2026年高考数学-压轴强化训练压轴21圆锥曲线中二级结论的(7大核心压轴题型精讲+压轴强化训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学-压轴强化训练压轴21圆锥曲线中二级结论的(7大核心压轴题型精讲+压轴强化训练)(学生版+解析)，共12页。试卷主要包含了焦点三角形的周长为2，〔多选〕，已知点在椭圆上，求双曲线在点处的切线方程．等内容，欢迎下载使用。
1.导数解答题与高等数学知识交汇命题，考查考生的知识迁移能力、现场学习能力与现场运用能力，逐渐成为命题的热点，难度较大，一般作为压轴题出现；2.常见的高等数学知识除了前面学习过的泰勒公式与洛必达法则、还有拉格朗日中值定理、罗尔中值定理、柯西中值定理、伯努利不等式、微积分、帕德近似等.
题型01 焦点三角形
技法指导
1.焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则：在椭圆中，S△PF1F2＝b2·taneq \f(θ,2)；在双曲线中，S△PF1F2＝eq \f(b2,tan\f(θ,2)).
2.焦点三角形的周长为2(a＋c).
1.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，直线与倾斜角的差为，△的面积是20，离心率为，求椭圆的标准方程 .
【答案】或
【解析】设，则. ，
又，，即.解得：.[来源:
所求椭圆的标准方程为或.
2.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为e＝12，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝π3，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为（ ）
A.2 B.4C.6 D.12
【答案】D
【解析】由e＝12，得ca＝12，即a＝2c①.设△F1PF2的内切圆的半径为r，
因为△F1PF2的内切圆的面积为3π，所以πr2＝3π，解得r＝3（舍负），
在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，
知S△F1PF2＝b2tan∠F1PF22＝12r（2a＋2c），
【二级结论】椭圆中S△PF1F2＝b2·tanθ2
即33b2＝3（a＋c）②.又a2＝b2＋c2③.联立①②③得c＝3，a＝6，b＝33，
所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.
题型02 周角定理（斜率积为定值）
技法指导
周角定理：已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或实轴)端点，则在椭圆中，kPA·kPB=-b2a2=e2-1，在双曲线中，kPA·kPB=b2a2=e2-1.
3.（2025·河北衡水·一模）已知，分别为双曲线：（，）的左、右顶点，是上一点，且直线，的斜率之积为2，则的离心率为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】（常规解法）由题意可知，，设
，，即
又，，解得（舍），
，故选B
（结论解法）由结论可得kPA·kPB=-b2a2=e2-1，即，故选B
4.（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知椭圆，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线，的斜率之积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】（常规解法）设，则有，即有，
由椭圆方程不妨设短轴端点的坐标分别为、，
则，故选C.
（结论解法）由椭圆方程，可得，在椭圆中，kPA·kPB=-b2a2=，故选C
题型03 椭圆、双曲线的焦点弦问题
技法指导
1.在椭圆中，焦点弦中通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长lmin＝2b2a.
2.在双曲线中，同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴的弦），其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
5.如图，F1，F2为椭圆x24＋y2＝1的两焦点，P为椭圆上除长轴端点外的任一点，∠F1PF2的平分线PM与长轴交于点M（m，0），则m的取值范围是 ；
【答案】（－32，32）
【解析】（1）设P（x0，y0），则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0，
由角平分线性质知，｜PF1｜｜PF2｜＝｜F1M｜｜MF2｜，于是得a＋ex0a－ex0＝m＋cc－m⇒m＝e2x0＝34x0，
因为x0∈（－2，2），所以m∈（－32，32）.
6.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1（－7，0），F2（7，0），过F2的直线与C的右支交于A，B两点.若AF2＝2F2B，｜AB｜＝｜F1B｜，则双曲线C的方程为 .
【答案】x23－y24＝1
【解析】如图，令｜F2B｜＝t，则｜AF2｜＝2t，∴｜AB｜＝3t，｜F1B｜＝3t，
又1｜AF2｜＋1｜BF2｜＝2ab2，∴12t＋1t＝2ab2，即32t＝2ab2，
又｜F1B｜－｜F2B｜＝2a，∴3t－t＝2a，∴2t＝2a，∴t＝a，∴32a＝2ab2，
即3b2＝4a2，又c＝7，∴a2＋b2＝7，解得b2＝4，a2＝3，故双曲线C的方程为x23－y24＝1.
题型04 抛物线的的焦点弦问题
技法指导
设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），则
（1）x1x2＝p24，y1y2＝－p2；
（2）焦半径｜AF｜＝x1＋p2＝p1－csα，｜BF｜＝x2＋p2＝p1+csα（α为弦AB与x轴的夹角）；
（3）弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝2psin2α（α为弦AB的倾斜角），且1｜AF｜＋1｜BF｜＝2p；
（4）S△OAB＝p22sinα（O为抛物线的顶点）；
（5）以AB为直径的圆与准线相切；以MN为直径的圆与AB切于焦点F；以焦半径AF（BF）为直径的圆与y轴相切.
7.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若｜AF｜＝3，则△AOB的面积为（ ）
A.22B.2
C.322D.22
【答案】C
【解析】∵y2＝4x，∴p＝2，又由题意知1｜AF｜＋1｜BF｜＝2p，∴13＋1｜BF｜＝2p＝1，∴｜BF｜＝32.
设∠AFx＝θ（0＜θ＜π），由｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝2psin2θ＝4sin2θ，
即3＋32＝4sin2θ，∴sin2θ＝89，sin θ＝223，则△AOB的面积S△AOB＝p22sinθ＝42×223＝322，故选C.
8.〔多选〕（2025·抚顺一模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝－1，过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则下列说法正确的是（ ）
A.｜AB｜的最小值为4
B.设Q（3，2），则△QAF周长的最小值为4
C.以AF为直径的圆与y轴相切
D.若BF＝2FA，则直线l的斜率为22或－22
【答案】ACD
【解析】抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝－1，所以p2＝1，则p＝2，所以抛物线C：y2＝4x，易知过焦点且垂直于对称轴的弦最短，所以｜AB｜的最小值为2p＝4，故A正确；
如图，过点A作准线的垂线，垂足为C，交y轴于A1，F（1，0），根据抛物线的定义可得｜AF｜＝｜AC｜，所以△QAF周长为｜AF｜＋｜AQ｜＋｜QF｜＝｜AC｜＋｜AQ｜＋（3－1）2＋22＝｜AC｜＋｜AQ｜＋22，由图可知，当A，C与点Q共线时，｜AC｜＋｜AQ｜有最小值，最小值为Q到准线x＝－1的距离，其值为3－（－1）＝4，所以（｜AC｜＋｜AQ｜）min＋22＝4＋22，故B错误；易知C正确；设直线AB的方程为x＝my＋1，联立x＝my+1，y2=4x，整理可得：y2－4my－4＝0，易知Δ＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，因为BF＝2FA，所以y2＝－2y1，解得y2＝8m，y1＝－4m，所以32m2＝4，解得m2＝18，所以k＝±1m2＝±22，因此D正确.故选A、C、D.
题型05 切线问题
技法指导
1.设 Px0,y0 为椭圆 x2a2+y2b2=1上的点, 则过该点的切线方程为:xx0a2+yy0b2=1
2. 设 Px0,y0 为双曲线 x2a2−y2b2=1 上的点, 则过该点的切线方程为:xx0a2−yy0b2=1
3. 设 Px0,y0 为抛物 线 y2=2px 上的点, 则过该点的切线方程为yy0=px+x0
9.已知点在椭圆上.若点在圆上，则圆过点的切线方程为.由此类比得椭圆在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为点在椭圆上，故可得，解得；
由类比可得椭圆在点处的切线方程为：
，整理可得，故选：C.
10.求双曲线在点处的切线方程．
【答案】
【解析】因在双曲线上，双曲线在点处的切线方程为.
题型06 圆锥曲线的第二定义
技法指导
1.圆锥曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线.当0＜e＜1时为椭圆；当e＝1时为抛物线；当e＞1时为双曲线.
2.第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e.圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化.
11.已知点A（），设点F为椭圆的右焦点，点M为椭圆上一动点，求的最小值，并求此时点M的坐标．
【解】如图，过点A作右准线l的垂线，垂足为N，与椭圆交于点M．
∵椭圆的离心率，∴由第二定义得，
的最小值为|AN|的长，且，
的最小值为10，此时点M的坐标为．
12.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），F1，F2分别是左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为 .
【答案】［22，1）
【解析】设点P（x0，y0），则由第二定义得｜PF1｜＝e（x0＋a2c）＝a＋ex0，｜PF2｜＝e（a2c－x0）＝a－ex0.
因为△PF1F2中∠F1PF2＝90°，所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2.
即（a＋ex0）2＋（a－ex0）2＝（2c）2＝4c2，解得x02＝2c2－a2e2，
由椭圆方程中x的范围知0≤x02≤a2.所以0≤2c2－a2e2＜a2，解得22≤e＜1.
题型07 阿基米德三角形
技法指导
抛物线的弦为，过两点做抛物线切线交于点，称为阿基米德三角形, 则有:
（1）阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴
（2）若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内的定点 , 则另一顶点的轨迹为一条直线
（3）底边为的阿基米德三角形的面积最大值为
（4）若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点的轨迹为准线, 且阿基米德三角形的面积最小值为
（5）在阿基米德三角形中,
13.阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线焦点F时，△PAB具有以下特征：（1）P点必在抛物线的准线上；（2）△PAB为直角三角形，且PA⊥PB；（3）PF⊥AB．已知过抛物线x2=16y焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，过点A，B处的切线交于点P，若点P的横坐标为2，则直线AB的方程为（ ）
A．x+2y−8=0B．x−2y+8=0
C．x−4y+16=0D．x+4y−16=0
【答案】C
【解析】抛物线x2=16y的焦点F的坐标为0,4，准线方程为y=−4，
由题意知，△PAB为“阿基米德三角形”，可得P点必在抛物线的准线上，
所以点P2,−4，直线PF的斜率为4−−40−2=−4，
又因为PF⊥AB，所以直线AB的斜率为14，
所以直线AB的方程为y=14x+4，即x−4y+16=0,故选：C．
14.已知抛物线C：x2＝4y，直线y＝kx＋b与抛物线交于A，B两点，|AB|＝8，且抛物线在A，B处的切线相交于点P，则△PAB的面积最大值为( )
A．8 B．16 C．16eq \r(2) D．32
【答案】D
【解析】方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋b，,x2＝4y，))得x2－4kx－4b＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
又|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(16k2＋16b)＝8，故k2＋b＝eq \f(4,1＋k2)，
又x2＝4y，∴y＝eq \f(1,4)x2，∴y′＝eq \f(1,2)x，故直线PA的方程为y－y1＝eq \f(1,2)x1(x－x1)，
即y＝eq \f(1,2)x1x－eq \f(1,4)xeq \\al(2,1)，同理，直线PB的方程为y＝eq \f(1,2)x2x－eq \f(1,4)xeq \\al(2,2)，
联立直线PA，PB方程可得x＝eq \f(x1＋x2,2)，y＝eq \f(x1x2,4)，
即x＝eq \f(4k,2)＝2k，y＝eq \f(x1x2,4)＝－b，即P(2k，－b)，∴点P到直线AB的距离d＝eq \f(|2k2＋2b|,\r(1＋k2))，
∴S△PAB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×8×eq \f(|2k2＋2b|,\r(1＋k2))＝4×eq \f(2,\r(1＋k2))·eq \f(4,1＋k2)＝，
当k＝0时，(S△PAB)max＝32.
方法二 由阿基米德三角形的性质知(S△PAB)max＝eq \f(|AB|3,8p)＝eq \f(83,8×2)＝32.
1.椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知，焦距等于2，故选B．
2.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为( )
A.eq \f(3\r(3),4) B.eq \f(9\r(3),8)
C.eq \f(63,32) D.eq \f(9,4)
【答案】D
【解析】抛物线C：y2＝3x中，2p＝3，p＝eq \f(3,2)，故S△OAB＝eq \f(p2,2sin θ)＝eq \f(\f(9,4),2sin 30°)＝eq \f(9,4).
3.已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为.与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即，故选B
4.已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若OA·OB＝－12，则抛物线C的方程为（ ）
A.x2＝8yB.x2＝4y
C.y2＝8xD.y2＝4x
【答案】C
【解析】设抛物线为y2＝2px（p＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1x2＝p24，y1y2＝－p2，得OA·OB＝x1x2＋y1y2＝p24－p2＝－34p2＝－12，得p＝4，
即抛物线C的方程为y2＝8x.故选C.
5.（2025·重庆模拟）如图，A，B分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上（点P异于A，B两点），线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为（ ）
A.33 B.12 C.32 D.34
【答案】C
【解析】根据周角定理可知kAQ·kBQ＝e2－1，又kAQ·kBP＝－1，4kBQ＝kBP，
所以kAQ·kBP＝4kAQ·kBQ＝4（e2－1）＝－1⇒e＝32.故选C.
6.设F1，F2为椭圆C：y2＋eq \f(x2,n)＝1(0