河北省盐山中学2025届高三下学期一模数学试题

这是一份河北省盐山中学2025届高三下学期一模数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则
A．B．C．D．
2．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．6B．8C．D．
3．复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
4．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(2,5) C．eq \f(2,3) D．eq \f(4,5)
5．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A．B．C．D．
6．在中，角所对的边分别为，表示的面积，若 ，则
A．90B．60C．45D．30
7．如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为，若，则甲，乙两人相距（ ）
A．B．C．D．
8．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知直线，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线的倾斜角为B．当时，
C．若，则D．直线始终过定点
10．已知圆，点是圆上的点，直线，则（ ）
A．直线与圆相交弦长
B．圆上恰有个点到直线的距离等于
C．的最大值是
D．过点向圆引切线，为切点，则最小值为
11．在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列四个命题，正确的是（ ）
A．对任意三点，都有
B．已知点和直线，则
C．到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形
D．定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点
三、填空题（本大题共3小题）
12．若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ．
13．若，使不等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是 .
14．已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，，，则 ；设是函数的零点，，则数列的前项和 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数，点，是图象上的两点.
(1)求，的值；
(2)求函数在上的最大值和最小值.
16．已知角的终边为射线.
(1)求，，的值；
(2)求的值.
17．如图，长方体中，，点P为的中点.
(1)求证: 直线平面;
(2)求异面直线、所成角的大小.
18．已知抛物线x2=2py（p>0）上一点R(m，2)到它的准线的距离为3.若点A，B，C分别在抛物线上，且点A、C在y轴右侧，点B在y轴左侧，△ABC的重心G在y轴上，直线AB交y轴于点M且满足3|AM|0）上一点R(m，2)到它的准线的距离为3构建方程，求得p，则可得准线方程；
（2）设点，，由面积公式可知由点G为的重心，且在y轴上，可以表示，由相似三角形可知，即可表示，令，整理得，由，得将视为二次函数求得值域，进而求得的范围，取倒即可得答案.
【详解】（1）有题意知，，，所以准线方程：
（2）设点，
点G为的重心，且在y轴上，
所以，且，则，且由相似三角形可知
所以
令，
因为，所以，故，则
故
19．【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）（ⅰ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，（ⅱ） ，，则题设不等式可转化为，结合零点满足的方程进一步转化为，利用导数可证该不等式成立.
【详解】（1），
当，；当，，
故的单调递减区间为，的单调递增区间为.
（2）（ⅰ）因为过有三条不同的切线，设切点为，
故，
故方程有3个不同的根，
该方程可整理为，
设，
则
，
当或时，；当时，，
故在上为单调递减函数，在上为单调递增函数，
因为有3个不同的零点，故且，
故且，
整理得到：且，
此时，
设，则，
故为上的单调递减函数，故，
故.
（ⅱ）当时，同（ⅰ）中讨论可得：
故在上为单调递减函数，在上为单调递增函数，
不妨设，则，
因为有3个不同的零点，故且，
故且，
整理得到：，
因为，故，
又，
设，，则方程即为：
即为，
记
则为有三个不同的根，
设，，
要证，即证，
即证，
即证，
即证，
而且，
故，
故，
故即证，
即证：
即证，
记，则，
设，则，所以，
，
故在上为单调递增函数，故，
所以，
记，
则，
所以在为单调递增函数，故，
故即，
故原不等式得证.
【关键点拨】导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等.