2026年广东省广州市中考模拟数学模拟复习题含答案

这是一份2026年广东省广州市中考模拟数学模拟复习题含答案，共3页。
A．B．
C．D．
2．（3分）下列各数中，属于用科学记数法表示的是（ ）
A．53.7×102B．0.461×1021
C．576×103D．3.41×10
3．（3分）广州2月份某天的最高气温是11℃，最低气温是﹣3℃，则这天的温差是（ ）
A．﹣8℃B．﹣14℃C．8℃D．14℃
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a3B．2+3=5
C．（2x2）3＝6x6D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
5．（3分）在“庆元旦”投篮比赛上，甲班有5名同学参加了比赛，比赛结束后，统计了他们各自的投篮数，成绩如下：5，10，6，10，11，则这组数据的中位数是（ ）
A．5B．8C．9D．10
6．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的点的坐标为（ ）
A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）
7．（3分）一次函数y＝kx+3中，y随x的增大而减小，那么它的图象经过（ ）
A．二、三、四象限B．一、二、三象限
C．一、三、四象限D．一、二、四象限
8．（3分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠CDE的大小为（ ）
A．45°B．40°C．30°D．35°
9．（3分）如图，在⊙O中，M为弦AB上一点，且AM＝2BM＝4，连接OM，过M作OM⊥MN交⊙O于点N，则MN的长为（ ）
A．2.5B．3C．22D．532
10．（3分）如图，已知菱形ABCD的边AB与x轴重合，A（2，0），D（﹣2，3），B（﹣3，0），若固定点A、B，将菱形ABCD沿箭头方向推，当点C落在y轴上时，点D的坐标为（ ）
A．（5，4）B．（5，3）C．（4，5）D．（4，3）
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）某校九年级进行了三次数学定时作业，并从中抽取了甲、乙、丙3位同学的成绩进行分析，若这3位同学三次定时作业成绩的平均分都是130分，且他们成绩的方差分别为S甲2=2.1，S乙2=1.5，S丙2=7，则这3位同学三次定时作业成绩最稳定的是 ．
12．（3分）为鼓励消费者在消费时向商家索要发票，税务部门对100元的发票设有“奖金5元”“奖金10元”“奖金50元”3种随机奖励．现某商家有1000张100元的发票，经税务部门核实，这1000张发票中有50张奖金为5元，20张奖金为10元，10张奖金为50元，其余没有奖金，某消费者消费100元，向该商家索要发票1张，中10元奖金的概率是 ．
13．（3分）若分式3aa+3有意义，则a的取值范围是 ．
14．（3分）如图，从一块半径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为60°的扇形，则此扇形的面积为 m2．
15．（3分）已知△ABC的三边，AB＝6，BC＝5，AC＝8，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，则△DEF对应的三边长为 ．
16．（3分）在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方，如图的三阶幻方填写了一些数和字母，则m+n＝ ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）计算：−12026+(−2)2+27+|5−2|．
18．（6分）先化简，再求值：（2a+3）（3﹣2a）﹣a（1﹣4a），其中a＝3．
19．（6分）如图，△ABC中，∠A为钝角．
（1）尺规作图：作边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E；
（2）若BD2+CE2＝DE2，求∠BAC的度数．
20．（8分）某校组织综合实践活动小组的同学们针对“九年级学生最关心的问题”在全校九年级学生中进行了问卷调查，问题分成四组，分别是A．学习成绩；B．课余生活；C．朋友交流；D．师长意见．调查问卷全部收回，且全部有效，调查小组将调查结果绘制成如图所示统计图（均不完整）．
“九年级学生最关心的问题”调查问卷
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求本次调查共抽取了多少人，并直接补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中D组对应扇形的圆心角度数；
（3）若九年级共有学生1320人，估计九年级学生选择C组的人数；
（4）该综合实践活动小组的同学要根据调查结果总结汇报，假如你是小组成员，请结合两个统计图，写出一条你获取的信息．
21．（8分）已知：如图，点B，D在线段AE上，AD＝BE，AC∥EF，∠C＝∠F，求证：
（1）BC＝DF．
（2）BC∥DF．
22．（9分）广州吾悦广场计划在广场内种植A、B两种花木共340棵，若A花木数量是B花木数量的2倍多10棵．
（1）A、B两种花木的数量分别是多少棵？
（2）如果A花木的单价是每棵30元，B花木的单价是每棵20元，为节约资金园林处计划种植花木的费用不超过9000元，那么种植A花木最多多少棵？
23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为一边作平行四边形ABDE，且DA∥BC，连接EC交DA的延长线于点F，DF⊥EC，延长EA交BC于点G．
（1）求证：点A是EG的中点．
（2）若tan∠ABC=12，DA＝12，求BC的长．
24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，存在一个图形W，P为图形W上任意一点，线段PO（点P与O不重合）绕点P逆时针旋转90°得到线段PO'，延长PO'至点Q，使得PQ＝2OP，若点M为线段PQ上一点（点M可与线段PQ端点重合），则称点M为图形W的“二倍点”．
已知点A（0，1）、点B（0，2）．
（1）M1（1，1），M2（3，1），M3（1，2），M4（1，4）中，是线段AB的“二倍点”的是 ；
（2）直线y＝k（x﹣1）（k≠0）存在线段AB的“二倍点”，求k的取值范围；
（3）⊙A的半径为1，M是⊙A的“二倍点”，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于C、D两点，点N在线段CD上（N可与线段CD端点重合），当点N在线段CD上运动时，直接写出线段MN的最大值和最小值．
25．（10分）综合与实践
【生成概念】抛物线L：y＝x2+2mx+n与y轴交于点A，若抛物线L′上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L′是L的“兄弟抛物线”．
【感知特例】（1）已知抛物线L：y＝x2+2x+2，写出L的“兄弟抛物线”L′的解析式，并画出抛物线L和L′．
【代数推理】通过代数推理证明抛物线L图象的性质：从特定的条件开始，利用代数的定义、公式、运算法则，以及等式和不等式的性质，进行逻辑推理，以验证已知的结果或得出结论，这一过程称为代数推理．我们不妨来试试．
运用代数推理证明：抛物线L：y＝x2+2x+2的图象是轴对称图形，对称轴是直线x＝﹣1．
证明：在抛物线L上任取一点M（a，b），则b＝a2+2a+2
点M关于直线x＝﹣1对称的点N（﹣2﹣a，b），
∵（﹣2﹣a）2+2（﹣2﹣a）+2＝a2+2a+2＝b，
∴点N也在抛物线L：y＝x2+2x+2的图象上，
∵点M（a，b）是抛物线L：y＝x2+2x+2上的任意一点，它关于直线x＝﹣1对称的点N（﹣2﹣a，b）都在抛物线L：y＝x2+2x+2的图象上，
∴抛物线L：y＝x2+2x+2的图象是轴对称图形，对称轴是直线x＝﹣1．
（2）仿照上述方法，运用代数推理证明：抛物线L：y＝x2+2x+2与L的“兄弟抛物线”L′关于点A中心对称．
【拓展延伸】（3）智慧小组发现抛物线L：y＝x2+2mx+n和L的“兄弟抛物线”L这两抛物线的顶点所连直线l和mn有一定的关系，请你求出直线l与x轴正半轴夹角θ的正切值tanθ（可用m、n表示）．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【解答】解：A．该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）下列各数中，属于用科学记数法表示的是（ ）
A．53.7×102B．0.461×1021
C．576×103D．3.41×10
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；据此逐项分析即可得到答案．
【解答】解：A．53.7×102，53.7＞10，故A不符合题意；
B．0.461×1021，0.461＜1，故B不符合题意；
C．576×103，576＞10，故C不符合题意；
D．3.41×10，表示正确，故D符合题意．
故选：D．
3．（3分）广州2月份某天的最高气温是11℃，最低气温是﹣3℃，则这天的温差是（ ）
A．﹣8℃B．﹣14℃C．8℃D．14℃
【分析】温差为最高温度减去最低温度，由此列式计算即可．
【解答】解：根据题意，得11﹣（﹣3）＝11+3＝14（℃），
即温差是14℃，
故选：D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a3B．2+3=5
C．（2x2）3＝6x6D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】利用同底数幂除法法则，二次根式的运算法则，积的乘方与幂的乘方法则，完全平方公式逐项判断即可．
【解答】解：a6÷a3＝a3，则A符合题意；
2与3不是同类二次根式，无法合并，则B不符合题意；
（2x2）3＝8x6，则C不符合题意；
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，则D不符合题意；
故选：A．
5．（3分）在“庆元旦”投篮比赛上，甲班有5名同学参加了比赛，比赛结束后，统计了他们各自的投篮数，成绩如下：5，10，6，10，11，则这组数据的中位数是（ ）
A．5B．8C．9D．10
【分析】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
根据中位数的定义先把这组数据从小到大重新排列，找出最中间的数即可．
【解答】解：把这数从小到大排列为：5，6，10，10，11，处于最中间的数是10，则这组数据的中位数是10．
故选：D．
6．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的点的坐标为（ ）
A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）
【分析】根据“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”即可求解．
【解答】解：点P（2，﹣3）向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的点的坐标是（2，﹣3）（2﹣3，﹣3+4），即（﹣1，1）．
故选：B．
7．（3分）一次函数y＝kx+3中，y随x的增大而减小，那么它的图象经过（ ）
A．二、三、四象限B．一、二、三象限
C．一、三、四象限D．一、二、四象限
【分析】根据一次函数y＝kx+3中，y随x的增大而减小，可知k＜0且过点（0，3），然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+3中，y随x的增大而减小，
∴k＜0且过点（0，3），
∴该函数图象经过第一、二、四象限，
故选：D．
8．（3分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠CDE的大小为（ ）
A．45°B．40°C．30°D．35°
【分析】根据三角形内角和定理得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵∠A＝50°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCB=12×70°＝35°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠DCB＝35°．
故选：D．
9．（3分）如图，在⊙O中，M为弦AB上一点，且AM＝2BM＝4，连接OM，过M作OM⊥MN交⊙O于点N，则MN的长为（ ）
A．2.5B．3C．22D．532
【分析】过点O作OC⊥AB于点C，连接AO，NO，根据AM＝2BM＝4得出AB＝6，根据垂径定理可得AC＝3，MC＝1，设OC＝x，根据勾股定理可得OM2＝x2+1NO2＝AO2＝x2+9，最后根据MN2＝NO2﹣OM2，即可求解．
【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，连接AO，NO，
∵AM＝2BM＝4，
∴BM＝2，则AB＝AM+BM＝4+2＝6，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=12AB=3，
∴MC＝BC﹣BM＝3﹣2＝1，
设OC＝x，
在Rt△COM中，根据勾股定理可得：OM2＝OC2+MC2＝x2+1，
在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：AO2＝OC2+AC2＝x2+9，
∴NO2＝x2+9，
∵OM⊥MN，
∴MN2＝NO2﹣OM2＝x2+9﹣（x2+1）＝8，
∴MN=22（负值舍去），
故选：C．
10．（3分）如图，已知菱形ABCD的边AB与x轴重合，A（2，0），D（﹣2，3），B（﹣3，0），若固定点A、B，将菱形ABCD沿箭头方向推，当点C落在y轴上时，点D的坐标为（ ）
A．（5，4）B．（5，3）C．（4，5）D．（4，3）
【分析】根据菱形的性质得出CD＝AB＝5，进而利用平移的性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AB＝AD＝BC＝5，
∵A（2，0），D（﹣2，3），B（﹣3，0），
∴C（﹣7，3），
当点C落在y轴上时，C（0，4），
∴D（5，4），
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）某校九年级进行了三次数学定时作业，并从中抽取了甲、乙、丙3位同学的成绩进行分析，若这3位同学三次定时作业成绩的平均分都是130分，且他们成绩的方差分别为S甲2=2.1，S乙2=1.5，S丙2=7，则这3位同学三次定时作业成绩最稳定的是 乙 ．
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S甲2=2.1，S乙2=1.5，S丙2=7，
∴S乙2＜S甲2＜S丙2，
∴这3位同学三次定时作业成绩最稳定的是乙，
故答案为：乙．
12．（3分）为鼓励消费者在消费时向商家索要发票，税务部门对100元的发票设有“奖金5元”“奖金10元”“奖金50元”3种随机奖励．现某商家有1000张100元的发票，经税务部门核实，这1000张发票中有50张奖金为5元，20张奖金为10元，10张奖金为50元，其余没有奖金，某消费者消费100元，向该商家索要发票1张，中10元奖金的概率是 150 ．
【分析】直接根据概率公式解答即可．
【解答】解：∵1000张发票中有50张奖金为5元，20张奖金为10元，10张奖金为50元，其余没有奖金，
∴某消费者消费100元，向该商家索要发票1张，中10元奖金的概率=201000=150．
故答案为：150．
13．（3分）若分式3aa+3有意义，则a的取值范围是 a≠﹣3 ．
【分析】根据分式有意义分母不为0求解即可得到答案．
【解答】解：∵分式3aa+3有意义，
∴a+3≠0，解得：a≠﹣3，
故答案为：a≠﹣3．
14．（3分）如图，从一块半径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为60°的扇形，则此扇形的面积为 2π m2．
【分析】如图，作OD⊥AB于D，则AD＝BD，利用含30°度的直角三角形的性质和勾股定理计算出AB=2AD=23，然后利用扇形的公式计算扇形围成的圆锥的侧面积．
【解答】解：如图，作OD⊥AB于D，则AD＝BD，
∵OA＝2，∠BAC＝60°，
∵圆和扇形都是轴对称图形，且扇形内接于⊙O，
∴∠OAD=12∠BAC=12×60°=30°，
∴OD=12OA=12×2=1，AD=OA2−OD2=22−12=3，
∴AB=2AD=23，
∴扇形围成的圆锥的侧面积为：60×π×(23)2360=2π(m2)．
故答案为：2π．
15．（3分）已知△ABC的三边，AB＝6，BC＝5，AC＝8，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，则△DEF对应的三边长为 9.5 ．
【分析】根据三角形中位线定理分别求出DE、EF、DF，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵点D，E分别AB、BC的中点，
∴DE=12AC＝4，
同理，DF=12BC＝2.5，EF=12AB＝3，
∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝4+2.5+3＝9.5，
故答案为：9.5．
16．（3分）在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方，如图的三阶幻方填写了一些数和字母，则m+n＝ 5 ．
【分析】根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”列方程求出a，b，即可求出x的值．
【解答】解：根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”可得，
3m+2n﹣1+2m＝8+1+3m，
解得：m+n＝5，
故答案为：5．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）计算：−12026+(−2)2+27+|5−2|．
【分析】先算乘方，开方，化简绝对值，再算加减法
【解答】解：−12026+(−2)2+27+|5−2|
＝﹣1+2+27+5−2
=26+5．
18．（6分）先化简，再求值：（2a+3）（3﹣2a）﹣a（1﹣4a），其中a＝3．
【分析】先利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（2a+3）（3﹣2a）﹣a（1﹣4a）
＝9﹣4a2﹣a+4a2
＝9﹣a，
当a＝3时，原式＝9﹣3＝6．
19．（6分）如图，△ABC中，∠A为钝角．
（1）尺规作图：作边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E；
（2）若BD2+CE2＝DE2，求∠BAC的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法分别作图即可．
（2）连接AD，AE．由线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，AE＝CE，则∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC．结合勾股定理的逆定理可得∠DAE＝90°，根据三角形内角和定理可得∠BAD+∠EAC＝45°，则∠BAC＝∠BAD+∠DAE+∠EAC＝135°．
【解答】解：（1）如图所示．
（2）连接AD，AE．
∵边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC．
∵BD2+CE2＝DE2，
∴AD2+AE2＝DE2，
∴∠DAE＝90°．
∵∠B+∠BAD+∠DAE+∠EAC+∠C＝180°，
∴2∠BAD+2∠EAC+90°＝180°，
∴∠BAD+∠EAC＝45°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAE+∠EAC＝135°．
20．（8分）某校组织综合实践活动小组的同学们针对“九年级学生最关心的问题”在全校九年级学生中进行了问卷调查，问题分成四组，分别是A．学习成绩；B．课余生活；C．朋友交流；D．师长意见．调查问卷全部收回，且全部有效，调查小组将调查结果绘制成如图所示统计图（均不完整）．
“九年级学生最关心的问题”调查问卷
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求本次调查共抽取了多少人，并直接补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中D组对应扇形的圆心角度数；
（3）若九年级共有学生1320人，估计九年级学生选择C组的人数；
（4）该综合实践活动小组的同学要根据调查结果总结汇报，假如你是小组成员，请结合两个统计图，写出一条你获取的信息．
【分析】（1）由A的人数除以所占百分比即可求出总人数，求出B的人数，即可补全条形统计图；
（2）由360°乘以D组学生人数所占的比例即可；
（3）用总人数乘以C组的人数所占的百分比即可；
（4）由两个统计图即可得出结论（答案不唯一）．
【解答】解：（1）本次调查共抽取了15÷30%＝50（人），
B组对应的人数为50﹣15﹣10﹣5＝20（人），
补全条形统计图如下：
（2）360°×550=36°，
答：扇形统计图中D组对应扇形的圆心角度数为36°；
（3）1320×1050=264（人），
答：估计九年级学生选择C组的人数为264人；
（4）九年级学生最关心“课余生活”的人数最多；九年级学生最关心“师长意见”的人数最少．（答案不唯一）．
21．（8分）已知：如图，点B，D在线段AE上，AD＝BE，AC∥EF，∠C＝∠F，求证：
（1）BC＝DF．
（2）BC∥DF．
【分析】（1）根据AD＝BE可得AB＝ED，根据AC∥EF可得∠A＝∠E，用AAS证明△ABC≌△EDF即可求证BC＝DF；
（2）根据△ABC≌△EDF可得∠CBA＝∠FDE，再根据等角的补角相等，可得∠CBD＝∠BDF，即可求证BC∥DF．
【解答】证明：（1）∵AD＝BE，
∴AD﹣BD＝BE﹣BD，
即AB＝ED，
∵AC∥EF，
∴∠A＝∠E，
在△ABC和△EDF中，
∵∠C=∠F∠A=∠EAB=ED
∴△ABC≌△EDF（AAS），
∴BC＝DF．
（2）∵△ABC≌△EDF，
∴∠CBA＝∠FDE，
∴180°﹣∠CBA＝180°﹣∠FDE，
即∠CBD＝∠BDF，
∴BC∥DF．
22．（9分）广州吾悦广场计划在广场内种植A、B两种花木共340棵，若A花木数量是B花木数量的2倍多10棵．
（1）A、B两种花木的数量分别是多少棵？
（2）如果A花木的单价是每棵30元，B花木的单价是每棵20元，为节约资金园林处计划种植花木的费用不超过9000元，那么种植A花木最多多少棵？
【分析】（1）设在广场内种植A花木的数量是x棵，B花木的数量是y棵，根据“在广场内种植A、B两种花木共340棵，且A花木数量是B花木数量的2倍多10棵”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设种植A花木m棵，则种植B花木（340﹣m）棵，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过9000元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设在广场内种植A花木的数量是x棵，B花木的数量是y棵，
根据题意得：x=2y+10x+y=340，
解得：x=230y=110．
答：在广场内种植A花木的数量是230棵，B花木的数量是110棵；
（2）设种植A花木m棵，则种植B花木（340﹣m）棵，
根据题意得：30m+20（340﹣m）≤9000，
解得：m≤220，
∴m的最大值为220．
答：种植A花木最多220棵．
23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为一边作平行四边形ABDE，且DA∥BC，连接EC交DA的延长线于点F，DF⊥EC，延长EA交BC于点G．
（1）求证：点A是EG的中点．
（2）若tan∠ABC=12，DA＝12，求BC的长．
【分析】（1）先由平行四边形的性质得到BD∥AE，BD＝AE，再证明四边形ADBG是平行四边形，得到BD＝AG，可得AG＝AE，即可证明点A是EG的中点．
（2）过点A作AH⊥BC于H，先证明∠ECG＝90°，进而得到AG＝AC，则CH＝GH，再证明∠HAC＝∠ABC，得到tan∠HAC=tan∠ABC=CHAH=12，设CH＝GH＝x，则AH＝2x，解直角三角形得BH＝4x，由平行四边形的性质得到BG＝AD＝12，则x+12＝4x，解得x＝4，即可得到BC＝BH+CH＝5x＝20．
【解答】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD∥AE，BD＝AE，
∵AD∥BC，
∴四边形ADBG是平行四边形，
∴BD＝AG，
∴AG＝AE，
∴点A是EG的中点．
（2）解：如图所示，过点A作AH⊥BC于H，
∵AD∥BC，DF⊥CE，
∴BC⊥CE，
∴∠ECG＝90°，
∵点A是EG的中点，
∴AG＝AC，
∴CH＝GH，
∵BAC＝∠AHC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝∠HAC+∠HCA＝90°，
∴∠HAC＝∠ABC，
∴tan∠HAC=tan∠ABC=CHAH=12，
设CH＝GH＝x，则AH＝2x，
∵tan∠ABH=AHBH=12，
∴BH＝4x，
∵四边形ADBG是平行四边形，
∴BG＝AD＝12，
∴x+12＝4x，
解得x＝4，
∴BC＝BH+CH＝5x＝20．
24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，存在一个图形W，P为图形W上任意一点，线段PO（点P与O不重合）绕点P逆时针旋转90°得到线段PO'，延长PO'至点Q，使得PQ＝2OP，若点M为线段PQ上一点（点M可与线段PQ端点重合），则称点M为图形W的“二倍点”．
已知点A（0，1）、点B（0，2）．
（1）M1（1，1），M2（3，1），M3（1，2），M4（1，4）中，是线段AB的“二倍点”的是 M1（1，1），M3（1，2） ；
（2）直线y＝k（x﹣1）（k≠0）存在线段AB的“二倍点”，求k的取值范围；
（3）⊙A的半径为1，M是⊙A的“二倍点”，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于C、D两点，点N在线段CD上（N可与线段CD端点重合），当点N在线段CD上运动时，直接写出线段MN的最大值和最小值．
【分析】（1）由A（0，1）、B（0，2），画出线段AB的“二倍点”是以A（0，1）、B（0，2），C（4，2），D（2，1）为顶点的四边形及内部，即可得到答案；
（2）由线段AB的“二倍点”是以A（0，1）、B（0，2），C（4，2），D（2，1）为顶点的四边形及内部，直线y＝k（x﹣1）过定点（1，0），当直线y＝k（x﹣1）过C（4，2）时，可得k=23，当y＝k（x﹣1）过A（0，1）时，k＝﹣1，观察图形即得k≥23或k≤﹣1；
（3）设P为⊙A上一点，连接OP，将OP绕P逆时针旋转90°，并延长到M，使PM＝2OP，取K（2，1），连接PA，OM，KM，OK，过K作KT⊥x轴于T，证明△POA∽△MOK，可得MK=5，故M的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的⊙K，⊙A的“二倍点”是⊙K及其内部和⊙A及其内部，过A作AN⊥CD于N，交⊙O于M，MN最小，由△NDA是等腰直角三角形，即可得MN＝AN﹣AM=322−1，故线段MN的最小值为322−1；连接CK并延长交⊙K于M，此时若N与C重合，则MN最大，求出NK=CT2+KT2=37，即得线段MN的最大值为37+5．
【解答】解：（1）如图：
∵A（0，1）、B（0，2），
∴线段AB的“二倍点”是以A（0，1）、B（0，2），C（4，2），D（2，1）为顶点的四边形及内部，
∴在M1（1，1），M2（3，1），M3（1，2），M4（1，4）中，M1（1，1），M3（1，2）是线段AB的“二倍点”，
故答案为：M1（1，1），M3（1，2）；
（2）如图：
∵A（0，1）、B（0，2），
∴线段AB的“二倍点”是以A（0，1）、B（0，2），C（4，2），D（2，1）为顶点的四边形及内部，
直线y＝k（x﹣1）过定点（1，0），
当直线y＝k（x﹣1）过C（4，2）时，
3k＝2，
解得k=23，
当y＝k（x﹣1）过A（0，1）时，
﹣k＝1，
∴k＝﹣1，
观察图形可知，直线y＝k（x﹣1）（k≠0））存在线段AB的“二倍点”，则k≥23或k≤﹣1；
（3）设P为⊙A上一点，连接OP，将OP绕P逆时针旋转90°，并延长到M，使PM＝2OP，取K（2，1），连接PA，OM，KM，OK，过K作KT⊥x轴于T，如图：
∵PM＝2OP，∠OPM＝90°，
∴tan∠PMO=12，OMOP=5，
∵K（2，1），A（0，1），
∴tan∠KOT=12，OKOA=5，
∴∠PMO＝∠KOT，OMOP=OKOA，
∴∠POA＝90°﹣∠AOM﹣∠PMO＝90°﹣∠AOM﹣∠KOT＝∠MOK，
∴△POA∽△MOK，
∴MKPA=OMOP=5，
∴MK=5，
∴M的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的⊙K，则⊙A的“二倍点”是⊙K及其内部和⊙A及其内部，
过A作AN⊥CD于N，交⊙O于M，如图：
此时MN最小，
由y＝x+4得C（﹣4，0），D（0，4），
∴OC＝OD，AD＝3，
∴∠DCO＝∠CDO＝45°，
∴∠NRC＝45°，
∴△NDA是等腰直角三角形，
∴AN=AD2=322，
MN＝AN﹣AM=322−1，
∴线段MN的最小值为322−1；
连接CK并延长交⊙K于M，此时若N与C重合，则MN最大，如图：
在Rt△KNT中，
NK=CT2+KT2=(4+2)2+12=37，
∴MN＝NK+MK=37+5；
∴线段MN的最大值为37+5．
综上所述，线段MN的最小值为322−1，线段MN的最大值为37+5．
25．（10分）综合与实践
【生成概念】抛物线L：y＝x2+2mx+n与y轴交于点A，若抛物线L′上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L′是L的“兄弟抛物线”．
【感知特例】（1）已知抛物线L：y＝x2+2x+2，写出L的“兄弟抛物线”L′的解析式，并画出抛物线L和L′．
【代数推理】通过代数推理证明抛物线L图象的性质：从特定的条件开始，利用代数的定义、公式、运算法则，以及等式和不等式的性质，进行逻辑推理，以验证已知的结果或得出结论，这一过程称为代数推理．我们不妨来试试．
运用代数推理证明：抛物线L：y＝x2+2x+2的图象是轴对称图形，对称轴是直线x＝﹣1．
证明：在抛物线L上任取一点M（a，b），则b＝a2+2a+2
点M关于直线x＝﹣1对称的点N（﹣2﹣a，b），
∵（﹣2﹣a）2+2（﹣2﹣a）+2＝a2+2a+2＝b，
∴点N也在抛物线L：y＝x2+2x+2的图象上，
∵点M（a，b）是抛物线L：y＝x2+2x+2上的任意一点，它关于直线x＝﹣1对称的点N（﹣2﹣a，b）都在抛物线L：y＝x2+2x+2的图象上，
∴抛物线L：y＝x2+2x+2的图象是轴对称图形，对称轴是直线x＝﹣1．
（2）仿照上述方法，运用代数推理证明：抛物线L：y＝x2+2x+2与L的“兄弟抛物线”L′关于点A中心对称．
【拓展延伸】（3）智慧小组发现抛物线L：y＝x2+2mx+n和L的“兄弟抛物线”L这两抛物线的顶点所连直线l和mn有一定的关系，请你求出直线l与x轴正半轴夹角θ的正切值tanθ（可用m、n表示）．
【分析】（1）根据定义直接写出即可，然后列表、描点、连线画图即可；
（2）在L任取一点M，写出M关于（0，2）对称的点的坐标，证明其在L'上即可；
（3）根据前面思路分别写出两顶点坐标，再将坐标转化为线段长度求解即可．
【解答】（1）L的“兄弟抛物线”L的解析式为y＝﹣x2+2x+2，图象如图所示：
（2）运用代数推理证明：抛物线L；y＝x2+2x+2与L的“兄弟抛物线”L关于点A中心对称，
证明：在抛物线L上任取一点M（a，b），则b＝a2+2a+2，
点M关于点A（0，2）成中心对称的N（﹣a，4﹣b），
L′的解析式为y＝﹣x2+2x+2，
∵﹣（﹣a）2+2（﹣a）+2＝a2﹣2a+2＝4﹣b，
∴点N在抛物线U：y＝﹣x2+2x+2的图象上，
∵点M（a，b）是抛物线L；y＝x2+2x+2上的任意一点，它关于点A（0，2）中心对称的点N（﹣a，4﹣b）都在抛物线L：y＝﹣x2+2x+2的图象上，
∴抛物线L：y＝x2+2x+2的图象上的任意一点关于点A（0，2）中心对称的点都在抛物线U：y＝﹣x2+2x+2的图象上．
同理，抛物线L：y＝﹣x2+2x+2的图象上的任意一点关于点A（0，2）中心对称的点都在抛物线L：y＝x2+2x+2的图象上．
∴抛物线L：y＝x2+2x+2与L的“兄弟抛物线”L关于点A中心对称．
（3）∵抛物线L：y＝x2+2mx+n的顶点坐标为（﹣m，n﹣m2），点A（0，n），
∴抛物线L：y＝﹣x2+2x+2的顶点坐标为（m，n+m2），
∴tanθ＝m请在下列选项中选择您最关心的问题，并在其后“□”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项），非常感谢您的合作．
A．学习成绩□
B．课余生活□
C．朋友交流□
D．师长意见□
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
D
A
D
B
D
D
C
A
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