热点05 二次函数-2023年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）

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热点05.二次函数

在各地中考中，二次函数考查形式灵活多变，大部分的试题难度较大，分值设置在18分左右。单独考查有二次函数图象与性质、图形变换（平移、对称等）、二次函数的实际应用（多考查现实生活中的“利润问题”或“最值问题”）。而压轴部分主要考查二次函数与几何图形结合的面积、周长、线段的最值问题、二次函数与特殊的几何图形结合的存在性问题等。

命题热点1：二次函数的解析式
一般情况下：①当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式y＝ax2+bx+c（a≠0）求其表达式；②当已知抛物线的顶点坐标（或者是对称轴）时，常用顶点式y＝a（x-h）2+k（a≠0）求其表达式；
③当已知抛物线与x轴两交点坐标时，常用交点式y＝a（x-x1）(x-x2)（a≠0）求其表达式；
命题热点2：二次函数图象及其性质1
通过抛物线的图形判断系数的符号题型中，通常关注图形中的一下几点：
①抛物线开口的方向可确定a的符号：抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜0
②对称轴可确定b的符号：
对称轴在x轴负半轴，则＜0，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则＞0，即ab＜0
③与y轴交点（0，c）可确定c的符号：交于y轴负半轴，则c＜0；交于y轴正半轴，则c＞0
④顶点坐标；⑤若与x轴交点，；确定对称轴为：x=
⑥韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
命题热点3：二次函数图象及其性质2
二次函数的单调性是函数性质的考查重点，主要考向有函数的最值，函数值的大小比较。
命题热点4：二次函数与一元二次方程的关系
1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
命题热点5：二次函数的应用
解决实际问题的步骤为：
①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；
②以利于表示等量关系式为原则，设出2个变量，注意区分自变量和因变量；
③依据等量关系式和变量建立函数关系式，转化为二次函数问题；
④根据实际问题，确定自变量的取值范围；（添加步骤）
⑤解决二次函数，并解答。
在实际问题中，由于受自变量取值的限制，自变量有可能无法取到，这是就需要根据二次函数的性质进一步分析了。因此，在解决实际问题中，自变量的取值范围非常重要，必须要着重考虑。
命题热点6：二次函数与几何压轴题（该问题我们在后面的重难点专题中重点介绍）。

限时检测1：最新各地模拟试题（60分钟）
1．（2023·陕西咸阳·校考一模）已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：

…

0
1
2
3
…

…
3
0


3
…
以下结论错误的是（    ）
A．抛物线的顶点坐标为 B．当时，y随x增大而增大
C．方程的根为0和2 D．当时，的取值范围是
【答案】D
【分析】根据对称性即可得到顶点，由点与 即可判断增减性，根据对称性即可得到方程的根，根据二次函数的开口及交点即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，由点，可得，对称轴为，
∴抛物线的顶点坐标为，故A正确；
由点与可得，开口向上，当时，y随x增大而增大，故B正确；
由对称性可得，、对称，故C正确；
∵，开口向上，故当时，或，故D错故选D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据表中点的对称性即可得到顶点、对称轴及与x轴的交点．
2．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知抛物线：顶点为D，将抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点落在直线l：上，设直线l与y轴的交点为，原抛物线上的点P平移后的对应点为Q，若，则点Q的纵坐标为（　　）

A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】先根据顶点的变化规律写出平移后的抛物线的解析式，即可求得平移的距离，根据，得出Q点的纵坐标为．
【详解】解：∵，
由题意得向上平移后的抛物线解析式为，
∴抛物线向上平移了5个单位，由题意得，
∵，∴Q点的纵坐标为．故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于x的方程是解题的关键．
3．（2023·陕西西安·交大附中分校校考一模）已知点、、在二次函数的图象上，且为抛物线的顶点．若，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由抛物线顶点为最高点可得抛物线开口向下，由抛物线解析式可得抛物线对称轴，求出点，关于对称轴对称时的值，结合抛物线开口方向求解．
【详解】解：点为抛物线顶点，，抛物线开口向下，顶点为最高点，
，抛物线对称轴为直线，
当点，关于抛物线对称轴对称时，，解得，
，，故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
4．（2022·广东云浮·校联考三模）如图，抛物线与轴交于点，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③（为任意实数）；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据二次函数图像与性质，由抛物线与轴交于点，得到对称轴，从而得到，①正确；由①中，抛物线开口向下及抛物线交轴的正半轴即可确定②错误；根据二次函数最值即可得到，③错误；根据平面直角坐标系中三角形面积的求法，得到，利用二次函数图像与性质即可确定④错误．
【详解】解：∵抛物线与轴交于点，
∴对称轴为直线，即，∴，故①正确，符合题意；
∵抛物线开口向下，∴，∴，
∵抛物线交轴的正半轴，∴，∴，故②错误，不符合题意；   
∵抛物线的对称轴，开口向下，∴当时，有最大值，最大值为，
∴（为任意实数），
∴（为任意实数），故③错误，不符合题意；
∵，设直线的解析式为，
∴，解得，∴，
将点代入，∴，∴，
过点作轴交于点，如图所示：

∵，∴，∴，
∴，
∵，∴，
∴当时，的面积最大，故④不正确，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数图形与性质，平面直角坐标系中求三角形面积等是解决问题的关键．
5．（2023·陕西西安·校考一模）已知二次函数在时有最小值－2，则m＝（    ）
A．或 B．4或 C．或 D．4或
【答案】B
【分析】先求出二次函数对称轴为直线，再分和两种情况，利用二次函数的性质进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为，∴二次函数对称轴为直线，
当时，∵在时有最小值，∴当时，，∴；
当时，∵在时有最小值，∴当时，，∴；
综上所述，或，故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
6．（2022·山东临沂·模拟预测）已知二次函数及一次函数，将二次函数在轴下方的图像沿轴翻折到轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新图像（如图所示），当直线与新图像有个交点时，的取值范围是（   ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出二次函数图像关于x轴翻折后的解析式，求出直线与翻折后抛物线相切时的m值，求出直线经过图像与x轴右侧交点时m的值，进而求解．
【详解】解：抛物线关于x轴翻折后解析式为，
令，整理得，
当时，直线与抛物线相切，解得，
把代入得，解得，
∴抛物线与x轴交点坐标为，
把代入得，解得，∴满足题意．故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图像与几何变换，解题关键是掌握函数与方程的关系．
7．（2022·浙江舟山·校联考三模）二次函数图象与x轴有两个交点，，关于x的方程有两个非零实数根，，则下列关系式一定成立的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】抛物线图象是由向下平移1个单位所得，作出图象，结合一元二次方程的根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵图象是由向下平移1个单位所得，如图，

∴，选项A错误，不符合题意，
∵∴两条抛物线对称轴为均为直线，
∴，∴，选项C错误，不符合题意．
∵二次函数图象与x轴有两个交点，，
∴的两个根为，，∴，，方程的，
同理可得：，，方程的，
∴，，∴，，选项D正确，
又∵，， ∴，，当时，；
当时，；故选项B错误，不符合题意．故选：D
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，将方程问题转化为图象交点的问题．解答时注意数形结合的思想．
8．（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图①，在矩形中，当直角三角板的直角顶点P在上移动时，直角边始终经过点A，设直角三角板的另一直角边与相交于点Q．在运动过程中线段的长度为x，线段的长为y，y与x之间的函数关系如图②所示．则的长为(   )

A． B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】根据条件先推出，设，，利用对应边成比例列出函数关系式，结合抛物线对称轴即可求出，将顶点坐标代入解析式，从而求出的长．
【详解】解：，，
，，
在和中，，
，，
设，，则，
，整理得，
对称轴为，则，，
即，将点代入得，
解得，故选 C．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定、求二次函数解析式，采用数形结合列出函数关系是解题关键．
9．（2022·山东青岛·校考二模）二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线，点的坐标为，垂直于轴，连接，则下列说法一定正确的是（　　）

A．如图①，四边形是矩形
B．在同一平面直角坐标系中，二次函数，一次函数和反比例函数的图象大致如图②所示
C．在同一平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象大致如图③所示
D．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数在的图象大致如图④所示
【答案】A
【分析】根据二次函数、反比例函数与一次函数的图象和性质即可求解．
【详解】根据图①可知，，，所以，
A. 二次函数的图象的对称轴是直线，点与点关于对称轴对称，
垂直于轴，与也关于对称轴对称，四边形是矩形，故选项符合题意；
B.，，一次函数的图象过第一、三、四象限，故选项不符合题意；
C.，二次函数的图象不经过原点，故选项不符合题意；
D.，，一次函数的图象过第一、二、四象限，故选项不符合题意．故选：A．
【点睛】本题考查二次函数、反比例函数与一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握函数的性质，灵活应用．
10．（2022·山东济南·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴的交点为A，过点A作直线垂直于轴．将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，组成图形．点，为图形上任意两点．若对于，，都有，则的取值范围（   ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线解析式可求出其对称轴为直线，又可用m表示出点M和点N的坐标，且点M和点N关于直线对称，再分类讨论当变化时，轴与点，的相对位置，即可解答．
【详解】解：抛物线的对称轴为，
点，为图形上任意两点，，，
∴当时，，
当时，，
，为抛物线上关于对称轴对称的两点．
分类讨论当变化时，轴与点，的相对位置：如图，当轴在点左侧时含点，

经翻折后，得到点，的纵坐标相同，，不符题意；
如图，当轴在点右侧时含点，
经翻折后，点，的纵坐标相同，，不符题意；
如图，当轴在点，之间时不含，，
经翻折后，点在下方，点，重合，在上方，，符合题意．
此时，解得：．
综上所述，的取值范围为．故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．
11．（2022·江苏苏州·苏州市校考模拟预测）若二次函数有最大值6，则的最小值为____．
【答案】
【分析】根据题意设二次函数的顶点坐标为，且开口向下，根据平移可知的顶点坐标为，根据关于轴对称可知的顶点坐标为，且开口向上，有最小值，根据向上平移4个单位即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数有最大值6，
∴设二次函数的顶点坐标为，
∵向左平移1个单位得到，
∴的顶点坐标为，
∵与关于轴对称
∴的顶点坐标为，且开口向上，
∵向上平移4个单位得到：
此时顶点坐标为，则最小值为故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点
坐标变换是解题的关键．
12．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点F作x轴的平行直线，交抛物线于点E，交y轴于点C，将直线EF向下平移，分别交抛物线于A，B两点，当是等边三角形时，线段的长是______．

【答案】
【分析】由题意可得函数的表达式为，易知点与点关于轴对称，，设，则，则，，，由为等边三角形可得，可得，求出即可得到的长．
【详解】解：∵点在抛物线上，∴，得：，
即：该二次函数的表达式为：，∴该函数的对称轴为轴，
∴点与点关于轴对称，取与轴交点为，

设，则，∴，，
∵轴，∴，∴，
∵为等边三角形，且点与点关于轴对称，
∴，，则，∴，
解得：（舍去），∴．故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等边三角形的性质，表示线段的长度，列出是解决问题的关键．
13．（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）已知抛物线的顶点为，与x轴相交于两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为，我们称以为顶点且过点，对称轴与轴平行的抛物线为抛物线的“关联”抛物线，直线为抛物线的“关联”直线．若一条抛物线的“关联”抛物线和“关联”直线分别是和，则这条抛物线的解析式为_____．
【答案】
【分析】根据题意分别求出点坐标，点的坐标，点和点关于轴对称，可知点的坐标，根据顶点式设原抛物线解析式为，把点代入即可求解．
【详解】解：∵，∴点坐标为，
解方程组，得或，∴点的坐标为，
∵点和点关于轴对称，∴，设原抛物线解析式为，
∴把代入得，，解得，
∴原抛物线解析式为．故答案为：．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，理解题目意思，掌握待定系数求解析式，二次函数的顶点式是解题的关键．
14．（2022·江苏泰州·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．点P为抛物线对称轴上一点．以为边在的下方作等边三角形，则当点P从点D运动到点E的过程中，点Q经过路径的长度为______．

【答案】4
【分析】当点P在D时，等边三角形为，当点P在点E时，等边三角形为，连接、，证明，则，则，即可求解．
【详解】如图，当点P在D时，等边三角形为，当点P在点E时，等边三角形为，连接、，

则，，，
对于，令，则，令，解得或，
故点A、B、C的坐标分别为、、，
函数的对称轴为，点，
∵，，
∴，∵，，
∴，，
由B、D的坐标知，，而，
则，
即点Q经过路径的长度是4．故答案为：4．
【点睛】此题主要考查二次函数和几何综合，解题的关键熟练掌握二次函数的图象和性质．
15．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图像，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．若当，时，解答下列问题．

(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程．
(2)下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标为________．
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，喷出水的最大射程为(2)(3)
【分析】（1）根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可，再求出时，的值，由此即可得；
（2）根据对称性求出平移分式，再根据平移方式即可求出点的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过点，下边缘抛物线，计算即可．
【详解】（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，则设．
又∵抛物线经过点，∴，∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．

（2）解：∵对称轴为直线，∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，即点是由点向左平移得到，
∴点的坐标为，故答案为：．
（3）解：如图，先看上边缘抛物线，∵，∴点的纵坐标为0.5．
当抛物线恰好经过点时，．解得，
∵，∴．当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是．

【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．
16．（2022·河北唐山·统考三模）北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．

(1)当小张滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大，为米，则________．
(2)在（1）的条件下，当小张滑出后离A的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？
(3)小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于3米，求跳台滑出点的最小高度．
【答案】(1)(2)8米(3)米
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标为，由此即可得；
（2）先求出的值，从而可得抛物线的解析式，再根据“他滑行高度与小山坡的竖直距离为米”建立方程，解方程即可得；
（3）先求出小山坡的顶点坐标为，从而可得，再根据“与坡顶距离不低于3米”建立不等式，求出的取值范围，由此即可得．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
抛物线的解析式为，
，解得，故答案为：．
（2）解：由（1）可知，，
将点代入得：，解得，则，
设当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米，
则，解得或（不符题意，舍去），
答：当小张滑出后离的水平距离为8米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米．
（3）解：，
则当时，运动员到达坡顶，小山坡的顶点坐标为，
由题意得：，解得，则，
当时，，
小张滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于3米，
，解得，即跳台滑出点的最小高度为米．
【点睛】本题考查了二次函数的性质及其应用，熟练掌握二次函数的性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
17．（2022·山东滨州·模拟预测）重庆潼南某一蔬菜种植基地种植的一种蔬菜，它的成本是每千克元，售价是每千克元，年销量为万千克多吃绿色蔬菜有利于身体健康，因而绿色蔬菜倍受欢迎，十分畅销．为了获得更好的销量，保证人民的身体健康，基地准备拿出一定的资金作绿色开发，根据经验，若每年投入绿色开发的资金万元，该种蔬菜的年销量将是原年销量的倍，它们的关系如下表：
万元














(1)试估计并验证与之间的函数类型并求该函数的表达式；
(2)若把利润看着是销售总额减去成本费和绿色开发的投入资金，试求年利润万元与绿色开发投入的资金万元的函数关系式；并求投入的资金不低于万元，又不超过万元时，取多少时，年利润最大，求出最大利润．(3)基地经调查：若增加种植人员的奖金，从而提高种植积极性，又可使销量增加，且增加的销量万千克与增加种植人员的奖金万元之间满足，若基地将投入万元用于绿色开发和提高种植人员的奖金，应怎样分配这笔资金才能使年利润达到万元且绿色开发投入大于奖金？
【答案】(1) (2)时，最大为万元
(3)用于绿色开发的资金为万元，奖金为万元
【分析】根据题意判断出函数解析式的形式，再利用待定系数法求二次函数解析式，可求出与的二次函数关系式．根据题意可知，利用顶点坐标公式解题即可；
将代入中的，故；再将代入，故，由于单位利润为，所以由增加奖金而增加的利润就是，进而求出总利润，即可得出答案．
【详解】（1）根据不是一次函数(不是线性的)，也不是反比例函数的值不是常数)，所以选择二次函数，
设与的函数关系式为，
由题意得：，解得：，
与的函数关系式为：；
（2）利润销售总额减去成本费和绿色开发的投入资金，
；当时，最大，
由于投入的资金不低于万元，又不超过万元，所以，
而，抛物线开口向下，且取值范围在顶点右侧，随的增大而减小，故最大值在处，
当时，最大为：万元；
（3）设用于绿色开发的资金为万元，则用于提高奖金的资金为万元，
将代入中的，故；
将代入，故，
由于单位利润为，所以由增加奖金而增加的利润就是；
所以总利润，
因为要使年利润达到万，所以，整理得，
解得：或，而绿色开发投入要大于奖金，
所以所以用于绿色开发的资金为万元，奖金为万元．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，以及待定系数法求二次函数解析式和一元二次方程的解法等知识，根据已知得出由增加奖金而增加的利润是解题关键．
18．（2022·江苏淮安·淮阴中学新城校区校联考二模）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数的图象上，存在一点，则P为二次函数图象上的“互反点”．

(1)分别判断的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由．(2)如图①，设函数的图象上的“互反点”分别为点过点B作轴，垂足为C．当的面积为5时，求b的值；(3)如图②，为x轴上的动点，过Q作直线轴，若函数的图象记为W1，将W1沿直线l翻折后的图象记为W2，当两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)的图象上不存在“互反点”；是的图象上的“互反点”
(2)或(3)或
【分析】（1）由定义可知，函数与的交点即为“互反点”；
（2）求出，，可得，求出b的值；
（3）函数关于直线的对称抛物线解析式为，联立方程组，当时，，因此当时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；函数与直线的交点为，当点在直线上时，解得或，结合图象可知：时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”．
【详解】（1）解：中，，

∴的图象上不存在“互反点”；
中，当时，，解得或，
是的图象上的“互反点”；
（2）解：中，当时，，解得，，
中，当时，，解得，
，∴，解得或；
（3）解：函数关于直线的对称抛物线解析式为，
由定义可知，“互反点”在直线上，联立方程组，
整理得，，解得，
当时，与没有交点，此时与有两个交点，
∴时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
当时，，∴函数与直线的交点为，
当点在直线上时，，解得或，
当时，两部分组成的图象上恰有3个“互反点”，
∴时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
当时，两部分组成的图象上恰有1个“互反点”，
∴时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
∴时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
综上所述：或时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，数形结合，分类讨论是解题的关键．
19．（2022·广东广州·校考二模）在平面直角坐标系中，点的坐标为（其中为常数），点与点关于轴对称．在实数范围内定义函数（其中为常数）的图象为．
(1)当点在上时，则的值是 ；(2)求点在上时，求的值；
(3)当最小值的取值范围是时，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)2(2)(3)或
【分析】（1）直接代入求值即可；（2）求得点的坐标，分两种求得代入求值即可；
（3）分两种情况：图形上最低点落在左侧函数部分的图象上，根据题意解不等式组即可，图形上最低点落在右侧部分的图象上时，解不等式组即可．
【详解】（1）解：把点代入，则，；
（2）解：点的坐标为（其中为常数），点与点关于轴对称，
点的坐标为，
当时，即时，把点代入，则，解得（舍去），
当时，即时，把点代入，则，解得（负值舍去），
综上，；
（3）解：当图形上最低点落在函数的图象上时，则最低点坐标为，
，解得：；
当图形上最低点落在函数的图象上时，同理：，
的顶点，
当时，的点，，解得，
当时，为最低点，当时，为最低点，
综上所述，的取值范围为：或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，其中（3）要确定临界点的情况，进而求解．
20．（2022·河北沧州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点，与直线交于点．

(1)求二次函数的解析式；(2)当时，函数有最小值，求m的值；(3)过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小．①求m的取值范围；
②当时，直接写出线段PQ与二次函数的图象有一个交点时m的取值范围．
【答案】(1)(2)(3)①；②或
【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的解析式为；
（2）由抛物线的对称轴为直线，根据当时，函数有最小值，可得时，，即可解得的值为；
（3）①，根据的长度随的增大而减小，可得，即可解得解得；
②由，得，（Ⅰ）当时，在二次函数的图象的最高点，与抛物线只有1交点，（Ⅱ）当时，、都在直线的右侧，与抛物线只有1交点；（Ⅲ）直线关于对称轴直线的对称直线为，当时，与抛物线只有1交点．
【详解】（1）解：将，点代入得：
，解得，，
答：二次函数的解析式为；
（2）抛物线的对称轴为直线，
在时，随的增大而减小，而当时，函数有最小值，
时，，即，
解得或（不合题意，舍去），的值为；
（3）①，
当时，，的长度随的增大而减小，
当时，，的长度随增大而增大，
满足题意，解得；
②，，解得，
（Ⅰ）当时，在二次函数的图象的最高点，与抛物线只有1交点，如图：

（Ⅱ）当时，如图：此时、都在直线的右侧，与抛物线只有1交点；
（Ⅲ）直线关于对称轴直线的对称直线为，
当时，如图：此时与抛物线只有1交点；
综上所述，当或时，与抛物线只有一个交点．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标特征，抛物线与线段的交点等，解题的关键是数形结合思想的应用．
21．（2022·山东济宁·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点的左侧），将该抛物线位于轴上方曲线记作，将该抛线位于轴下方部分沿轴翻折，翻折后所得曲线记作，曲线交轴于点，连接，．

(1)求曲线所在抛物线相应的函数表达式；(2)求外接圆的半径；(3)点为曲线上的一动点，点为轴上的一个动点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】（1）由已知抛物线求出顶点坐标，再得到抛物线N的顶点坐标，即可得到表达式；
（2）分别求出点A，B的坐标，得到线段的垂直平分线为直线，再求出点C的坐标，得到线段的垂直平分线为直线，联立，求出外接圆的圆心坐标为，利用勾股定理即可求出外接圆的半径；（3）由已知得，为平行四边形的一边，且，，由（2）知，过点C作直线轴，交曲线N于点P，求出点P的坐标，得到，即可求出点Q的坐标．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，开口向上，
∴曲线N所在抛物线的顶点坐标为，开口向下，
∵翻折后形状不变，∴a不变，
∴抛物线N所在抛物线的表达式为，即；
（2）令中，得，
∴，解得，∴，
∴线段的垂直平分线为直线，
∵，当时，，∴，∴，
∴线段的垂直平分线为直线，联立，得，
∴外接圆的圆心坐标为，∴外接圆的半径为；
（3）由已知得，为平行四边形的一边，且，，由（2）知，过点C作直线轴，交曲线N于点P，

由，，解得（舍去），∴，
∵，，，∴或．
【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质，三角形外接圆的圆心坐标，勾股定理，解一元二次方程，正确理解二次函数的图像和性质是解题的关键．











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1．（2022·陕西·中考真题）已知二次函数的自变量对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（     ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将抛物线配成顶点式，求出对称轴为，再求出抛物线与x轴的两个交点坐标为和，根据开口向上即可判断．
【详解】解：抛物线，∴对称轴，顶点坐标为，
当时，，解得或，
∴抛物线与轴的两个交点坐标为：，，
∴当，，时，，故选：．
【点睛】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．
2．（2022·湖南郴州·中考真题）关于二次函数，下列说法正确的是（       ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，是大值是5 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可．
【详解】解：对于y=（x-1）2+5，∵a=1>0，故抛物线开口向上，故A错误；
顶点坐标为（1，5），故B错误；该函数有最小值，是小值是5，故C错误；
当时，y随x的增大而增大，故D正确，故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
3．（2022·湖南岳阳·中考真题）已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是（       ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】A
【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与轴的交点坐标，再分两种情况：或，根据二次函数的性质求得的不同取值范围便可．
【详解】解：∵二次函数，∴对称轴为，抛物线与轴的交点为，
∵点是该函数图象上一点，当时，，∴①当时，对称轴，
此时，当时，，即，解得；
②当时，对称轴，当时，随增大而减小，
则当时，恒成立；综上，的取值范围是：或．故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．
4．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若．则的值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察图象，先设 ，，，根据已知条件及证明，得出，利用根与系数的关系知，最后得出答案．
【详解】设 ，，，
∵二次函数的图象过点，∴，
∵，，∴，∴，
∴，即，令，
根据根与系数的关系知，∴，故 故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与关于方程之间的相互转换，同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是解题关键．
5．（2022·广西贺州·中考真题）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．
【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵1>0，开口向上，∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，∴2（a-1）2-3=15，解得：a=4或a=-2（舍去），故a的值为4．故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．
6．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图像顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a<0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x>1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（　　）   

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可．
【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则a＜0，故①正确；
②∵抛物线的顶点为P（1，m）∴，b=-2a∵a＜0∴b＞0
∵抛物线与y轴的交点在正半轴∴c＞0∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线经过点A（2，1）∴1＝a·22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正确；
④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下
∴x>1时，y随x的增大而减小，即④正确；
⑤∵a＜0∴at2+bt-（a+b）= at2-2at-a+2a= at2-2at+a=a（t2-2t+1）= a（t-1）2≤0
∴at2+bt≤a+b，则⑤正确综上，正确的共有4个．故答案为C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
7．（2022·湖南株洲·中考真题）已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（       ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C为正确答案．
【详解】解：对于二次函数，
令，则，∴抛物线与y轴的交点坐标为
∵，∴，∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，
∴可以排除A选项和D选项；
B选项和C选项中，抛物线的对称轴，
∵ ，∴，∴抛物线开口向下，可以排除B选项，
【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．
8．（2022·浙江宁波·中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案．
【详解】解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上，
∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n，y2=（m-1）2+n，
∵y1＜y2，∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n，∴（m-2）2-（m-1）2＜0，
即-2m+3＜0，∴m＞，故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．
9．（2022·山东泰安·中考真题）一元二次方程根的情况是（       ）
A．有一个正根，一个负根 B．有两个正根，且有一根大于9小于12
C．有两个正根，且都小于12 D．有两个正根，且有一根大于12
【答案】D
【分析】将方程转化为一次函数与二次函数的交点问题求解．画出函数图象，找准图象与坐标轴的交点，结合图象可选出答案．
【详解】解：如图，

由题意二次函数y=，与y交与点（0，12）与x轴交于（-4，0）（12，0），一次函数y=，与y交与点（0，15）与x轴交于（9，0）
因此，两函数图象交点一个在第一象限，一个在第四象限，所以两根都大于0，且有一根大于12故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用数形结合的思想，画图象时找准关键点，与坐标轴的交点，由图象得结果．
10．（2022·四川自贡·中考真题）已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥−2 ；②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a=．其中正确的是（       ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，可判断①；根据二次函数的增减性判断②；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断④．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)，∴线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)，
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c) ，
∴C≥-2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
．   
若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确；
令y=0，则ax2+bx+c=0，设该方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=，
∴CD2=( x1-x2) 2=( x1+x2) 2-4x1x2，
根据顶点坐标公式，，∴，即，
∵四边形ACDB为平行四边形，∴CD=AB=1-（-3)=4，∴=42=16，解得a=，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在y轴上的情况．

11．（2022·福建·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为______．
【答案】8
【分析】先求出抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点，然后根据，得出，列出关于n的方程，解方程即可。
【详解】解： 把y=0代入得：，
解得：，，
把y=0代入得：，
解得：，，
∵，∴，∴，
即，，
令，则，解得：，，
当时，，解得：，
∵，∴不符合题意舍去；
当时，，解得：，
∵，∴符合题意；综上分析可知，n的值为8．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据题意用n表示出，列出关于n的方程是解题的关键．
12．（2022·湖北荆州·中考真题）规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______．
【答案】或
【分析】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得．
【详解】解：函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，
函数（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，
当k=0时，函数解析为，它的“Y函数”解析式为，它们的图象与x轴只有一个交点，
当时，此函数是二次函数，
它们的图象与x轴都只有一个交点，它们的顶点分别在x轴上，
，得，故k+1=0，解得k=-1，
故原函数的解析式为，故它的“Y函数”解析式为，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
13．（2022·贵州黔东南·中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______．
【答案】
【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．
【详解】解：∵，∴抛物线的顶点为（-1，-2），
将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），
旋转后的抛物线为，再向下平移5个单位，即．
∴新抛物线的顶点（1，-3） 故答案是：（1，-3）．
【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键．
14．（2022·山东聊城·中考真题）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．

【答案】121
【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．
【详解】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得：
，解得，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
，
∵1<0，∴当时，w有最大值为121，故答案为：121．
【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．
15．（2022·广西贵港·中考真题）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有_______个．

【答案】3
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点(-2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点(1,0)，代入可得：，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．
【详解】∵抛物线的对称轴为：，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0)，
∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1,0)，
∴代入(-2,0)、(1,0)得：，解得：，故③正确；
∵抛物线开口朝下，∴，∴，，∴，故①错误；
∵抛物线与x轴两个交点，∴当y=0时，方程有两个不相等的实数根，
∴方程的判别式，故②正确；
∵，∴，，
∴，
∵，，∴，即，故④正确；
∵抛物线的对称轴为：，且抛物线开口朝下，
∴可知二次函数，在时，y随x的增大而减小，
∵，∴，故⑤错误，故正确的有：②③④，故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质，特别是根据对称轴求出抛物线与x轴的交点是解答本题的关键．
16．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线上的点，则点关于直线的对称点的坐标为_________．

【答案】（0，1）
【分析】先求出A、B、C、D的坐标，根据CD∥x轴即可求出点关于直线的对称点坐标．
【详解】∵抛物线交轴于、两点，交轴于点，
∴当时，；
当时，∴∴OA=OC=5∴
∵是抛物线上的点∴，解得
当时，与A重合；当时，；∴CD∥x轴，∴
设点关于直线的对称点M，则


∴M在y轴上，且△DCM是等腰直角三角形∴DC=CM=6∴M点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是根据对称得到△DCM是等腰直角三角形．
17．（2022·四川成都·中考真题）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________．

【答案】         
【分析】根据题意，得-45+3m+n=0，，确定m，n的值，从而确定函数的解析式，根据定义计算确定即可．
【详解】根据题意，得-45+3m+n=0，，
∴ ，∴ ，解得m=50，m=10，
当m=50时，n=-105；当m=10时，n=15；
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴n＞0，∴，
∵对称轴为t==1，a=-5＜0，∴时，h随t的增大而增大，
当t=1时，h最大，且（米）；当t=0时，h最最小，且（米）；
∴w=，∴w的取值范围是，故答案为：．
当时，的取值范围是
∵对称轴为t==1，a=-5＜0，∴时，h随t的增大而减小，
当t=2时，h=15米，且（米）；当t=3时，h最最小，且（米）；
∴w=，w=，
∴w的取值范围是，故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，函数的最值，增减性，对称性，新定义计算，熟练掌握函数的最值，增减性，理解新定义的意义是解的关键．

18．（2022·山东潍坊·中考真题）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017-2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如下图．


小亮认为，可以从y=kx+b(k>0) ，y=(m>0) ，y=−0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．(1)小莹认为不能选．你认同吗？请说明理由；
(2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；(3)根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？
【答案】(1)认同，理由见解析
(2)①号田的函数关系式为y=0.5x+1(k>0)；②号田的函数关系式为y=−0.1x2+x+1；
(3)在2024年或2025年总年产量最大，最大是7.6吨．
【分析】（1）根据年产量变化情况，以及反比例函数的性质即可判断；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）设总年产量为w，依题意得w=−0.1x2+x+1+0.5x+1，利用二次函数的性质即可求解．
(1)解：认同，理由如下：
观察①号田的年产量变化：每年增加0.5吨，呈一次函数关系；
观察②号田的年产量变化：经过点（1，1.9），（2，2.6），（3，3.1），
∵1×1.9=1.9，2×2.6=5.2，1.9≠5.2，
∴不是反比例函数关系，小莹认为不能选是正确的；
(2)解：由（1）知①号田符合y=kx+b(k>0)，由题意得，解得：，
∴①号田的函数关系式为y=0.5x+1(k>0)；检验，当x=4时，y=2+1=3，符合题意；
②号田符合y=−0.1x2+ax+c，
由题意得，解得：，
∴②号田的函数关系式为y=−0.1x2+x+1；检验，当x=4时，y=-1.6+4+1=3.4，符合题意；
(3)解：设总年产量为w，
依题意得：w=−0.1x2+x+1+0.5x+1=−0.1x2+1.5x+2=−0.1(x2-15x+-)+2=−0.1(x-7.5)2+7.625，
∵−0.1<0，∴当x=7.5时，函数有最大值，
∴在2024年或2025年总年产量最大，最大是7.6吨．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的应用，待定系数法求函数式，二次函数的性质，反比例函数的性质，理解题意，利用二次函数的性质是解题的关键．
19．（2022·江苏泰州·中考真题）如图，二次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数的图像相交于点B(3，1).


(1)求这两个函数的表达式；(2)当随的增大而增大且时，直接写出的取值范围；
(3)平行于轴的直线l与函数的图像相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数的图像相交于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标.
【答案】(1)；(2)(3)
【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可；（2）由图像直接得出结论即可；
（3）根据点和点的坐标得出两三角形等高，再根据面积相等得出，进而确定点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，求出点的坐标即可．
(1)解：二次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数的图像相交于点，，，解得，，
二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
(2)解：二次函数的解析式为，对称轴为直线，
由图像知，当随的增大而增大且时，；
(3)解：由题意作图如下：

当时，，，
，的边上的高与的边上的高相等，
与的面积相等，，
即点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，
当时，，   ．
【点睛】本题主要考查二次函数和反比例函数的综合题，熟练掌握二次函数和反比例函数的图像及性质，三角形的面积，待定系数法求解析式等知识是解题的关键．
20．（2022·山东临沂·中考真题）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：下图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，．某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其解析式为．

(1)求b、c的值；(2)进一步研究发现运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？
【答案】(1)，(2)①     ②时，最大，为
【分析】（1）根据题中所给信息，得出，，利用待定系数法列出关于的二元一次方程组求解即可得出结论；
（2）①根据题意得到当运动员在起跳点腾空时，；空中飞行5s后着陆，，设出一次函数表达式，利用待定系数法求出函数关系式即可；②作轴交抛物线于，交于，利用待定系数法确定直线的函数表达式，再由（1）得出抛物线表达式，求出，表示出运动员离着陆坡的竖直距离，根据抛物线的性质得出当时，有最大值为．
(1)解：过作于，于，如图所示：

，着陆坡AC的坡角为30°，即，
，在中，，
则，，
，即，，
将，代入得，解得；
(2)解：①由（1）知，根据运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，设一次函数关系式为，
当运动员在起跳点腾空时，；空中飞行5s后着陆，，
，解得，
水平方向移动距离与飞行时间的一次函数关系式为；
②作轴交抛物线于，交于，如图所示：
设直线的表达式为，将，代入得，解得，即直线的表达式为，由（1）知抛物线表达式为，
，运动员离着陆坡的竖直距离，
由可知抛物线开口向下，当时，有最大值为．
【点睛】本题考查用二次函数及一次函数解决实际问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的图像与性质、二次函数求最值等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键．
21．（2022·四川自贡·中考真题）已知二次函数．

(1)若，且函数图象经过，两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与轴交点及顶点的坐标；(2)在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值时自变量的取值范围；
(3)若且，一元二次方程 两根之差等于，函数图象经过，两点，试比较的大小 ．
【答案】(1)，；；(2)见详解；；(3)．
【分析】（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，可得所求点的坐标；
（2）由题意画出图象，结合图象写出的取值范围；（3）根据题意分别求出，，将点P点Q的坐标代入分别求出，利用作差法比较大小即可．
(1)解：∵，且函数图象经过，两点，
∴，∴二次函数的解析式为，
∵当时，则，解得，，∴抛物线与轴交点的坐标为，，
∵，∴抛物线的顶点的坐标为．
(2)解：函数的大致图象，如图①所示：

当时，则，解得，，由图象可知：当时，函数值．
(3)解：∵且，
∴，，，且一元二次方程必有一根为，
∵一元二次方程 两根之差等于，且
∴方程的另一个根为，∴抛物线的对称轴为直线：，
∴，∴，∴，∴，
∵，∴，，∴
∵，，
∴，
，
∴，
∵b＞c,∴-1-c＞c,∴,∴，∴．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，数形结合的思想，求出b与c的关系是解题的关键．
22．（2022·安徽·中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．

(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）．
【答案】(1)y＝x2＋8(2)（ⅰ）l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：＋9≤P1横坐标≤；方案二：＋≤P1横坐标≤
【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；
（2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，－m2＋8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；（ⅱ）设P2P1＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围．
(1)由题意可得：A（－6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入，（－6）2a＋8＝2，解得：a＝，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋8；
(2)（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，
∴P2的坐标为（m，m2＋8），
∴P1P2＝P3P4＝MN＝m2＋8，P2P3＝2m，
∴l＝3（m2＋8）＋2m＝m2＋2m＋24＝（m－2）2＋26，
∵＜0，∴当m＝2时，l有最大值为26，
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；
（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，
∵－3＜0，∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，
此时P2P1＝3，P2P3＝9，令x2＋8＝3，解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为＋9≤P1横坐标≤，
方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝9－n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－）2＋，
∵－1＜0，∴当n＝时，矩形面积有最大值为，
此时P2P1＝，P2P3＝，令x2＋8＝，解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为＋≤P1横坐标≤．
【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．
23．（2022·山东滨州·中考真题）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．(1)求y关于x的一次函数解析式；
(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
【答案】(1)(2)价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元
【分析】（1）设，把，和，代入求出k、b的值，从而得出答案；（2）根据总利润=每件利润×每月销售量列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得答案．
(1)解：设，把，和，代入可得
，解得，则；
(2)解：每月获得利润
．
∵，∴当时，P有最大值，最大值为3630．
答：当价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元．
【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求法和二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到其中蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式及二次函数的性质，然后再利用二次函数求最值．