河南许昌市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份河南许昌市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数，则（ ）
A. B. C. 5D. 20
2.下列说法中错误的是（）
A. 空间四边形可以确定四个平面
B. 当三点共线时，有无数个平面
C. 若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的任意一条直线都没有公共点
D. 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面平行
3.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A. B. C. 3D. 2
4.若向量，，两两夹角均为，且，，，则（ ）
A. B. 3C. D. 4
5.已知圆锥SO的侧面积为，其轴截面的直观图为，且轴，，则的长度为（ ）
A. 2B. 4C. 5D. 6
6.福善牛皮鼓是四川省自贡市富顺县福善镇的传统手工技艺，属于自贡市级非物质文化遗产传统技艺类项目，该技艺以本地水牛前肋皮为原料，完整保留选材、撑皮、晒皮、下料、削皮、浸泡、鼓皮定型、箍桶、上索、上楔等十道核心工序，成品具有音质纯正、粗犷深沉的声学特质．如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为20cm，其表面积为，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为30 cm．若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的高度为（ ）
A. 36cmB. 32cmC. 24cmD. 20cm
7.在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.在正六面体中，直线平面，直线平面，记该正六面体的12条棱所在的直线构成的集合为U．给出下列四个命题：
①U中可能恰有3条直线与a异面；
②U中可能恰有10条直线与a异面；
③U中可能恰有8条直线与b异面；
④U中可能恰有10条直线与b异面．
其中正确命题的个数为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知平面向量，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若与的夹角为锐角，则x的取值范围为
D. 若，则在上的投影向量的坐标为
10.在中，，，，点D为边BC上一动点，则（ ）
A. B. 当AD为边BC上的高线时，
C. 当AD为边BC上的中线时，D. 当AD为的平分线时，
11.已知正方体的棱长为2，点E，F分别是线段CD，BC的中点，平面过点，E，F且与正方体形成一个截面图形，下面说法正确的是（ ）
A. 直线与是异面直线
B. 截面图形是一个五边形
C. 若点I在正方形内（含边界位置），且平面，则点I的轨迹长度为
D. 截面图形的周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设i是虚数单位，在复平面内复数的共轭复数对应的点位于第 象限．
13.油纸伞是汉族古老的传统用品之一，以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面，如图1．伞在开合过程中，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，且，伞圈D可沿伞柄自由滑动．如图2，当伞完全收拢时，伞圈D滑至的位置，此时A，B，三点共线，已知，B为的中点；当伞从完全张开状态到完全收拢状态时，伞圈D沿伞柄向下滑动的距离为20cm．如图3，当伞完全张开时， ．
14.在中，点D满足，，设，，若，，且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知O为坐标原点，复数，，，在复平面内对应的向量分别为，，．
(1)若点C在复平面的实轴上，且，求出实数k与a的值；
(2)若点C在直线上，且，求出实数a的值，并计算．
16.(本小题15分)
已知长方体中，，，用平面截去长方体的一个角后得到如图所示的几何体．
(1)求被截去的几何体的体积；
(2)求几何体的表面积．
17.(本小题15分)
请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答．
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______．
(1)求B的大小；
(2)若，求周长的取值范围；
(3)若AC边上的高为1，求面积的最小值．
18.(本小题17分)
某市计划在中央公园的一块三角形空地上建休闲花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域，分别种植薰衣草、马鞭草花田，将区域设计为下沉式水景庭院，并在水景庭院周围设置木质护栏．在中，，，M、N在BC上，且．
(1)当时，求木质护栏的长度；
(2)为了控制建设成本，如何设计能使水景庭院面积尽可能小？请写出设计方案，并求出水景庭院面积的最小值．
19.(本小题17分)
如图1，在正方体中，，E，F，G，H分别是棱，，的中点，且与相交于点Q．
(1)求证：直线为平面与平面的交线；
(2)在图2中作出过，三点的截面，并求出该截面的周长和面积．（写出作图过程并保留作图痕迹）
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】CD
10.【答案】ABC
11.【答案】AB
12.【答案】四
13.【答案】/
14.【答案】18
15.【答案】解：（1）因为点C在复平面的实轴上，所以，即点，
又因为，，所以，，
由且，得，
所以，解得；
（2）点C在直线上，即，所以，
又因为，，所以，
即，解得，此时，
所以.

16.【答案】解：（1）解：被截去的几何体为三棱锥，体积为．
（2）解：因为，，
所以，，，
．
，，
在中，由余弦定理得，
则，
所以，
所以．

17.【答案】解：（1）选择①：因为，所以，
由正弦定理，得，
即，
即，
因为，所以，所以，
又，所以；
选择②：因为，所以，
由正弦定理，得，即，
即，即，即，
由余弦定理，得，又，所以；
（2）由余弦定理，得，
即，即，当且仅当时取等号，
所以，得，即周长的取值范围为；
（3）由面积公式，得，
由余弦定理可得，
所以，
所以，当且仅当时等号成立．
所以，
即面积的最小值为.

18.【答案】解：（1）在中，，，所以，，．
在中，
，所以，
则为等腰三角形，，又因为，所以，则，
得，，
则，
所以护栏的长度为．
（2）设计使得时水景庭院面积最小（或设计等符合题意都可）．
方法一 设，，则，
在中，，即，解得．
在中，，即，解得．
所以水景庭院的面积为
，
则当，即，时，水景庭院的面积最小，最小值为．
方法二 设，，则，
在中，，即，解得．
在中，，即，解得．
所以水景庭院的面积为
，
则当，即时，水景庭院的面积最小，最小值为．

19.【答案】解：（1）证明：平面平面，
由于，平面，
所以平面，
又，平面，
所以平面，
所以，即点Q在直线上；
（2）解：如图1，连接并延长与的延长线交于点M，连接交于点P，连接，．
抹去，得四边形，即为所求截面，如图2．
易知四边形为等腰梯形，在正方体中，
，，，
所以等腰梯形的高为，
所以梯形的面积为，
梯形的周长为
．