河北省盐山中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

河北省盐山中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知复数，则在复平面内对应的点的坐标为(   )

A. B. C. D.

2、在中，，，则外接圆的半径为(   )

A. B.1 C.2 D.3

3、已知向量，满足，，则(   )

A.4 B.3 C.2 D.1

4、将图1中的等腰直角沿斜边BC的中线AD折起得到四面体ABCD，如图2，则在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是(   )

 图1 图2

A.相交且垂直  B.相交但不垂直

C.异面且垂直  D.异面但不垂直

5、设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是(   )

A.若，，，则

B.若，，，则

C.若，，，则

D.若，，，则

6、已知向量，，，若向量，，共面，则实数等于(   )

A.10 B.8 C.5 D.3

7、已知的三边长分别为a，，，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值为(   )

A. B. C. D.

8、在三棱锥中，平面平面ABC，，，，则三棱锥的外接球的表面积为(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、若复数z为纯虚数，则(   )

A.为实数 B.为实数 C.为实数 D.为实数

10、已知四边形ABCD是平行四边形，，，，则(   )

A.点D的坐标是 B.

C.  D.四边形ABCD的面积是

11、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，若，且满足，则下列说法正确的是(   )

A. B. C. D.

12、如图所示，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E，F为线段P上的点（不包括端点），则(   )

A.  B.平面AEC

C.二面角的大小为定值 D.的最小值为

三、填空题

13、已知平面的法向量，为上一点，则点到的距离为________.

14、某圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，则该圆柱一个底面的面积为________.

15、如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且.若山高，汽车从C点到B点历时25s，则这辆汽车的速度为______m/s.

16、在中，G满足，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点.若，，则的最小值为________.

四、解答题

17、已知向量，.

（1）求向量与夹角的余弦值；

（2）若向量与互相垂直，求k的值.

18、已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.

（1）求A；

（2）若，且的面积为，求b，c.

19、已知正四面体OABC的棱长为2，点G是的重心，点M是线段AG的中点.

（1）用，，表示，并求出；

（2）求.

20、如图，在四棱柱中，底面ABCD是矩形，平面平面ABCD，点E是AD的中点，.

（1）求证：平面平面ABCD；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

21、如图，在平面四边形ABCD中，，，设.

（1）若，，求BD的长度；

（2）若，求.

22、如图，平面平面ABCD，四边形ABCD和四边形ABFE均为正方形，，.

（1）求证：平面平面CGF；

（2）求多面体ABCDEFG的体积.

参考答案

1、答案：D

解析：，即z在复平面内对应的点的坐标为.故选D.

2、答案：B

解析：设R为外接圆的半径，故，解得.故选B.

3、答案：D

解析：因为.故选D.

4、答案：C

解析：由异面直线的定义可知，AD与BC异面，由，，可知平面，故.故选C.

5、答案：C

解析：A.若，，，则显然，A正确；B.若，，则，又，则平面内存在直线，所以，所以，B正确；C.若，，，则，可能相交，可能平行，C错误；D.若，，，则易得，D正确.故选C.

6、答案：A

解析：因为，，三向量共面，所以存在x，，使得，又，所以，解得故选A.

7、答案：B

解析：设的最小内角为，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，解得，.故选B.

8、答案：C

解析：

如图，取AB的中点E，BC的中点D，连接PE，是等边三角形，则.因为平面平面ABC，平面平面，平面PAB，所以平面ABC，又平面ABC，所以.过D作平面ABC，则，因为，所以三棱锥的外接球的球心在DO上，设球心为O，连接OB，OP，设外接球半径为R，由已知，，，.在直角梯形PEDO中，，，，所以三棱锥外接球的表面积.故选C.

9、答案：ACD

解析：因为z为纯虚数，设，，则，A正确；，B错误；为实数，C正确；为实数，D正确.故选ACD.

10、答案：BD

解析：不妨设点D坐标为，因为四边形ABCD是平行四边形，所以，即，所以，，，所以点D坐标为，故A错误；，故B正确；，，所以，故C错误；因为，所以四边形ABCD的面积，故D正确.故选BD.

11、答案：ABD

解析：，，，，A正确；由题意及正弦定理得，即，又，，又，，C错误，D正确，又，则，B正确.故选ABD.

12、答案：CD

解析：对于A，平面ABCD，平面ABCD，，假如，又，平面PAD，又平面PAD，，而四边形ABCD为正方形，与矛盾，故不正确，故A不正确；对于B，设，连接OE，若平面AEC，又平面平面，则，在中，因为O为BD的中点，则E必为PD的中点，这与E为线段PD上的动点矛盾，故B不正确；

对于C，E为线段PD上的动点，二面角的大小即为二面角的大小，故二面角的大小为定值，故C正确；对于D，如图，将侧面和展开在一个平面内，连接AC，当E处在AC与PD的交点处时，取得最小值，此时，在中，由余弦定理，得，故的最小值为，故D正确.故选CD.

13、答案：

解析：由题意知，所以点P到的距离.

14、答案：

解析：因为圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，所以该圆柱的底面圆的周长为其侧面展开图正方形的边长，该圆柱底面圆半径为，故该圆柱一个底面的面积.

15、答案：

解析：由题意可知，，，由余弦定理可得，这辆汽车的速度为，

故答案为：.

16、答案：

解析：设，，因为，所以G为的重心，所以.因为，，所以，，又M，G，N三点共线，所以存在实数，使得，所以，所以，，，所以，当且仅当，即，时等号成立.所以的最小值为.

17、答案：（1）

（2）

解析：（1）由，，

，，设向量与的夹角为，则

（2）若向量与互相垂直，则，所以.

18、答案：（1）

（2），

解析：（1）在中，由正弦定理及得，，又，代入上式，得，，，，，.

（2）由（1）知，又，由余弦定理得，即，①又的面积为，有，即，，②解由①②组成的方程组得，.

19、答案：（1）

（2）

解析：（1）因为点M是线段AG的中点，所以，因为，所以，所以.

（2）.

20、答案：（1）证明见解析

（2）

解析：（1）证明：因为，点E是AD的中点，所以，又平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，又平面，所以平面平面ABCD.

（2）取BC的中点F，连结EF，则四边形CDEF为正方形，所以，以为坐标原点，EF，ED，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，所以，，，设平面的法向量，则有，即

令，则，，所以平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为

21、答案：（1）

（2）

解析：（1）由，，，，可知，在中，，，，由余弦定理可知，，则.

（2），，由题意易知，，，在中，由正弦定理可知，，，即有，，.

22、答案：（1）证明见解析

（2）

解析：（1）证明：，B，C，G，F四点共面，四边形ABCD为正方形，.又平面CGF，平面CGF，平面CGF，同理可证平面CGF，又，AD，平面ADE，

平面平面CGF.

（2）

连接CF，则多面体ABCDEFG可看成是由三棱柱和四棱锥组合而成，四边形ABFE为正方形，，又平面平面ABCD，平面平面，平面，平面ABCD，又平面ABCD，，又易证平面ADE，三棱柱的体积，四棱锥的体积

.多面体ABCDEFG的体积.