限时预测01（A+B+C三组解答题）（大题专练）（全国一卷通用）2026年高考数学终极冲刺讲练测 练习+答案

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（建议用时：60分钟 满分：77分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
为适应AI（人工智能）的发展与其对工作的影响，某公司在甲、乙两个部门随机调查了50名职工，对他们是否熟练使用AI工具进行了测试，测试结果如下表．
(1)分别估计甲、乙两个部门的职工熟练使用AI工具的概率；
(2)根据小概率值α=0．05的独立性检验，分析甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度是否有差异．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
【答案】(1)45;35
(2)甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度没有差异
【详解】（1）解：根据统计表格中的数据，
可得甲部门的职工熟练使用AI工具的概率为2430=45；
乙部门的职工熟练使用AI工具的概率为1220=35．
（2）解：零假设为H0：甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度没有差异．
根据2×2列联表中的数据，计算可得χ2=50×(6×12−24×8)230×20×14×36=5021≈2.381b>0，其长轴长为6，且点M2,53在C上.
(1)求C的方程；
(2)设C的左顶点为E，动直线l的斜率为k，且l与C交于P,Q两点，O为坐标原点.
（i）若k=1，且△EPQ的重心在y轴上，求l的方程；
（ii）若l经过C的右焦点F，点P在第一象限，N是P关于原点的对称点，且四边形OFQN与△POQ的面积之比为5:3，求k的值.
【答案】(1)x29+y25=1
(2)（i）y=x−73；（ii）3
【详解】（1）由长轴长为6，可得2a=6,a=3，则a2=9.
将点M的坐标2,53代入椭圆方程，可得49+259b2=1，
解得b2=5.
故C的方程为x29+y25=1.
（2）（i）由（1）可知E−3,0，设直线l:y=x+m,Px1,y1,Qx2,y2.
联立得y=x+m,x29+y25=1,可得14x2+18mx+9m2−45=0.
由Δ>0，可得−140，可知h′t=t−1et+1在0,+∞上为增函数．
又h′0=0，所以t>0时，h't>0,ht=t−2et+t+2在0,+∞上为增函数．
所以ht>h0=0，即t−2et+t+2>0成立，所以ex1+ex2>4成立．
19．（17分）
流行病学调查表明某种疾病S是由致病菌α和致病菌β共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈.
(1)若有某种治疗方案M，有23的概率能杀灭致病菌α.若这种治疗方案能杀灭致病菌α，则它有34的概率能杀灭致病菌β.若这种治疗方案不能杀灭致病菌α，则它有14的概率能杀灭致病菌β.求使用治疗方案M痊愈的条件下，能杀灭致病菌α的概率；
(2)若市面上仅有两款药物A和药物B对疾病S有疗效，且这两种药物的疗程各均为3天（假定药物使用时，均按疗程服用3天），超过3天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈.已知药物A杀灭致病菌α和致病菌β的概率分别为45、710，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立.药物B杀灭致病菌α和致病菌β的概率均为910.请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？
(3)已知某种药物C能治愈疾病S的概率为P0.设针对药物C的nn≥3次临床试验中有连续3次或连续3次以上治愈疾病S的概率为Pn，且每次治疗结果相互独立.求证：Pn+1>Pn≥1−1−P031−P031−P0n−3.
【答案】(1)89
(2)先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短
(3)证明见解析
【详解】（1）设使用治疗方案M治愈疾病S为事件D，使用治疗方案M能杀灭致病菌α为事件E，
则PD=23+1−23×14=912=34，
因为事件E发生则事件D必发生，故P(ED)=P(E)=23，
PE|D=PEDPD=2334=89.
（2）设PA表示药物A能治愈疾病S的概率，PB表示药物B能治愈疾病S的概率.
则有PA=1−1−451−710=4750，PB=1−1−9102=99100.
设先用药物A再用药物B来治愈疾病S所需的天数为X1，先用药物B再用药物A来治愈疾病S所需的天数为X2，
则PX1=3=PA，PX1=6=1−PA×PB，PX1=9=1−PA×1−PB，
所以EX1=3PA+61−PA×PB+91−PA×1−PB
=9−6PA−3PB+3PAPB
=9−6×4750−3×99100+3×4750×99100 =3.1818≈3.18.
同理得PX2=3=PB，PX2=6=1−PB×PA，PX2=9=1−PA×1−PB.
则有EX2=3PB+61−PB×PA+91−PA×1−PB=3.0318≈3.03.
从而有EX1>EX2，
因此需先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短.
（3）设针对药物C的n次临床试验中未出现连续3次或连续3次以上治愈疾病S的概率为Qn，
因此有Qn+1=1−P0Qn+P0Qn−P021−P0Qn−3，从而Qn+1−Qn=−P031−P0Qn−30，
则f3x在x∈[−2π,−π)上单调递增，
因为f3−2π=e−2π−10，
所以存在唯一x0∈(−2π,−π)，使得f3x0=0，
可得f2x在(−2π,x0)上单调递减，在(x0,−π)上单调递增，
f2(−2π)=e−2π>0,f2(−3π2)=e−3π2−10，
所以存在唯一的λ∈(−2π,−3π2),μ∈(−3π2,−π)，使得eλ=sinλ,eμ=sinμ，
且f1x在(−2π,λ)上单调递增，在(λ,μ)上单调递减，在(μ,−π)上单调递增，
由f1−2π=e−2π>0，f1−π=e−π−20,f'(−π2)=e−π2−11,sinx≤1，可得f1′(x)>0，
f'x在0,+∞上单调递增，f'0=1>0，f'x>0，
综上可得，函数f'x在(−2π,x1)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减，在(x2,+∞)上单调递增，
要使得y=m与y=f(x)的图像有三个交点，
则xp∈(−2π,−3π2),xq∈(−3π2,−π2),xr∈(−π2,+∞)，
f−2π=e−2π+2π,f−π=e−π+π2xq，
所以2xq