2024-2025学年河北省沧州市盐山县盐山中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省沧州市盐山县盐山中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若zz−1=1+i，则z=( )
A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i
2.已知向量a和b满足a= 3，b=1，a+b= 7，则向量b在向量a上的投影向量为( )
A. −23aB. 12aC. 23aD. −12a
3.若棱长为2 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. 12πB. 24πC. 36πD. 144π
4.在▵ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边，若a= 2，b= 6，A=30∘，则边c=( )
A. 2B. 2 2或 6C. 2或2 2D. 2 2
5.如图，在四面体P−ABC中，PA⊥平面ABC,AC⊥CB,PA=AC=2BC=2，则此四面体的外接球表面积为( )
A. 3πB. 9πC. 36πD. 48π
6.已知平面α，直线l,m,且l⊂α,m⊂α，则“m//l”是“m//α”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线AB1与直线BC1夹角的余弦值是( )
A. 12B. 32C. ± 32D. ±12
8.如图，已知菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120°，E为边BC的中点，将▵ABE沿AE翻折成▵AB1E(点B1位于平面ABCD上方)，连接B1C和B1D，F为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是( )
①平面AB1E⊥平面B1EC；②AB1与CF的夹角为定值π3；
③三棱锥B1−AED体积最大值为2 33；④点F的轨迹的长度为π2．
A. ①②B. ①③C. ①②④D. ②③④
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知i为虚数单位，z为复数，以下四种说法正确的是( )
A. zz=|z|2
B. 3+i>1+i
C. 若z=1+2i2，则复平面内z所对应的点位于第三象限
D. 已知k∈R，若关于x的方程x2+k+2ix+2+ki=0有实数根，则实数根必为x= 2
10.已知平面向量a=(2,−3)，b=(2,1)，则( )
A. a−2b⊥b
B. a与b可作为一组基底向量
C. a与b夹角的余弦值为 6565
D. a在b方向上的投影向量的坐标为23,13
11.如图，在四面体ABCD中，点P,Q,M,N分别是棱AB,BC,CD,AD的中点，截面PQMN是正方形，则下列结论正确的为( )
A. AC//截面PQMNB. 异面直线PM与BD所成的角为60°
C. AC⊥BD D. BD⊥平面ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知m∈R，复数z=1+4mim+i在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是 ．
13.如图所示，▵ABC和▵A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且AOA′O=BOB′O=COC′O=12，则VO−ABCVO−A′B′C′= ．
14.已知a,b是平面内一组基底，2a+b=1，a−b= 3，则a+b与2a+b所成角的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=1+2i
(1)若复数z1是方程z2+a⋅z+b=0的一个复数根，求实数a，b的值；
(2)若复数z2满足z1z2=1−1z1，求z2．
16.(本小题15分)
已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥S−ABCD．
(1)求它的表面积；
(2)求它的体积．
17.(本小题15分)
已知a=(m,3)，b=(1,m+2)．
(1)若a//b，求m的值；
(2)若a⋅b=2，求a与b夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知向量a=cs2x,2csx，b=2 3,sinx，函数f(x)=a⋅b．
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再向右平移π12个单位得到g(x)的图象，求g(x)在−π12,π6上的值域．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，▵PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3，
(Ⅰ)设G , H分别为PB , AC的中点，求证：平面PAD；
(Ⅱ)求证：PA⊥平面PCD；
(Ⅲ)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.C
5.B
6.A
7.A
8.C
9.AC
10.BC
11.AC
12.0,12
13.18
14.π3/60°
15.【详解】(1)z12=1+2i2=−3+4i
z12+a⋅z1+b=a+b−3+(2a+4)i=0
a+b−3=02a+4=0，所以a=−2，b=5
(2)由z1z2=1−1z1可得z2=z11−1z1=z12z1−1=−3+4i2i=2+32i
故z2= 22+322=52

16.【详解】(1)∵四棱锥S−ABCD的各棱长均为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形，
∴它的表面积为4×12⋅SA⋅SB⋅sin∠ASB+AB2=4×12×52× 32+52=25+25 3；
(2)连接AC、BD，AC∩BD=O，连接SO，则SO为棱锥的高，
则SO= SB2−OB2= 52−5 222=5 22，
故棱锥的体积V=13×52×5 22=125 26．

17.【详解】(1)因为a//b，所以m(m+2)−3=0，
解得：m=−3或m=1．
(2)因为a=(m,3),b=(1,m+2),a⋅b=2，
所以m+3(m+2)=2，解得：m=−1，
所以a=(−1,3),b=(1,1)，
csa,b=a⋅b|a||b|=2 (−1)2+32⋅ 12+12= 55，
所以a与b夹角的余弦值为 55．

18.【详解】(1)因为向量a=cs2x,2csx，b=2 3,sinx，函数f(x)=a⋅b，
所以f(x)=2 3cs2x+2sinxcsx= 3cs2x+sin2x+ 3
=2sin2x+π3+ 3，
令π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ，k∈Z，
解得x∈π12+kπ,7π12+kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递减区间为π12+kπ,7π12+kπ，k∈Z．
(2)由(1)知f(x)=2sin2x+π3+ 3，
函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再向右平移π12个单位，
则g(x)=2sin4x+ 3，
∴当x∈−π12,π6时，4x∈−π3,2π3，∴sin4x∈− 32,1，
则g(x)=2sin4x+ 3∈0,2+ 3．
所以g(x)在−π12,π6的值域为0,2+ 3．

19.【详解】(I)证明：连接BD，易知AC∩BD=H，BH=DH，
又由BG=PG，故，
又因为GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
所以平面PAD．
(II)证明：取棱PC的中点N，连接DN，
依题意，得DN⊥PC，
又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD=PC，
所以DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，故DN⊥PA，
又已知PA⊥CD，CD∩DN=D，
所以PA⊥平面PCD．
(III)解：连接AN，
由(II)中DN⊥平面PAC，
可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角．
因为ΔPCD为等边三角形，CD=2且N为PC的中点，
所以DN= 3，又DN⊥AN，
在RtΔAND中，sin∠DAN=DNAD= 33，
所以，直线AD与平面PAC所成角的正弦值为 33．
【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力．