2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用考点培优练03空间向量在立体几何中的应用(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用考点培优练03空间向量在立体几何中的应用(学生版+解析)，共7页。试卷主要包含了如图，E,F分别是正八面体等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc14952" 考点01 向量法求异面直线的夹角 PAGEREF _Tc14952 \h 1
\l "_Tc14800" 考点02 向量法求线面角 PAGEREF _Tc14800 \h 4
\l "_Tc22060" 考点03 向量法求二面角 PAGEREF _Tc22060 \h 8
\l "_Tc23756" 考点04 空间中距离问题 PAGEREF _Tc23756 \h 13
\l "_Tc29571" 考点05 空间中的探索性问题 PAGEREF _Tc29571 \h 17
考点01 向量法求异面直线的夹角
1．在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，BB1=2AB=2BC，M，N分别是B1C1，A1B1的中点，则直线BM与直线CN所成角的余弦值（ ）
A．31313B．21313C．55D．2515
2．已知圆台的上底面圆O′的半径为1，下底面圆O的半径为2，点A′，A分别在上、下底面圆周上，且O′A′⊥OA,OO′=1，则AA′与OO′所成角的余弦值为（ ）
A．66B．56C．63D．16
3．中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，AA1、BB1、CC1、DD1均与曲池的底面ABCD垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90∘，则图中异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为（ ）
A．45B．35C．1010D．31010
4．已知三棱柱ABC−A1B1C1的各条棱长相等，且∠A1AB=∠A1AC=45∘,∠BAC=60∘，则异面直线AB与B1C所成角的余弦值为（ ）
A．33B．23C．63D．2+24
5．在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，A1B1=2，AB=4，且该正四棱台的体积为28，则异面直线AA1与B1C所成角的余弦值为（ ）
A．13209209B．31919C．21111D．5209209
6．在直三棱柱A1B1C1−ABC中，∠BCA=90°，D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）
A．3010B．12C．3015D．1510
7．(24-25高三下·河北文安县第一中学·模拟)如图，E,F分别是正八面体（8个面均为正三角形）棱BC,CD的中点，则异面直线QE与PF所成角的余弦值为（ ）
A．13B．33C．23D．63
8．(24-25高三下·北京中国人民大学附属中学·)北京天桥艺术中心旁边的四面钟是天桥附近颇有意趣的传统景观之一.这个主体建筑可以近似看做正四棱柱.四面钟的每一面都挂在该正四棱柱的一个侧面上.当四面钟都正常显示标准北京时间时，相邻两面钟的时针所在直线所成角最大为（ ）

A．π6B．π4C．π2D．3π4
9．(24-25高三上·河北承德·期末)在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，BD=3，E是BC的中点，沿BD将△BCD翻折至△BC′D的位置，使得平面BC′D⊥平面ABD，F为C′D的中点，则异面直线EF与AC′所成角的余弦值为（ ）
A．35B．45C．13D．23
10．(20-21高三上·浙江温州中学·月考)如图，四边形ABCD中，AB=BD=DA=2，BC=CD=2．现将△ABD沿BD折起，当二面角A−BD−C处于π6,5π6过程中，直线AD与BC所成角的余弦值取值范围是（ ）
A．−528,28B．28,528C．0,28D．0,528
11．直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面△ABC是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2，D为B1B上的点，若直线A1C与直线DC1所成角的余弦值为26，则BD长为（ ）
A．1B．12C．22D．32
12．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，P是底面ABCD内（包括边界）的一个动点，若MP//平面A1BC1，则异面直线MP与A1C1所成角的取值范围是（ ）
A．0,π3B．π6,π3C．π3,π2D．π3,π
13．已知正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为2，点E在线段BC′上，若直线A′E与C′D所成角的余弦值为36，则A′E=（ ）
A．6B．322C．3D．22
14．如图，正四棱锥S−ABCD，SA=2，AB=2，P为侧棱SD上的点，且SP=3PD．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)求异面直线SA与CP所成角的余弦值．
15．如图，直线PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA=AD=2，点E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.
(1)求异面直线EG与BD所成角的大小(结果用反三角表示)；
(2)在线段CD上是否存在一点Q，使BF⊥EQ，若存在，求出DQ的长，若不存在，请说明理由.
考点02 向量法求线面角
1．已知正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为2，点N是四边形A′B′C′D′内一点，且满足DN⊥A′B′，则DN与平面A′B′C′D′所成角的正切值的最小值为（ ）
A．22B．12C．2D．1
2．已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角均为θ，平面α截此正方体所得截面为图形Ω，下列说法错误的是（ ）

A．平面α可以是平面ACD1B．csθ=33
C．图形Ω可能是六边形D．sinθ=33
3．在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，AP=2，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为（ ）
A．255B．25C．23D．33
4．已知四棱锥P−ABCD的底面为平行四边形，AD=2，DC=4，∠BAD=60∘，PD⊥平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为30∘，则PD=（ ）
A．22B．475C．677D．7
5．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别是A1D，D1B的中点，则下述结论中正确的个数为（ ）
①MN∥平面ABCD； ②平面A1ND⊥平面D1MB；
③直线MN与B1D1所成的角为45°； ④直线D1B与平面A1ND所成的角为45°．
A．1B．2C．3D．4
6．已知在四面体P−ABC中，△ABC为等边三角形，且BP⋅BC=BP⋅BA−BP，则BC+BP与平面ABC所成角正切值的最大值为（ ）
A．3B．2C．33D．22
7．正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1， E为棱DD1的中点，点P在面对角线BC1上运动(P点异于B、C1点)，以下说法错误的是（ ）
A．BD1//平面AEC
B．A1P⊥B1D
C．直线B1E与平面CDD1C1所成角的余弦值为23
D．三棱锥P−ACD1的体积为16
8．P是正四棱柱ABCD−A1B1C1D1表面上的一个动点，AA1=2AD=4，当直线AP与正四棱柱六个面所成角的大小相等时，AP与AC1所成角的余弦值为（ ）
A．223B．23C．13D．66
9．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3,BC=1,M,N分别是为AD1和C1D1的中点，MN与平面BB1C1C所成的角为30∘，则该长方体的体积为（ ）
A．82B．6C．26D．83
10．已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，E,F分别为BC1和C1D1的中点,P为线段BD1上的动点，Q为上底面A1B1C1D1内的动点，下列判断正确的是（ ）
①三棱锥P−B1EF的体积是定值；②若P不为线段BD1的端点，且FQ⊥DP恒成立，则线段FQ的最大值为22；③当DQ与DA1所成的角为45∘时，点Q的轨迹为双曲线的一部分；
A．①②B．②③C．①③D．①②③
二、解答题
11．(25-26高三上·河北沧州·)如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1C⊥平面AB1C1，AA1=λBC.
(1)证明：B1C1⊥A1C1；
(2)若直线B1C与平面AB1C1所成角为π6，求λ.
12．如图所示，在六棱锥P−ABCDEF中，PA⊥平面ABCDEF，六边形ABCDEF是边长为3的正六边形，PA=6,M是PE上靠近点E的三等分点．
(1)证明：DE⊥平面PAE；
(2)求线DM与平面PBC所成角的正弦值．
13．(24-25高三下·山西部分学校·)如图所示，在边长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别是棱AB,BC上的点（异于端点），且AE=FC．
(1)证明：A1E与C1F相交且交点在直线BB1上．
(2)当直线A1B1与平面C1A1E所成角的正弦值为23时，求AE的值．
14．底面为菱形的四棱锥P−ABCD中，AC与BD交于点O，平面PBD⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面ABCD．
(1)证明：PO⊥平面ABCD；
(2)若OA=2OD=2，直线DC与平面PBC所成角的正弦值为4515，求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值．
15．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=5，BC=2，侧面BB1C1C是正方形，D为BC的中点，二面角A−BC−B1的大小是2π3．

(1)求证：平面AA1D⊥平面ABC；
(2)线段BC上是否存在一个点E，使直线C1E与平面ACC1A1所成角的正弦值为3310．若存在，求出BE的长；若不存在，请说明理由．
考点03 向量法求二面角
一、单选题
1．(24-25高三下·浙江北斗星盟·三模)在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N分别为AB、CC1的中点，过直线MN的平面α截该正方体所得截面Γ，则当平面α与平面ABCD的所成角为最小时，截面Γ的面积为（ ）
A．85B．330C．123D．14113
2．(24-25高三下·四川成都石室中学·适考)如图，fx=x−1x图象上两点A,C关于原点对称，点A的横坐标x0=2，过点A,C分别作两坐标轴的垂线得到矩形ABCD，矩形与坐标轴的交点分别记为A1,A2,C1,C2.将图象沿x轴折叠，得到一个二面角A−A1C1−C，若AC=342，则二面角A−A1C1−C的大小为（ ）
A．30∘B．60∘C．120∘D．150∘
3．六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为SF6，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为P−ABCD−Q，各棱长均相等，则平面PAB与平面QAB夹角的余弦值是（ ）
A．22B．23C．12D．13
4．如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1，点M，N，P分别为A1B1，BC和AD的中点，底面ABCD为菱形，∠DAB=60∘且AB=2AA1.记MN与AA1所成的角为α，MN与平面ABCD所成的角为β，二面角M−PN−B的平面角为γ，则（ ）
A．α>β>γB．β>γ>αC．γ>α>βD．α>γ>β
5．(24-25高三上·福建部分学校教学联盟·月考)在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，b>a．将▵ACD沿着AC翻折，使D点在平面ABC上的投影E恰好在直线AB上，则此时二面角B−AC−D的余弦值为（ ）
A．a2b2B．abC．abbD．a+b2b
6．如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为平行四边形， DE⊥平面ABCD，平面BDE⊥平面EAC.

(1)证明:四边形ABCD为菱形;
(2)若AF//DE，且CD=DE=2AF，AD⊥CD，求平面BEF与平面EAC的夹角的正弦值.
7．如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，下底面是边长为2的正方形，侧棱D1D与底面垂直，且D1D=D1C1=1.
(1)证明：BB1//平面ACD1；
(2)求平面ACD1与平面BCC1B1的夹角的大小.
8．如图，在四棱锥E−ABCD中，EA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2，EA=AB=BC=1．
(1)证明：平面EAC⊥平面ECD；
(2)若点F在侧棱EC上，EF=2FC，求平面FAB与平面FAD夹角的余弦值．
9．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD,AD//BC，AD=AP=2AB=2BC=2，PA⊥平面ABCD,E为棱PD上的动点．
(1)当E为棱PD的中点时，证明：EC//平面PAB；
(2)若PE=2ED，求平面EAC与平面PAB夹角的余弦值．
10．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90∘，AB=3，BC=DC=1，DE⊥AB于E，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P的位置，使∠PEB=90∘，N，F分别是棱BC，PB的中点.

(1)证明：EF⊥BC；
(2)求平面EFN和平面PCD的夹角的余弦值.
11．(25-26高三上·甘肃武威凉州区·)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PC⊥平面ABCD，E，F分别为棱BC，PA的中点，且PC=BC=CD=2，∠ABC=θ∈0,π2.
(1)证明：EF//平面PCD；
(2)若平面PAD与平面PAB夹角的余弦值为57，求四棱锥P−ABCD的体积.
12．(25-26高三上·湖南益阳·)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面A1ACC1为菱形，∠A1AC=60°，底面ABC为等边三角形，平面A1ACC1⊥平面ABC，点D,E分别是A1B1,A1C1的中点.

(1)证明：平面DEC⊥平面ABC；
(2)若AB=2，点F在直线CC1上，且平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值为1717，求线段CF的长.
13．(24-25高三下·河北部分学校·)如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC，点A1在底面ABC上的投影为BC的中点O，点M满足C1M=λC1B1(0≤λ≤1).
(1)当λ=12时，证明：平面A1MC⊥平面A1BC；
(2)已知 AA1=2AB=4，若平面A1BC与平面A1MC夹角的余弦值为55379，求λ的值.
14．在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=1，BB1=3，BC=6，B1D=λB1C10α>βD．α>γ>β
【答案】C
【详解】解：连接PB,DB，由底面ABCD为菱形，∠DAB=60∘，
所以△ABD为等边三角形，故PB⊥AD.
取A1D1中点P1，连接PP1，
因为ABCD−A1B1C1D1是直四棱柱，所以PP1⊥平面ABCD，
又AD，PB⊂平面ABCD，所以PP1⊥AD，PP1⊥PB.
不妨设AA1=2，所以AB=2，故PA=1，PB=3，
由PP1，AD，PB三线两两互相垂直，故以P为原点，
PA,PB,PP1所在方向建立x，y，z轴，如下图所示：
则P0,0,0,A1,0,0,B0,3,0,A11，0,2,M12,32,2,N−1,3,0，
MN=−32,32,−2,PN=−1,3,0,AA1=0,0,2，
由AA1⊥平面ABCD，所以平面ABCD可取n1=0,0,1，
设平面PMN的法向量为n2=x2,y2,z2，
所以n2⋅MN=−32x2+32y2−2z2=0n2⋅PN=−x2+3y2=0，
取x2=23，则y2=2，z2=−6，故n2=23,2,−6.
由MN与AA1所成的角为α，MN与平面ABCD所成的角为β，
二面角M−PN−B的平面角为γ，
其中α,β,γ∈0，π2.
所以，
，
所以csβ=1−sin2β=155，
，
因为y=csx在0,π2上递减，α,β,γ∈0,π2，
又155>105>3311，
所以γ>α>β.
故选：C
5．(24-25高二上·福建部分学校教学联盟·月考)在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，b>a．将▵ACD沿着AC翻折，使D点在平面ABC上的投影E恰好在直线AB上，则此时二面角B−AC−D的余弦值为（ ）
A．a2b2B．abC．abbD．a+b2b
【答案】A
【详解】如图所示，作DG⊥AC于G，BH⊥AC于H.

在Rt△ADC中，AC=a2+b2，cs∠DAC=ADAC=aa2+b2，
在Rt△ADG中，AG=ADcs∠DAC=a×aa2+b2=a2a2+b2，
DG=AD2−AG2=a2−(a2a2+b2)2=aba2+b2，
同理可得cs∠BCA=BCAC=aa2+b2，CH=a2a2+b2，DG=aba2+b2，
因为AD·BC=(AE+ED)·BC=AE·BC+ED·BC=0，
所以GD·HB=(GA+AD)·(HC+CB)=GA·HC+GA·CB+AD·HC+AD·CB
=−a2a2+b2×a2a2+b2+a2a2+b2×a×aa2+b2+a×a2a2+b2×aa2+b2+0=a4a2+b2，
又因为|GD|·|HB|=aba2+b2×aba2+b2=a2b2a2+b2，
所以csGD,HB=GD·HB|GD|·|HB|=a4a2+b2a2b2a2+b2=a2b2.
因为GD与HB的夹角即为二面角B−AC−D的大小，
所以二面角B−AC−D的余弦值为a2b2.
故选：A.
6．如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为平行四边形， DE⊥平面ABCD，平面BDE⊥平面EAC.

(1)证明:四边形ABCD为菱形;
(2)若AF//DE，且CD=DE=2AF，AD⊥CD，求平面BEF与平面EAC的夹角的正弦值.
【详解】（1）设AC∩BD=O，连接OE，过D向OE作垂线，垂足为H，
因为平面BDE⊥平面EAC，平面BDE ∩平面EAC=OE，DH⊥OE，DH⊂平面BDE，
所以DH⊥平面EAC，
因为AC⊂平面EAC，所以DH⊥AC，
因为DE⊥平面ABCD， AC⊂平面ABCD，所以DE⊥AC，
因为DH∩DE=D,DH,DE⊂平面BDE，所以AC⊥平面BDE，所以AC⊥BD，
因为ABCD为平行四边形，所以ABCD为菱形.

（2）因为AD⊥CD，结合（1）可知底面为正方形，
以D为原点，DA,DC,DE所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
设CD=DE=2AF=2，则A2,0,0,C0,2,0,E0,0,2,B2,2,0,F2,0,1;
AC=−2,2,0,AE=−2,0,2,BF=0,−2,1,FE=−2,0,1;
设平面EAC的一个法向量为n=x,y,z，则n⋅AC=−2x+2y=0n⋅AE=−2x+2z=0，
令x=1得，n=1,1,1.
设平面BEF的一个法向量为m=x0,y0,z0，则m⋅BF=−2y0+z0=0m⋅FE=−2x0+z0=0，
令z0=2得，m⃗=1,1,2.
设平面BEF与平面EAC的夹角为θ，则csθ=n⋅mnm=43×6=223，
所以sinθ=1−cs2θ=13，即平面BEF与平面EAC的夹角的正弦值为13.

7．如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，下底面是边长为2的正方形，侧棱D1D与底面垂直，且D1D=D1C1=1.
(1)证明：BB1//平面ACD1；
(2)求平面ACD1与平面BCC1B1的夹角的大小.
【详解】（1）连接BD交AC于点E，连结D1B1，D1E.
因为底面ABCD是正方形，所以E是BD的中点.
又DC=2D1C1，所以DB=2D1B1，故EB=D1B1.
由棱台的定义，DD1与BB1共面，因为棱台的上、下底面平行，所以它们与平面BDD1B1的交线平行，即D1B1//DB.
所以四边形EBB1D1为平行四边形，故BB1//ED1.
又因为BB1⊄平面ACD1，ED1⊂平面ACD1，所以BB1//平面ACD1.
（2）以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则D0,0,0，A2,0,0，B2,2,0，C0,2,0，C10,1,1，D10,0,1.
故AC=−2,2,0，AD1=−2,0,1，CB=2,0,0，CC1=0,−1,1.
设平面ACD1的法向量m=x1,y1,z1，由m⋅AC=0m⋅AD1=0得x1=y12x1=z1.
取x1=1，得平面ACD1的一个法向量m=1,1,2.
设平面BCC1B1的法向量n=x2,y2,z2，由n⋅CB=0n⋅CC1=0得x2=0y2=z2.
取y2=1，得平面BCC1D1的一个法向量n=0,1,1.
故csm,n=m⋅nm⋅n=1+26⋅2=32.
所以平面ACD1与平面BCC1B1夹角的大小为π6.
8．如图，在四棱锥E−ABCD中，EA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2，EA=AB=BC=1．
(1)证明：平面EAC⊥平面ECD；
(2)若点F在侧棱EC上，EF=2FC，求平面FAB与平面FAD夹角的余弦值．
【详解】（1）
取AD中点M，连接CM，可得四边形ABCM是边长为1的正方形，
则AC=2，CD=2，又AC2+CD2=AD2，故CD⊥AC，
因为EA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥EA，
又因为CD⊥AC，EA∩AC=A，EA⊂平面EAC，AC⊂平面EAC，
所以CD⊥平面EAC，
又CD⊂平面ECD，所以平面EAC⊥平面ECD
（2）
分别以AB,AD,AE所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系A−xyz，
则A0,0,0，B1,0,0，D0,2,0，E0,0,1，由EF=2FC得，F23,23,13，
在平面FAB中，AF=23,23,13，AB=1,0,0，设平面FAB的法向量为n1=x,y,z，
则有AF→·n1→=23x+23y+13z=0AB→·n1→=x+0y+0z=0，令y=1，解得x=0，y=1，z=−2，
故平面FAB的一个法向量为n1=0,1,−2，
同理AF=23,23,13,FD=−23,43,−13,设平面FAD的一个法向量为n2=a,b,c,
则有AF→·n2→=23x+23y+13z=0FD→·n2→=−23x+43y−13z=0,令x=1，则y=0,z=−2，故n2=1,0,−2，
设平面FAB与平面FAD的夹角为θ，则，
综上，平面FAB与平面FAD的夹角的余弦值为45
9．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD,AD//BC，AD=AP=2AB=2BC=2，PA⊥平面ABCD,E为棱PD上的动点．
(1)当E为棱PD的中点时，证明：EC//平面PAB；
(2)若PE=2ED，求平面EAC与平面PAB夹角的余弦值．
【详解】（1）
取PA的中点F，连接EF，BF，
因为E为PD的中点，
所以EF//AD,EF=12AD，
因为AD//BC,AD=2BC，
所以EF//BC,EF=BC，
所以四边形EFBC为平行四边形，所以EC//BF．
又BF⊂平面PAB,EC⊄平面PAB，
所以EC//平面PAB．
（2）
因为AB⊥AD,PA⊥平面ABCD，即AB,AD,AP两两垂直，
故可以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则A0,0,0,P0,0,2,D0,2,0,C1,1,0，
因为PE=2ED，所以E0,43,23，
所以AC=1,1,0,AD=0,2,0,AE=0,43,23．
设平面EAC的法向量为n=x,y,z，
则n⋅AC=x+y=0n⋅AE=43y+23z=0
取y=1，得x=−1,z=−2，
所以n=−1,1,−2．
因为AB⊥AD,AP⊥AD,AB∩AP=A,AB,AP⊂平面PAB，
所以AD⊥平面PAB．
所以AD=0,2,0为平面PAB的一个法向量．
设平面EAC与平面PAB的夹角为θ，
则csθ=csn,AD=n⋅ADn⋅AD=226=66．
所以平面EAC与平面PAB夹角的余弦值为66．
10．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90∘，AB=3，BC=DC=1，DE⊥AB于E，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P的位置，使∠PEB=90∘，N，F分别是棱BC，PB的中点.

(1)证明：EF⊥BC；
(2)求平面EFN和平面PCD的夹角的余弦值.
【详解】（1）根据题意，沿DE将△ADE折起后，PE⊥DE,BE⊥DE， PE∩BE=E,PE,BE⊂平面PEB，则DE⊥平面PEB，
因EF⊂平面PEB，则DE⊥EF，由左图易得矩形BCDE，故BC//DE，故BC⊥EF，得证.
（2）由（1）DE⊥平面PEB，PE⊂平面PEB，则DE⊥PE，
故可分别以EB,ED,EP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系E−xyz(如图).

则E(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,2),D(0,1,0),C(1,1,0)，
因N，F分别是棱BC，PB的中点，则F(12,0,1),N(1,12,0)，
则EF=(12,0,1),EN=(1,12,0)，
设平面EFN的法向量为m=(x,y,z)，
则EF⋅m=12x+z=0EN⋅m=x+12y=0，故可取m=(2,−4,−1)；
因DC=(1,0,0),DP=(0,−1,2)，
设平面PCD的法向量为n=(a,b,c)，
则DC⋅n=a=0DP⋅n=−b+2c=0，故可取n=(0,2,1).
设平面EFN和平面PCD的夹角为θ，
则csθ=csm,n=2×−4+1×−15×21=335105.
即平面EFN和平面PCD的夹角的余弦值为335105.
11．(25-26高三上·甘肃武威凉州区·)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PC⊥平面ABCD，E，F分别为棱BC，PA的中点，且PC=BC=CD=2，∠ABC=θ∈0,π2.
(1)证明：EF//平面PCD；
(2)若平面PAD与平面PAB夹角的余弦值为57，求四棱锥P−ABCD的体积.
【详解】（1）证明：如下图，取AD中点G，连接EG,FG，
因为E，F分别为棱BC，PA的中点，G为AD中点，所以FG//PD,EG//CD，
由FG在平面EFG内，PD不在平面EFG内，故PD//平面EFG，
由EG在平面EFG内，CD不在平面EFG内，故CD//平面EFG，
又PD∩CD=D且都在平面PCD内，所以平面EFG//平面PCD，
因为EF⊂平面EFG，所以EF//平面PCD.
（2）如下图，过C点作CD的垂线交AB于M，以C为原点，分别以CD,CM,CP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
已知PC=BC=CD=2，则C(0,0,0),P(0,0,2),A(2−2csθ,2sinθ,0),D(2,0,0),B(−2csθ,2sinθ,0)，
PA=(2−2csθ,2sinθ,−2)，PD=(2,0,−2)，AB=(−2,0,0).
设平面PAD的法向量为n=(x,y,z)，则n⃗⋅PA⃗=(2−2csθ)x+2sinθy−2z=0n⃗⋅PD⃗=2x−2z=0，
令x=sinθ可得z=sinθ,y=csθ，所以n=(sinθ,csθ,sinθ).
设平面PAB的法向量为m=(a,b,c)，则m⃗⋅PA⃗=(2−2csθ)a+2sinθb−2c=0m⃗⋅AB⃗=−2a=0
所以a=0，令c=sinθ可得b=1，所以m=(0,1,sinθ).
又平面PAD与平面PAB夹角的余弦值为57，
所以|csθ+sin2θ|2sin2θ+cs2θ⋅1+sin2θ=57，解得csθ=12或csθ=3（舍），所以θ=π3.
所以四棱锥P−ABCD的底面积S=BC⋅CD⋅sinθ=2×2×sinπ3=23，高ℎ=PC=2.
由四棱锥体积公式V=13Sℎ可得V=13×23×2=433.
所以四棱锥P−ABCD的体积为433.
12．(25-26高三上·湖南益阳·)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面A1ACC1为菱形，∠A1AC=60°，底面ABC为等边三角形，平面A1ACC1⊥平面ABC，点D,E分别是A1B1,A1C1的中点.

(1)证明：平面DEC⊥平面ABC；
(2)若AB=2，点F在直线CC1上，且平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值为1717，求线段CF的长.
【详解】（1）如图，取AC的中点O，连接A1O，因为侧面A1ACC1为菱形，∠A1AC=60°，

所以A1O⊥AC.又因为平面A1ACC1⊥平面ABC，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，
A1O⊂平面A1ACC1，所以A1O⊥平面ABC.
又因为E是A1C1的中点，所以四边形A1OCE为平行四边形，所以A1O//CE，所以CE⊥平面ABC.
又CE⊂平面DEC，所以平面DEC⊥平面ABC.
（2）连接OB，因为△ABC为等边三角形，则OB⊥OC.

所以OB,OC,OA1两两垂直.则以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
因为AB=2，所以OB=OA1=3.
故O(0,0,0), B(3,0,0)，
A1(0,0,3),C(0,1,0),E(0,1,3),C1(0,2,3).
设CF=λCC1，则OF=OC+λCC1=(0,1,0)+(0,λ,3λ)=(0,1+λ,3λ)，
即F(0,1+λ,3λ).∴EF=(0,λ,3λ−3)，
又DE=12B1C1=12BC=(−32,12,0).
设平面DEF的一个法向量为m=(x,y,z)，
则m· DE=0m· EF=0， 则3x−y=0λy+3λ−3z=0，取z=λ，则y=3−3λ，x=1−λ.
故平面DEF的一个法向量为m=1−λ,3−3λ,λ.
又由（1）可知平面ABC的一个法向量为n=0,0,1，
由题意可得cs=1717，即m⋅nm⋅n=λ1−λ2+31−λ2+λ2=1717.
解得λ=13或−1.又|CF|=|λCC1|=2|λ|，所以，线段CF的长为23或2.
13．(24-25高三下·河北部分学校·)如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC，点A1在底面ABC上的投影为BC的中点O，点M满足C1M=λC1B1(0≤λ≤1).
(1)当λ=12时，证明：平面A1MC⊥平面A1BC；
(2)已知 AA1=2AB=4，若平面A1BC与平面A1MC夹角的余弦值为55379，求λ的值.
【详解】（1）当λ=12时，即M为线段B1C1的中点，
因为△ABC≌△A1B1C1，所以A1B1=A1C1，所以B1C1⊥A1M，
又BC∥B1C1，所以BC⊥A1M，
又因为A1O⊥平面ABC，平面A1B1C1//平面ABC，
所以A1O⊥平面A1B1C1，A1M⊂平面A1B1C1，所以A1O⊥A1M，
且A1O∩BC=O，A1O，BC⊂平面A1BC，所以A1M⊥平面A1BC.
又因为A1M⊂平面A1MC，所以平面A1MC⊥平面A1BC.
（2）因为AB=AC=2，O为BC的中点，所以AO⊥BC，且A1O⊥平面ABC，
故以O为坐标原点，OA，OB，OA1分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为AA1=2AB=4，所以OA=2，A1O=AA12−AO2=14，
所以A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,−2,0)，A1(0,0,14)，
可得CB=C1B1=(0,22,0)，CC1=AA1=(−2,0,14)，
所以CM=CC1+C1M=(−2,22λ,14)，CA1=(0,2,14).
设平面A1MC的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅CM=(x,y,z)⋅(−2,22λ,14)=0,m⋅CA1=(x,y,z)⋅(0,2,14)=0,化简得x=(2λ−1)y,y=−7z,
令z=1，则y=−7，x=−7(2λ−1)，
可得m=(−7(2λ−1),−7,1)，
由题意可知，平面A1BC的法向量n=(1,0,0)，
所以|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m||n|=7|2λ−1|7(2λ−1)2+8，
又平面A1BC与平面A1MC夹角的余弦值为55379，
所以7|2λ−1|7(2λ−1)2+8=55379，解得λ=13或λ=23，所以λ的值为13或23.
14．在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=1，BB1=3，BC=6，B1D=λB1C10