若，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
2．已知扇形的半径为4，圆心角为，则该扇形的弧长是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，点在的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
4．函数 的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
5．设，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知实数、满足，则（ ）
A．或B．C．或D．
8．已知函数，其图象关于对称，在区间有且仅有一个实数，使得，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期是B．是奇函数
C．是的对称中心D．的值域为
10．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．函数的最小正周期是
B．
C．函数在上单调递增
D．若函数在上有且仅有3个零点，则实数
11．已知方程的两根为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12． .
13．已知，则 ．
14．已知函数，若函数在上具有单调性，并且最大值为3，则实数 ．
四、解答题
15．（1）求的值；
（2）已知，请用表示．
16．已知．
(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
17．已知．
(1)求的单调递增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域．
18．已知函数，且．
(1)证明：是奇函数；
(2)判断的单调性，并用定义证明；
(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．如图所示，扇形的半径为，且，点在线段（不含线段端点）上运动，为线段上一点．

(1)若，且，求的值；
(2)若，且，求的值；
(3)若，且，求线段的最小值．
参考答案
1．D
【详解】由可得的终边在第三象限、第四象限角或y轴非正半轴，
由可得的终边在第二象限、第四象限角，
故角是第四象限角.
故选：D.
2．B
【详解】因为扇形的半径，圆心角，
所以该扇形的弧长.
故选：B
3．A
【详解】因为角的终边经过点，
所以
故选：A.
4．B
【详解】函数的定义域为，
函数在上单调递增，
又，，
根据零点的存在性定理可知函数零点所在区间为．
故选：B.
5．C
【详解】因为，
所以
故选：C.
6．A
【详解】由可得，即，
两边同时平方，
所以，即，解得，
故选：A.
7．D
【详解】因为实数、满足，则，可得，
由可得，所以，
即，等式两边同时除以可得，
解得（舍去）或.
故选：D.
8．D
【详解】因为函数图象关于对称，
所以，解得，
因为函数在区间有且仅有一个实数，使得，
而，
所以，解得，
所以当时，符合题意，
而ABC选项不满足.
故选：D
9．BC
【详解】由题可得函数的最小正周期是，故A错误；
令，所以的定义域为，
定义域关于原点对称，又，
所以函数是奇函数，故B正确；
令，则函数的对称中心为
所以是的对称中心，故C正确；
的值域为R，故D错误.
故选：BC
10．ABD
【详解】由图可知，，则，故A正确，
而，此时，
因为时，函数取得最小值，所以，
则，又，所以，故B正确，
此时，又，
则，即，则，
对于C，，
当时，，
因为函数在上不单调递增，
所以函数在上不单调递增，故C错误；
对于D，令，即，
令，则，
因为函数在上有且仅有3个零点，
所以与在上有且仅有3个交点，
则，解得，故D正确.
故选：ABD
11．ACD
【详解】由题意得：，
由得，
令，如图所示：
由图可知：，故A选项正确；
令，
由，
，
因为，所以，
所以，所以，故B选项不正确；
由，即，
也即，
由，
所以，
即，
因为函数在上单调递减，且，
所以，
即，
因为函数在上单调递增，
所以，故C选项正确；
由，
所以，故D选项正确；
故选：ACD.
12．
【详解】。
故答案为：.
13．
【详解】
故答案为：.
14．或
【详解】函数的定义域为，
当，即时，函数，且在区间上单调递增，
当，即，函数，且在区间上单调递增，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当函数在区间上单调递减时，则，解得，
此时函数的最大值为，解得，符合题意；
当函数在区间上单调递增时，则，解得，
此时函数的最大值为，解得，符合题意.
15．（1）1；（2）
【详解】（1）；
（2）
，
.
16．(1)
(2)
【详解】（1），
；
（2），
，
.
17．(1)
(2)
【详解】（1），
由得，
的单调增区间为.
（2）由题意得，
因为，所以，则，
在上的值域为.
18．(1)证明见解析
(2)在上单调递减，证明见解析
(3)
【详解】（1）因为，且，
即，所以，解得，
，
由解得，的定义域为，
对于任意，都有，且，
是奇函数.
（2）在上单调递减.
证明：设，则，
，
，，，
在上单调递减.
（3）对任意，不等式恒成立，
即任意，不等式恒成立，
令，，
因为在上单调递减，
所以在上单调递减，
，
实数的取值范围为.
19．(1)；
(2)；
(3)．
【详解】（1）依题意，，
整理得，而，则，，
由，得，则，而，
则，所以.
（2）由，得
，
由，得，
则，所以.
（3）过点作于点，在上取点，使得，连接，
由，得平分，则，，
当且仅当与重合，且为与的交点时取等号，
在中，由，，得，
因此，，
所以线段的最小值为.