河北省沧州市盐山县盐山中学高一下学期期中考试数学试题

这是一份河北省沧州市盐山县盐山中学高一下学期期中考试数学试题，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若zz−1=1+i，则z=( )
A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i
2.已知向量a和b满足|a|= 3，|b|=1，|a+b|= 7，则向量b在向量a上的投影向量为( )
A. −23aB. 12aC. 23aD. −12a
3.若棱长为2 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. 12πB. 24πC. 36πD. 144π
4.在△ABC中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 所对的边，若a= 2，b= 6，A=30∘，则边c= ( )
A. 2B. 2 2或 6C. 2或2 2D. 2 2
5.如图，在四面体P−ABC中，PA⊥平面ABC,AC⊥CB,PA=AC=2BC=2，则此四面体的外接球表面积为( )
A. 3πB. 9πC. 36πD. 48π
6.已知平面α，直线l1，l2满足l1⊄α，l2⊂α，则“l1// l2”是“l1// α”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线AB1与直线BC1夹角的余弦值是( )
A. 12B. 32C. ± 32D. ±12
8.如图，已知菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120∘，E为边BC的中点，将▵ABE沿AE翻折成▵AB1E(点B1位于平面ABCD上方)，连接B1C和B1D，F为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是( )
①平面AB1E⊥平面B1EC；②AB1与CF的夹角为定值π3；
③三棱锥B1−AED体积最大值为2 33；④点F的轨迹的长度为π2．
A. ①②B. ①③C. ①②④D. ②③④
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知i为虚数单位，z为复数，以下四种说法正确的是( )
A. zz=z2
B. 3+i>1+i
C. 若z=1+2i2，则复平面内z所对应的点位于第三象限
D. 已知k∈R，若关于x的方程x2+k+2ix+2+ki=0有实数根，则实数根必为x= 2
10.已知平面向量a=(2,−3)，b=(2,1)，则( )
A. (a−2b)⊥b
B. a与b可作为一组基底向量
C. a与b夹角的余弦值为 6565
D. a在b方向上的投影向量的坐标为(23,13)
11.如图，在四面体ABCD中，点P,Q,M,N分别是棱AB,BC,CD,AD的中点，截面PQMN是正方形，则下列结论正确的为( )
A. AC//截面PQMNB. 异面直线PM与BD所成的角为60°
C. AC⊥BDD. BD⊥平面ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知m∈R，复数z=1+4mim+i在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是 ．
13.如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且AOA′O=BOB′O=COC′O=12，则VO − ABCVO − A ′ B ′ C ′= ．
14.已知{a,b}是平面内一组基底，|2a+b|=1，|a−b|= 3，则a+b与2a+b所成角的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(14分)
已知复数z1=1+2i
(1)若复数z1是方程z2+a⋅z+b=0的一个复数根，求实数a，b的值;
(2)若复数z2满足z1z2=1−1z1，求|z2|.
16.(14分)
已知各棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥S−ABCD，
(1)求它的表面积；
(2)求它的体积．
17.(15分)
已知a=m,3，b=1,m+2．
(1)若a//b，求m的值；
(2)若a⋅b=2，求a与b夹角的余弦值．
18.(17分)
已知向量a=(cs2x,2csx)，b=(2 3,sinx)，函数f(x)=a·b．
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再向右平移π12个单位得到g(x)的图象，求g(x)在[−π12,π6]上的值域．
19.(17分)
如图，在四棱锥P—ABCD，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3，
(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH/​/平面PAD；
(2)求证：PA⊥平面PCD；
(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．
答案和解析
1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.C
9.AC 10.BC 11.AC
12.(0,12)
13.18
14.π3
15.解：(1)因为z1=1+2i，
则z12=(1+2i)2=−3+4i，
则z12+a⋅z1+b=a+b−3+(2a+4)i=0，
所以a+b−3=02a+4=0，
所以a=−2，b=5．
(2)因为z1z2=1−1z1，
则z2=z11−1z1=z12z1−1=−3+4i2i=2+32i，
则|z2|= 22+(32)2=52．
16.解：(1)∵四棱锥S−ABCD的各棱长均为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形，设E为AB的中点，则SE⊥AB，SE=5 32，
∴S侧=4S△SAB=4×12×5×5 32=25 3，S底=52=25，
它的表面积S=S底+S侧=25 3+25 3 ；
(2)连接AC，BD，交于点O，连接SO，EO，则SO为棱锥的高，
则OE=52，则SO=5 22，故棱锥的体积V=13×25×5 22=125 26．
17.解：(1)因为a//b，所以m(m+2)−3=0，
解得：m=−3或m=1．
(2)因为a=(m,3),b=(1,m+2),a⋅b=2，
所以m+3(m+2)=2，解得：m=−1，
所以a=(−1,3),b=(1,1)，
cs ⟨a,b⟩=a⋅b|a||b|=2 (−1)2+32⋅ 12+12= 55，
所以a与b夹角的余弦值为 55．

18.解：(1)因为向量a=(cs2x,2csx)，b=(2 3,sinx)，
函数f(x)=a⋅b=2 3cs2x+2sinxcsx= 3cs2x+sin2x+ 3
令π2+2kπ⩽2x+π3⩽3π2+2kπ,(k∈Z)，
解得：π12+kπ⩽x⩽7π12+kπ,(k∈Z)，
即fx的单调递减区间为[π12+kπ,7π12+kπ],(k∈Z);
(2)根据三角函数图象的伸缩变换和平移变换规律求得：g(x)=2sin 4x+ 3，
因为x∈[−π12,π6]，所以4x∈[−π3,2π3]，
sin4x∈[− 32,1]，
则g(x)=2sin 4x+ 3∈0,2+ 3，
即g(x)=2sin 4x+ 3在−π12,π6上的值域为0,2+ 3．

19.证明：(1)如图：
证明：连接BD，由题意得AC∩BD=H，BH=DH，
又由BG=PG，得GH/​/PD，
∵GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴GH/​/平面PAD；
(2)证明：取棱PC中点N，连接DN，
依题意得DN⊥PC，
又∵平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD=PC，DN⊂平面PCD，
∴DN⊥平面PAC，
又PA⊂平面PAC，∴DN⊥PA，
又PA⊥CD，CD∩DN=D，
CD⊂平面PCD，DN⊂平面PCD，
∴PA⊥平面PCD；
(3)解：连接AN，由(2)中DN⊥平面PAC，
知∠DAN是直线AD与平面PAC所成角，
∵△PCD是等边三角形，CD=2，且N为PC中点，
∴DN= 3，
又DN⊥平面PAC，AN⊂平面PAC，
DN⊥AN，
在Rt△AND中，sin∠DAN=DNDA= 33．
∴直线AD与平面PAC所成角的正弦值为 33．