2026年湖南中考数学二轮复习 专题04 二次函数的性质与应用(题型专练)

这是一份2026年湖南中考数学二轮复习 专题04 二次函数的性质与应用(题型专练)，共60页。
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型 01 二次函数图象与系数关系精析
题型 02 待定系数法求解析式强化
题型 03 二次函数与方程、不等式转化
题型 04 二次函数实际应用建模
题型 05 二次函数图象变换（平移、对称、翻折）
题型 06 区间最值问题与参数讨论题型
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 二次函数图象与系数关系精析
典例引领
【例题1】（2023·湖南娄底·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则．其中正确的结论是（ ）

A．①②B．①④C．②③D．②④
【答案】D
【分析】由抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，可得，， ，故①不符合题意；当与时的函数值相等，可得，故②符合题意；当时函数值最大，可得，故③不符合题意；由点和点在该图象上，而，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，可得④符合题意．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，
∴，，，
∴，
∴，故①不符合题意；
∵对称轴为直线，
∴当与时的函数值相等，
∴，故②符合题意；
∵当时函数值最大，
∴，
∴；故③不符合题意；
∵点和点在该图象上，
而，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，
∴．故④符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记二次函数的开口方向，与y轴的交点坐标，对称轴方程，增减性的判定，函数的最值这些知识点是解本题的关键．
【例题2】（2024·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”，例如都是“黎点”．如果一个点的横坐标是纵坐标的两倍，则称该点为“横倍点”，例如都是“横倍点”．
(1)求双曲线上的“黎点”；
(2)函数，过（1）中函数的“黎点”和“横倍点”，且与坐标轴构成的三角形的面积为18，求“横倍点”P的坐标．
(3)若抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，求c的取值范围．
【答案】(1)或
(2)或
(3)
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的综合题，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是关键．
（1）根据新定义求出，即可得到答案；
（2）分两种情况：①函数，“黎点”为，②函数，“黎点”为，分别进行解答即可；
（3）根据题意得到方程有且只有一个解，求出，根据，即可求出答案．
【详解】（1）设双曲线上的“黎点”为，
则有，
∴，
经检验，的分式方程的解，
∴双曲线上的“黎点”为或；
（2）①函数，“黎点”为，则，即，
其与x轴，y轴的交点坐标分别为，其与坐标轴构成的三角形的面积为18．
∴，
将代入，
解得．
又∵函数过“横倍点”，
∴，
∴，
∴
②函数，“黎点”为，则，即
其与x轴，y轴的交点坐标分别为，其与坐标轴构成的三角形的面积为18．
∴，将代入，解得．
又∵函数过“横倍点”，
∴，
∴，
∴．
综上，“横倍点”P的坐标为或
（3）∵抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，
∴方程有且只有一个解，
即有且只有一个解，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
方法透视
变式演练
【变式1】（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．②③④C．②③D．①④
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图形与系数关系、抛物线与x轴的交点以及特殊值对函数值的影响等知识点，①由抛物线的开口方向、对称轴以及与y轴的交点，可得a、b、c的符号，进而可得的符号，结论①错误；②由抛物线与x轴交于，顶点是，可判断出抛物线与x轴的另一个交点为，当时，，结论②正确；③由题意可知对称轴为：直线，即，得，把，代入并化简得：，解得或，可判断出结论③正确；④把代入并计算可得，由对称轴可得，所以，由可得，再计算的值，可判断④错误．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴交于负半轴，
∴，
∴，故结论①错误；
②∵二次函数的图象与x轴交于，顶点是，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∵抛物线开口向上，
∴当时，，故结论②正确；
③由题意可知对称轴为：直线，
∴，
∴
把，代入得：，
∴，
解得或，
∴当，则或，故结论③正确；
④把，代入得：，
∴，
∵
∴，
∵抛物线与x轴的另一个交点为，
∴，
∴，
∴，故④错误．
故选：C．
【变式2】（2026·湖南株洲·模拟预测）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④对于任意实数，都有；⑤方程有两个异号的实数根．其中正确的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【分析】根据抛物线开口，对称轴，与轴的交点即可判断①②，根据时的函数值小于，即可判断③，根据当时，有最大值即可判断④，根据方程的解，即为的交点的横坐标，画出一次函数图象，即可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴，根据函数图象可得，
∴，故①错误；
∵，
∴，故②错误；
∵当时，，
又，
∴，即，故③正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，有最大值
∴对于任意实数，都有，即，故④正确；
对于方程的解，即为的交点的横坐标，
如图所示，方程有两个同号的实数根，故⑤错误．
【变式3】（2026·湖南衡阳·模拟预测）抛物线的部分图象如图所示，抛物线的顶点是，直线与抛物线的交点为，抛物线与轴的一个交点为，直线的解析式为，下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点是．其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据对称轴直线的位置可判断①；先根据抛物线的开口方向、对称轴位置以及抛物线与轴交点的位置，进而判定的正负，可判②；运用函数图象的交点个数确定方程的根的情况，即可判定③；根据抛物线对称轴的位置判断④．
【详解】解：①由题可知抛物线的对称轴在直线的右侧，
则，
∵抛物线开口向下，
∴，
∴，
则,
故①错误，不符合题意；
②∵抛物线开口向下，则，
抛物线与轴交于正半轴，则，
，
故②错误，不符合题意；
③从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程有两个不相等的实数根，故③正确，符合题意；
④若抛物线与轴的另一个交点是．
∵抛物线与轴的一个交点为
∴抛物线对称轴是，
由题意可知，抛物线的对称轴在直线的右侧，
故④错误，不符合题意．
则一个正确
故选：A ．
题型02 待定系数法求解析式强化
典例引领
【例题1】（2025·湖南益阳·模拟预测）函数的图象过点，则______．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把点代入二次函数解析式计算即可求解，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：∵函数的图象过点，
∴，
∴，
故答案为：．
【例题2】（2025·湖南常德·月考）已知抛物线经过、两点．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)点P为抛物线上一点、若，求出此时点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）将、两点代入，解得b、c即可得到解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标；
（2）设点，根据三角形面积公式以及，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得到P点坐标．
【详解】（1）将、两点代入，
，
解得，
抛物线解析式为，
，
顶点坐标为；
（2）、，
，
设点，则，
，
当时，，
解得，，
此时或；
当时，，
此时方程无解；
综上所述，P点坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法，配方法，顶点坐标的求法，坐标系中三角形的面积以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法求得解析式．
方法透视
变式演练
【变式1】（2025·湖南株洲·模拟预测）已知抛物线经过点，，，则抛物线的解析式________________________．
【答案】
【分析】本题考查求抛物线解析式．掌握交点式和利用待定系数法求解析式是解题关键．根据题意可设抛物线的解析式为：，再将点代入，求出a的值，最后化为一般式即可．
【详解】解：∵抛物线经过点，，
故可设该抛物线的解析式为：，
∵该抛物线又经过点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：，
整理，得：．
故答案为：．
【变式2】（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知抛物线的二次项系数为1，顶点坐标为，则抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式．根据抛物线的顶点式，结合已知条件直接求解．
【详解】解：设抛物线的顶点式为，其中为顶点，为二次项系数，
∵二次项系数为1，顶点坐标为，
∴，
故选：A．
【变式3】（2025·湖南邵阳·月考）根据下列条件，分别求出二次函数的解析式．
(1)已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）；
(2)已知图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3），且对称轴为直线x＝1．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用顶点式代入顶点坐标，进而得出答案；
（2）利用一般式代入，进而计算得出答案．
【详解】（1）解：∵图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6），
∴设二次函数的解析式为：，
把（0,﹣6）代入得：
，
解得：a＝2，
故二次函数的解析式为：；
（2）解：设二次函数的解析式为，把A（﹣1,0）、B（0,3），对称轴为直线x＝1代入得：
，
解得：，
故二次函数解析式为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求出二次函数解析式，熟练掌握待定系数法并根据条件设出合适的二次函数表达式是解本题的关键．
题型03 二次函数与方程、不等式转化
典例引领
【例题1】（2025·湖南岳阳·模拟预测）抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，关键是理解二次函数与一元二次方程的关系，利用判别式求解．抛物线与x轴只有一个公共点，则关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，据此进行解答即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
即，
解得，
故选：A
【例题2】（2025·湖南株洲·三模）已知二次函数与轴的交点的横坐标为、，则的值为_____．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．将变形为，由一元二次方程根与系数的关系得到，，，代入即可求解．
【详解】解：二次函数与轴的交点的横坐标为、，
、为方程的两个根，
，，
．
故答案为：．
方法透视
变式演练
【变式1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，当函数值时，自变量x的取值范围是__________．
【答案】或/或
【分析】根据二次函数图象的对称性，由图象过点，对称轴为直线，可得图象与x轴的另一个交点坐标为，再由二次函数图象性质得出函数值时，
自变量x的取值范围是或．
【详解】解：∵图象过点，对称轴为直线，
∴图象与x轴的另一个交点坐标为，
由二次函数图象性质可知，
当函数值时，
自变量x的取值范围是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数图象对称性是解题的关键．
【变式2】（2025·湖南邵阳·三模）如图，抛物线的对称轴是，与x轴的一个交点为，则不等式的解集为___________．
【答案】﹣3＜x＜5
【分析】先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标（5，0），由y＝ax2+bx+c＞0得函数值为正数，即抛物线在x轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c＞0的解集．
【详解】解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），
根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝1对称，即
抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣3，0）关于直线x＝1对称，
∴另一个交点的坐标为（5，0），
∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣3＜x＜5．
故答案为﹣3＜x＜5．
【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．
【变式3】（2025·湖南常德·模拟预测）已知二次函数，若关于x的方程在的范围内有解，则k的取值范围是________．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合思想解决二次函数与一元二次方程的关系问题．根据“关于x的方程在的范围内有解，”转化为与在时有交点，利用二次函数解析式求出函数值在时的最大最小值，即可解题．
【详解】解：，
二次函数对称轴为，且二次函数在对称轴处取得最小值，
，且，，离对称轴越远，函数值越大，
当时，二次函数的最大值为，
在时，关于x的方程有解，
即可以看作在与在时有交点，
，
故答案为：．
题型04 二次函数实际应用建模
典例引领
【例题1】（2026·湖南长沙·一模）如图，某校准备用62米的围栏修建一边靠墙的矩形花园，已知墙体的最大可用长度为30米，设的长为x米，矩形花园的面积为y平方米．
(1)请用含有x的代数式表示y，并写出自变量x的取值范围；
(2)如果该矩形花园的面积为440平方米，求的长．
【答案】(1)
(2)的长为20米．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，一元一次不等式组的应用．
（1）根据围栏为62米，宽为x米，表示出矩形长为米，根据矩形面积列出关系式，根据，围墙长30米，列出关于x的不等式，求出自变量x的取值范围即可；
（2）根据矩形花园的面积为440平方米，即，代入二次函数解析式，列出方程，解方程，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵围栏为62米，宽为x米，
∴长为米，
∴，即，
∵围墙长30米，
∴
∴，
解得：，
∴矩形的面积；
（2）解：由题意得：，
解得：，，
由（1）结论可知：，
∴，
∴的长为20米．
【例题2】（2026·湖南株洲·一模）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点停止运动．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象大致是（ ）
B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，分两种情况分别求出关于的函数图象即可：当时和时．
【详解】在中，．
（Ⅰ）当时，如图所示，可知点在线段上，过点作直线的垂线，交于点．
根据题意可知，．
因为，，
所以．
所以．
所以．
．
所以，当，与的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，且随的增大而增大．
（Ⅱ）当时，如图所示，可知点在线段上．
根据题意可知，．
所以．
所以，当，与的函数图象是开口向下的抛物线的一部分，且随的增大而减小．
综上所述，选项Ａ图形符合题意．
方法透视
变式演练
【变式1】（2026·湖南郴州·三模）为优化城市形象，提高生活品质，某景观步行大道两边种植了大量不同品种的月季供市民观赏．景观步行大道的起点是一座近似抛物线的花篮拱门，其横截面如图所示．已知花篮拱门的最高点距离地面的高度为米，拱门地面宽度为米．现以的中点为原点，拱门对称轴所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)为营造梦幻氛围，管理部门计划在拱门内临时搭建一个矩形支架，用来架设花灯装饰，方便市民夜间观赏．已知支架三边所用材料为米（边位于地面，无需支架），求支架左侧落地点到拱门端点的距离．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据题意得到顶点坐标为，再利用待定系数法即可得解；
（2）根据的横坐标即可求出纵坐标的表达式，再由题意,列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
，
将代入得，
解得，
；
（2）解：设的横坐标为，则纵坐标，
为矩形，
,
，
，
，（舍），
，
，
．
【变式2】（2025·湖南衡阳·模拟预测）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2500元，销售单价定为3200元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3200元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低5元，但销售单价均不低于2800元．商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2800元？设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）
【答案】（1）商家一次购买这种产品90件时，销售单价恰好为2800元；
（2）当且 为整数时，；
当且 为整数时，；
当且 为整数时，；
（3）公司应将最低销售单价调整为2875元
【分析】（1）设件数为x，则销售单价为元，根据销售单价恰好为2800元，列方程求解；
（2）由利润（销售单价成本单价）件数，及销售单价均不低于2800元，按，，多种情况列出函数关系式即可；
（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价．
【详解】解：（1）设商家一次购买这种产品x件时，销售单价恰好为2800元，
由题意得：，解得：．
即商家一次购买这种产品90件时，销售单价恰好为2800元；
（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，由题意得：
当且 为整数时，，
当且 为整数时，，
当且 为整数时，；
（3）因为要满足一次购买数量越多，所获利润越大，
所以y随x增大而增大，函数，均是y随x增大而增大，
而，
在时，y随x增大而增大，
由上述分析得x的取值范围为：时，即一次购买75件时，恰好是最低价，最低价为元，
答：公司应将最低销售单价调整为2875元．
【点睛】本题考查了一次、二次函数的性质在实际生活中的应用，首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
【变式3】（2026·湖南岳阳·一模）掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度．
(1)求满足条件的抛物线的关系式；
(2)根据中学生体育测试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由．
【答案】(1)
(2)小明在这次投掷中得到了满分，理由见解析
【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标，把关系式设为顶点式，再代入即可求出对应的关系式；
（2）把代入，即可求出x的值，再与比较即可得到结果．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的关系式是，
把点代入得
解得，
∴ 抛物线的关系式为；
（2）解：小明在这次投掷中得到了满分，理由如下：
当时，则，
解得或（舍去），
∵，
∴小明在这次投掷中得到了满分．
题型05 二次函数图象变换（平移、对称、翻折）
典例引领
【例题1】（2025·湖南株洲·模拟预测）把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_________．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规则求解即可．
【详解】解：把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为，
故答案为：．
【例题2】（2025·湖南湘潭·模拟预测）将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后的抛物线的解析式为，
故选： B．
方法透视
变式演练
【变式1】（2025·湖南岳阳·模拟预测）二次函数的图象可由二次函数的图象向________平移________个单位长度，再向________平移________个单位长度得到的．
【答案】 左 下
【分析】先将一般式化为顶点式，再根据二次函数图象平移规律可得答案.
【详解】解：∵
，
∴二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度可得即.
【变式2】（2024·湖南常德·专题练习）如图，将抛物线在x轴下方的图象沿x轴翻折，翻折后得到的图象与抛物线C在x轴上方的图象记为G，已知直线与图象G有两个公共点．求m的取值范围．
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数中的公共点问题，由可求抛物线与x轴的交点坐标为，由可得翻折后的抛物线为；画出函数图象，利用数形结合思想确定临界状态即可求解；
【详解】解：由，解得，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，
当直线过点时，；
当直线过点时，；
∴当时，直线与图象G有两个公共点；
∵，
∴翻折后的抛物线为，
由得，
当时，，解得，
∴当时，直线与图象G有两个公共点，
综上所述，或时，直线与图象G有两个公共点．
【变式3】（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知抛物线（a为常数，且）交x轴于原点O和点N．
特例感知
（1）当时，抛物线上的点A，O，B，C，D分别关于的中点对称的点为，如下表：
①补全表格；
②在下图中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的抛物线记为．
形成概念
我们把（1）中的抛物线称为抛物线L的“对称抛物线”．
问题探究
（2）若抛物线的顶点E和它与x轴的交点O，N及它的“对称抛物线”的顶点F所构成的四边形的面积为8，则a的值为______；
（3）①当时，若抛物线的“对称抛物线”的函数值随x的增大而增大，则x的取值范围为______；
②在①的条件下，若抛物线及它的“对称抛物线”与直线总有四个交点，求m的取值范围．
【答案】（1）①；；②见解析（2）或（3）①②且．
【分析】（1）①利用中心对称的特点即可求出各点的对称点；②用光滑的曲线，按描点画图的要求作图即可；
（2）由题意可知，四边形为菱形，抛物线的顶点E的坐标为，那么它的“对称抛物线”的顶点F的坐标为，根据四边形的面积为列方程求出的值即可；
（3）①当时，抛物线为，可求出其“对称抛物线”的解析式，根据增减性即可得到答案；②由①可得抛物线和其“对称抛物线”的解析式，得到两抛物线的顶点坐标，即可得到答案．
【详解】解：（1）令，则，
解得：，，
∴点的坐标为，
∴的中点为，
∵点坐标为，
∴点的横坐标为，纵坐标为，即，
∵点坐标为，
∴点的横坐标为，纵坐标为，即，
∵点坐标为，
∴点的横坐标为，纵坐标为，即，
故答案为：① ．
②抛物线如图所示．
（2）或
【提示】由题意可知，四边形为菱形，
点O的坐标为，点N的坐标为，且抛物线的顶点E的坐标为，
它的“对称抛物线”的顶点F的坐标为，
故答案为：或．
（3）①
【提示】当时，抛物线为，其顶点坐标为，
其“对称抛物线”的顶点坐标为，解析式为，
∴当时，“对称抛物线”的函数值随的增大而增大．
故答案为：；
②由①，得抛物线的解析式为，其顶点坐标为，
其“对称抛物线”的顶点坐标为．
该抛物线及它的“对称抛物线”与直线总有四个交点，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，新定义，掌握抛物线的性质是解题的关键．
题型06 区间最值问题与参数讨论
典例引领
【例题1】（2026·湖南株洲·模拟预测）已知二次函数（为常数，且）的图象经过点，且该二次函数有最大值，当时，该二次函数的最小值为（ ）
A．9B．C．6D．
【答案】D
【分析】先将已知点代入二次函数解析式求出a的可能值，再根据二次函数有最大值确定a的取值，得到函数解析式，结合开口方向、对称轴与给定x的范围，即可求出最小值．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点，
∴将，代入解析式，得，
整理得，
解得 或 ，
∵二次函数有最大值，
∴抛物线开口向下，，
∴，
∴二次函数解析式为
抛物线开口向下，对称轴为
在区间中，端点到对称轴的距离更远，
∵开口向下的抛物线，点离对称轴越远，函数值越小，
∴当时，函数取得最小值，
将代入得
即该二次函数的最小值为，
故选：D．
【例题2】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知抛物线（b，c为常数）经过点，且不经过第三象限．当时，函数的最大值与最小值之差为16，则b的值为（ ）
A．3B．2C．3或1D．2或6
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数的图象与性质，利用待定系数法可得到，求出对称轴为直线，当时，则抛物线的顶点在x轴上或在x轴的上方，利用判别式可得，则，根据二次函数的性质确定对应的最大值和最小值，进而建立方程求解；．当时，此时函数图象一定经过第三象限，不符合题意；当时，则抛物线解析式为，求出此时的最大值与最小值即可得到结论．
【详解】解：∵抛物线（b，c为常数）经过点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
当时，，即此时抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∵抛物线不经过第三象限，
∴抛物线的顶点在x轴上或在x轴的上方，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线开口向上，
∴当，且当时，函数有最小值，最小值为，
当时，则，解得，
此时当时，函数有最大值，最大值为，
∴，
解得或（舍去）；
当时，则，解得，
此时当时，函数有最大值，最大值为，
∴，
解得或（舍去）；
当时，，即此时抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，且对称轴在y轴右侧，故此时函数图象一定经过第三象限，不符合题意；
当时，则抛物线解析式为，
∵，
∴当时，函数有最大值，最大值为，当时，函数有最小值，最小值为0，
此时不满足函数的最大值与最小值之差为16；
综上所述，b的值为1或3，
故选：C．
方法透视
变式演练
【变式1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）二次函数的最大值是___________．
【答案】5
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先判断开口方向，再分别计算当时和当时的函数值，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的二次项系数，
∴抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，顶点横坐标，在内．
当时，；
当时，．
∴最大值为5．
故答案为5．
【变式2】（2025·湖南株洲·模拟预测）已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是对函数最值的讨论；由二次函数解析式可知开口向上，且当 时函数值为，根据图象及性质求解．
【详解】解：∵ 开口向上，
∴对称轴为：直线，
∵当 时，，
∴当时，，
即：是抛物线上的一对对称点，
∵当时，函数的最大值为，
∴，
即：
故答案为： ．
【变式3】（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于点、，与轴交于点．
(1)抛物线的解析式为___________；
(2)点的坐标为，点为第一象限内抛物线上的一点，其横坐标为，设四边形的面积为，若与之间的函数关系式为，求的值；
(3)在（2）条件下，函数的图象记为，函数的图象记为，图象合起来得到的图象记为．
①当时，求图象所表示的函数的最大值；
②已知线段的两个端点坐标分别为．若．当图象能够与线段有两个公共点时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)①最大值为；②或
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）连接，设的坐标，根据四边形的面积，写出关于t的函数关系式，最后与比较系数即可得出答案；
（3）①由（2）条件下的a、b、c的值，写出的函数关系式，根据二次函数的性质分别得出相应的最大值和最小值，则可得图象所表示的函数的最大值；②求得两个特殊点时，n的值即可判断．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点、，
解得
该抛物线的解析式为．
故答案为：．
（2）解：如图，连接，
抛物线与轴交于点，
点的坐标为．
点的坐标为，，
，，
点为第一象限内抛物线上的一点，设其横坐标为，
．
四边形的面积
，
；
（3）解：①由（2）知，
的解析式为，
的解析式为；
的对称轴为的对称轴为．
当时，取最小值为，当时，取最大值为；
当时，取最大值为，当时，取最小值为：
图象合起来得到的图象记为，
当时，图象所表示的函数的最大值为24：
②的取值范围是或
理由线段的两个端点坐标分别为，
且轴，
的对称轴为，
由抛物线的对称性可知时，与恰好有两个交点，此时，
当时，与恰好有两个交点：
的对称轴为，
由抛物线的对称性可知时，与恰好有两个交点，
此时，
当时，与恰好有两个交点：
综上所述，当图象能够与线段有两个公共点时，的取值范围是或．
题●型●训●练
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查抛物线顶点坐标的求解，熟练掌握抛物线顶点式的性质是解题关键．利用抛物线的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
故选：B．
2．函数和（m是常数，且）在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查图象的性质，熟知一次函数和二次函数的图象性质是解答的关键；
根据的图象判断，m 的正负，再判断的图象的开口方向即可；
【详解】解： 选项A：由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向下，与图像不一致，不符合题意；
选项B：由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向下，与图像一致，；符合题意；
选项C： 由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向下，与图像不一致，不符合题意；
选项D：由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向上，与图像不一致，不符合题意；
故选B．
3．在平面直角坐标中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上，则的长为（ ）
A．3B．6C．5D．4
【答案】D
【分析】本题考查了求抛物线解析式和抛物线图象的性质，因为点和点在抛物线上，所以将这两个点的坐标代入抛物线解析式，得到关于a、b的方程组，可求出a、b的值，确定抛物线的具体解析式，然后令抛物线解析式中的，解一元二次方程得到x的两个解，得出点A的横坐标．因为A、B都在x轴上，即可计算的长．
【详解】解：把已知点、代入，
得方程组： ，解得，
因此抛物线解析式为．
令，解方程，
因式分解得，得根和，
因此．
∵A、B都在x轴上，
∴．
故选： D．
4．将抛物线先向上平移个单位，再向左平移个单位，所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】依据二次函数图象的平移规律“左加右减（针对自变量），上加下减（针对常数项）”，按照题目给定的平移顺序分步计算即可求解．
【详解】∵原抛物线解析式为 ，平移规律为：上下平移改变常数项，上加下减；左右平移改变自变量，左加右减，
∴所得抛物线解析式为．
5．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④为任意实数时，总有；⑤若方程的两根为和，且，则；其中正确的结论有（ ）．
A．①②⑤B．①③⑤C．②③⑤D．①③④⑤
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．
①利用对称轴，即可得到系数的关系；
②代入到函数表达式判断代数式的符号，得出结论；
③利用函数与轴交点处坐标，得到，，继而代入，根据，得出结论；
④利用函数达到最值时的取值，分别代入和，得到；
⑤根据对称轴和已知交点，得到另一交点坐标，将方程的解转化为二次函数图象与直线交点的问题，结合图象判断根的分布．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，故①正确；
∵时，，
∴，即，故②错误；
∵抛物线经过点，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵当时，，达到最大值，
当时，，
∴，
∴，故④错误；
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，
∴抛物线解析式为，
∴方程的两根和为抛物线与直线的交点的横坐标，
∴，故⑤正确；
∴正确的结论有①③⑤．
6．求二次函数的图像如图所示，其对称轴为直线，与轴的交点为、，其中，有下列结论：
①；②；③；④；⑤；其中，正确的结论的个数有（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【分析】根据图象的开口方向、对称轴的位置和与y轴的交点位置即可判断a、b、c的符号，从而判断①；然后根据对称轴即可求出的关系，再结合即可判断②；利用对称性可得当时和当时的函数值相同，再结合图象即可判断③；利用二次函数的最值即可判断④；根据对称轴公式、当时y的符号和c的取值范围即可判断⑤．
【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交点在负半轴
∴，，，
∴，故①错误；
∵其对称轴为直线，与轴的交点为、，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，故②正确；
根据对称性可知：当时和当时的函数值相同，
由图可知，当时，，
∴当时，，故③错误；
当时，y有最小值，此时，
∴当时，
∴，故④错误；
由图象可知：，
解得：
当时，，
∴，
∵，
∴，
解得：，故⑤正确．
正确的结论有②⑤，共2个．
7．如图，抛物线与x轴的一个交点是，其对称轴为直线，结合图象得到，不等式的解集是______．
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数与一元二次不等式的关系，关键是利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点坐标，再结合抛物线的开口方向确定不等式的解集．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点为，，
∴根据抛物线的对称性，可得另一个交点的横坐标为，即另一个交点为；
又∵抛物线开口向上，
∴不等式的解集是或；
故答案为：或．
8．若关于x的一元二次方程有一个根，则必过点__．
【答案】
【详解】解：将代入方程，得，即，
即，
当时，则，
即过．
9．已知二次函数，当时，函数值为，当时，函数值为，且，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键．
先得到和关于的表达式，再利用，解不等式即可．
【详解】解：当时，，
当时，，
由于，
则，
解得，
故答案为：．
10．若二次函数的对称轴为直线，则______．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的对称轴方程，掌握二次函数的对称轴方程是解题关键，将已知的值与对称轴代入公式即可求解的值。
【详解】解：在二次函数中，，已知其对称轴为直线，
根据二次函数的对称轴方程为直线，
可得：即，解得．
故答案为：
11．已知二次函数的图象经过、、三点，求这个二次函数的解析式．
【答案】
【详解】解：设二次函数的解析式为，把点、、代入得，
，解得，
∴这个二次函数的解析式为．
12．当自变量时，二次函数的值最小，最小值为，且这个函数的图象与轴的一个交点的横坐标为．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求这个函数的图象与轴交点的坐标；
(3)写出当为何值时，．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，经过点，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）当时，可得一元二次方程，解方程求出的值，即为抛物线与轴交点的横坐标；
（3）因为抛物线开口向上，抛物线与轴的交点坐标为和，所以当或时，．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，经过点，
设抛物线的解析式为，
把点代入，
可得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：当时，
可得：，
抛物线与轴交点坐标为；
（3）解：抛物线的解析式为，
其中，
抛物线开口向上，
当时，
可得：，
整理得：，
解得：，，
抛物线与轴的交点坐标为和，
当或时，．
13．二次函数的图象与轴交于点，，且．
(1)若，求二次函数的表达式；
(2)若，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）依题意得，解方程组即可求解；
（2）根据，得出．将点，代入函数解析式得，两式相减得，结合，得出，即．把代入，得，即可得出，即．
【详解】（1）解：由题意，得，
解得：，
二次函数的表达式为．
（2）解：法一：，
，即．
由题意，得，
，
，
，
，
．
把代入，得，
，
．
，
，
即．
法二：由题意，得，
，
，
即．
．
，
，
即．
14．已知抛物线（a，b，c是常数，，且）的最小值是．
(1)若该抛物线的对称轴为直线，并且经过点，求抛物线对应的函数表达式．
(2)若直线经过抛物线的顶点．
①求抛物线的顶点坐标；
②，是抛物线上的两点，且，求p的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点为，设顶点式，再将点代入求值即可；
（2）①根据二次函数的性质可得顶点为，将代入直线解析式，根据解方程，即可解答；
②将，代入抛物线解析式，利用解不等式即可．
【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为．
设抛物线对应的函数表达式为，
把代入，可得
解得，
抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：①根据，
可得二次函数的顶点为，
把代入，
得，
化简，得．
，
，
，
，
抛物线的顶点坐标为；
②设抛物线对应的函数表达式为．
，．
．
，
，
，
，
．
15．综合与实践
【问题情境】如图1，这是某地的一处音乐喷泉，可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化．
【实验数据】如图2，这是音乐喷泉其中的一根水管，喷出的水流的轨迹是抛物线，当喷出的水流在与水管的水平距离为4米时达到最高，最大高度为9米，水流落地点与水管的水平距离为10米．
【数学建模】如图2，以点为原点，以水平地面所在的直线为轴，水管所在的直线为轴建立平面直角坐标系．
【问题解决】
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)如图2，若在第一象限的竖直方向放置一盏高为米的景观灯，且景观灯的顶端恰好碰到水流．
①求出水点与景观灯底部之间的距离；
②现计划将出水点A向下平移米，使新水流的落地处恰好在点处，求的值．
【答案】(1)
(2)①出水点与景观灯底部之间的距离为米；②
【分析】（1）根据题意已知抛物线的顶点坐标及抛物线上一点，设抛物线的顶点式为，再将抛物线上一点代入即可；
（2）①首先，根据题意把代入（1）中对应抛物线的表达式中，转换为关于的一元二次方程，解出方程的两个解，再根据题目中的实际意义舍去负值，然后，求得点对应的坐标，进而得出的长，最后，运用勾股定理即可求出的长；
②由平移的性质及题意设出平移后对应的抛物线的表达式，再将点的坐标代入即可求得的值．
【详解】（1）解：根据题意得抛物线经过点，顶点坐标为，
∴可设抛物线的函数表达式为，
将点代入得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）①解：当时，，
整理得，解得．
，
点，
．
当时，，
，
．
答：出水点与景观灯底部之间的距离为米．
②解：根据题意得平移后的抛物线为，
∵平移后的抛物线经过点，
，
解得，
的值为．
考向解读
此专题是中考的绝对高频考点，通常以选择题形式出现，给出抛物线图象，要求判断含 a, b, c, Δ 及 a±b+c、4a±2b+c 等代数式的符号或大小关系。其本质是考查对二次函数图象与解析式内在联系的深度理解。
方法技能
“四看”定号法：
一看开口：定 a 的正负（上正下负）。
二看对称轴：由 x=−b2a 与 0 的位置关系，结合 a 的符号，定 b 的符号（左同右异）。
三看交点：与 y 轴交点定 c 的正负（上正下负）。
四看交点个数：与 x 轴交点个数定 Δ 的正负（2个正，1个零，0个负）。
特殊点代入法：将图象上的特殊点 1a+b+c、−1a−b+c、24a+2b+c 等代入，根据其纵坐标在图象上的位置（在 x 轴上方、下方）判断代数式正负。
考向解读
本专题是解决所有二次函数问题的起点，贯穿填空、解答各类题型。考题会以不同形式给出条件（普通三点、顶点、交点、对称轴+最值等），要求求出函数解析式。核心是考查根据已知信息灵活选择解析式形式的能力。
方法技能
形式选择三部曲：
已知任意三点坐标 → 设 一般式 y=ax2+bx+c，代入解三元一次方程组。
已知顶点 ℎk 及另一点 → 设 顶点式 y=ax−ℎ2+k，代入另一点求 a。
已知与x轴交点 x10, x20 及另一点 → 设 交点式 y=ax−x1x−x2，代入另一点求 a。
隐含条件转化：“对称轴为直线 x=m”可转化为顶点横坐标；“最大/最小值为 n”可转化为顶点纵坐标；“函数经过某点”即坐标满足解析式。
验证回代：求出解析式后，务必将所有已知点代入验证，确保无误。
考向解读
此专题强调数形结合思想，是连接函数、方程、不等式三者的桥梁。常见考法有：①给定抛物线，求对应方程的根或解不等式；②根据方程根的情况，确定函数中参数的取值范围。题型覆盖选择、填空及解答题。
方法技能
图象解方程：方程ax2+bx+c=0 的解，即为抛物线与 x 轴交点的横坐标。若图象精确，可读取近似解。
图象解不等式：
ax2+bx+c>0 的解集：对应抛物线在 x 轴上方部分所对应的 x 的范围。
ax2+bx+c