吉林省四平市2026年九年级第二次模拟考试数学试题（含解析）中考模拟

这是一份吉林省四平市2026年九年级第二次模拟考试数学试题（含解析）中考模拟，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各数中，是无理数的为（ ）
A. B. C. 3.3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数和有理数的定义判断选项即可，无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．
【详解】解：A选项是整数，属于有理数；
B选项是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数；
C选项3.3是有限小数，可化为分数，属于有理数；
D选项是分数，属于有理数．
所以无理数的是B．
2. 如图所示的几何体的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：如图所示的几何体的俯视图为．
3. 一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式解集在数轴上的表示可得答案，
本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【详解】解：由数轴知，该不等式组的解集为：，
故选：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次根式的乘除运算法则和同类二次根式的合并方法，逐一计算即可判断正确选项．
【详解】解：对选项A，∵===≠，∴A错误；
对选项B，∵==≠，∴B错误；
对选项C，∵===，∴C正确；
对选项D，∵==≠，∴D错误．
5. 唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
6. 如图，点A、B、C、D在上，且，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查圆心角的性质，熟练掌握同弧所对的圆心角相等是解题的关键，连接，根据题意可得到，再根据，可得到，利用三角形内角和计算即可得到答案．
【详解】解：连接，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
7. 分解因式：_______．
【答案】
【解析】
【详解】解： ．
8. 用四舍五入法将精确到百分位，所得到的结果为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了用四舍五入法求近似数，精确到百分位需保留两位小数，看千分位数字进行四舍五入．
【详解】解：数字的百分位数字是，千分位数字是，千分位数字，
向百分位进一，百分位变为，
．
故答案为：．
9. 如图，和是位似图形，点是位似中心，且．若点的坐标为，则点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据题意求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：和是位似图形，点是位似中心，且，
，且相似比为，
点的坐标为，
点的坐标为，即，
故答案为：．
10. 如图，在中，,, ，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点,，过点,作直线，交于点，连接，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了基本作图，勾股定理，三角形中线性质，在中，根据勾股定理求出直角边，由此得出，由作图知，是线段的垂直平分线，得出，根据三角形中线平分三角形面积即可得出结论．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
由作图知，是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
故答案为：．
11. 如图是一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形花园，这个花园的直径是4，在这个花园内以为圆心，为半径画弧交半圆于点，沿着弧围篱笆再围成一个小型花园，一共需要篱笆_____．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查弧长公式，找准圆心角和半径是解题关键．
先在扇形中，计算，再在半圆中，计算，最后计算总共需要的篱笆长．
【详解】解：由题意得，直径，
半径，
以为圆心，为半径画弧交半圆于点，
，
是等边三角形，，
在扇形中，，
在半圆中，，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共11小题，共87分）
12. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，-4
【解析】
【分析】首先利用完全平方公式和平方差公式对括号内的式子进行化简，然后进行整式的除法计算即可化简，然后代入求值．
【详解】解：，
，
，
，
当，时，原式．
本题主要考查了公式法化简求值，完全平方公式和平方差公式的利用，熟记公式并能灵活运用是解题的关键．
13. 据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2026年1月19日9时，神舟二十号飞船返回舱在东风着陆场成功着陆．下面是四张印有中国航天飞行任务标识图案的卡片A，B，C，D，四张卡片除正面图案外其他均相同．将这四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上．从这四张卡片中随机同时抽取两张卡片，用列表或画树状图的方法求出抽到的卡片正面图案恰好是“神舟19”和“神舟21”飞行任务标识的概率．
【答案】抽到的卡片正面图案恰好是“神舟19”和“神舟21”飞行任务标识的概率为．
【解析】
【分析】需要通过列表法或树状图法列出所有不放回抽取两张卡片的等可能结果，注意抽取两张不考虑顺序，避免重复计数，再根据概率公式求出符合条件的事件概率．
【详解】解：画树状图如下：
由图可知共有12种等可能的结果，符合条件的是AC或者CA，共2种，
∴抽到的卡片正面图案恰好是“神舟19”和“神舟21”飞行任务标识的概率为 ．
14. 某公司计划购买甲、乙两种机器人进行销售．已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花1200万元购进甲种机器人的数量是花650万元购进乙种机器人数量的2倍．求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元．
【答案】
购买一个甲种机器人需60万元，购买一个乙种机器人需65万元.
【解析】
【分析】设出甲、乙两种机器人的单价，根据“花1200万元购进甲种机器人的数量是花650万元购进乙种机器人数量的2倍”建立等量关系，列出分式方程，求解检验后，即可得到结果．
【详解】解：设购买一个甲种机器人需要万元，则购买一个乙种机器人需要万元，
根据题意列方程得


，
经检验，使得，
是原分式方程的解，且符合题意，
则，
答：购买一个甲种机器人需60万元，购买一个乙种机器人需65万元．
15. 已知：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，若，，．求证：．
【答案】证明过程见详解；
【解析】
【分析】本题考查三角形全等的判定定理，解题思路是通过线段和差推导得，再结合已知两角，利用证明全等；解题关键是由推出，易错点是忽略线段和差的推导直接默认边相等．
【详解】证明：∵
∴即
在和中
（已知）
（已知）
（已证）
∴（）．
16. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均在格点上，请用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图①中找一个格点D，使得为等腰三角形（画出一个即可）；
（2）在图②中作出的角平分线；
（3）在图③中的线段上确定一点M，使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）作一个腰为5的等腰三角形即可；
（2）取格点，连接，取的中点，作射线即可；
（3）取格点，，连接交于点，点即为所求．
【小问1详解】
解：如图，，，
则为等腰三角形；
【小问2详解】
解：如图，取的中点，射线即为所求；
【小问3详解】
解：如图，点即为所求．
17. 【项目背景】为提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力，某校在开设心理健康课前后，对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了50名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果．
【数据收集与整理】收集这50名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分100分，用x表示学生的分数）进行分组，分组如下：
整理1：学生在心理健康课后的测试成绩在D组的记录如下：，，，，，，，，，，，，，，，．
整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①所示的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②所示的扇形统计图．
整理3：这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于80分为优良）为．
【数据处理和应用】
（1）任务1：心理健康课前测试成绩在C组的有 人，并补全频数分布直方图；
（2）任务2：心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数是 分，B组对应扇形的圆心角是 ；
（3）任务3：若心理健康课后测试成绩不低于80分为优秀，试估计该校2000名学生在心理健康课后测试成绩为优秀的人数．
【答案】（1），统计图见解析
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）根据这名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为．得出D、E组有人，进而求得D组的人数，根据频数直方图求得C组的人数，进而补全统计图；
（2）根据中位数的定义，即可求解；用B组占比乘以，进而求得B组对应圆心角的度数；
（3）根据样本估计总体即可求解．
【小问1详解】
解：根据这名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为．
∴人
∴组的人数为人
则组的人数为：人
补全频数分布直方图如图，
【小问2详解】
根据图②可得E组占比为，共有人，
根据整理1：学生在心理健康课后的测试成绩在D组的记录如下：，，，，，，，，，，，，，，，．
∴D组的人数为人
∴从大到小排列，第，个数据分别为，，
∴心理健康课后这名同学测试成绩的中位数是.
B组对应扇形的圆心角是
【小问3详解】
解：学生在心理健康课后的测试成绩在D组为16人，E组占比即人，
课后优良人数（人）
答：估计该校2000名学生在心理健康课后测试成绩为优秀有人．
18. 某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，如表是此活动的设计方案．
请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题：
（1）该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是 ；
A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短
（2）在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图②所示的形变．若其他因素忽略不计，测得，，，请计算此时水桶下降的高度（参考数据：，，）．
【答案】（1）A （2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）设，由题意得，，则有，然后根据三角函数可进行求解．
【小问1详解】
解：选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性；
【小问2详解】
解：设，由题意得：，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
答：此时水桶下降的高度为．
19. 如图，在△ABC中，AB=AC=4cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，点E从B点出发，沿着射线BC运动，速度为4cm/s，点F从C同时出发，沿CA、AB向终点B运动，速度为cm/s，设它们运动的时间为t（s），当F点到达B点时，E点也停止运动，设运动时间为t．
（1）求t为何值时，△EFC和△ACD相似；
（2）设△EFC的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为1：3，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）t=或时，△EFC和△ACD相似；（2）S=；（3）t=时，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为1：3，见解析.
【解析】
【分析】（1）△EFC要与△ACD相似，则∠C为公共角，即点F在AC上，t＜4，E在线段BC上．用t表示CE、CF，根据相似三角形对应边成比例列方程即求出t．
（2）以CE为底求△EFC的面积，故过F高FG．以t=4为界点分类讨论E、F的位置，利用相似三角形的性质用t表示FG，即能得到用t表示的△EFC面积．
（3）要使△EFD被AD所截，E不能在CD上，分E在BD上和E在C的右侧两种情况．△EFD以ED为底时，被AD分得的两三角形面积比等于高的比．用t表示各边长，再利用相似三角形对比边长比例列方程，即求出t的值．
【详解】解：（1）∵AB=AC=4cm，BC=16cm，AD⊥BC于D
∴BD=CD=BC=8cm
∴AD=（cm）
由题意得：BE=4t，
当0≤t≤4时，E在线段BC上，CE=16-4t，F在AC上，CF=t
当4＜t≤8时，E在线段BC外，CE=4t-16，F在AB上，BF=8-t
①若△ECF∽△ACD，如图1，则
∴
解得：t=
②若△FCE∽△ACD，如图2，则
∴
解得：t=
综上所述，t=或时，△EFC和△ACD相似．
（2）过F作FG⊥BC于G
如图3，当0≤t≤4时，△FCG∽△ACD
∴
∴FG=
∴S=
如图4，当4＜t≤8时，△BFG∽△BAD
∴
∴FG=
∴S=
∴S=
（3）过F作FG⊥BC于G，设EF与AD交点为H
①如图5，当E在BD上，F在AC上时，0＜t＜2
由△FGC∽△ADC得：
∴FG=t，CG=2t
∵BE=4t
∴DE=8-4t，EG=16-4t-2t=16-6t
∵HD∥FG
∴△EHD∽△EFG
∴
i）若S△EHD：S△HDF=1：3，则S△EHD：S△EFD=1：4
∴=
∴
解得：t=
ii）若S△EHD：S△HDF=3：1，则S△EHD：S△EFD=3：4
∴=
∴
解得：t=8（不符题意，舍去）
②如图6，当E在BD外，F在BC上时，4＜t＜8
由△BFG∽△BAD得：
∴FG=8-t，BG=2（8-t）
∵BE=4t
∴DE=BE-BD=4t-8，EG=BE-BG=4t-2（8-t）=6t-16
∵HD∥FG
∴△EHD∽△EFG
∴
i）若S△EHD：S△HDF=1：3，则S△EHD：S△EFD=1：4
∴=
∴
解得：t=（不符题意，舍去）
ii）若S△EHD：S△HDF=3：1，则S△EHD：S△EFD=3：4
∴=
∴
解得：t=8（不符题意，舍去）
综上所述，t=时，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为1：3．
本题考查了相似三角形的判定和性质，分类讨论思想．利用相似三角形对应边成比例用一个未知数表示各边长，再计算或列方程求值，是有关相似动点题的常规做法．
20. 秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤组的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤组的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤），则是的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．
（1）在上表、的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断错误的一对是___________；（用坐标表示）．
（2）求与之间的函数关系式．
（3）求当秤钩所挂物重为4.50斤时，秤杆上秤砣到秤组的水平距离是多少厘米．
【答案】（1），见解析
（2） （3）16厘米
【解析】
【分析】此题考查画一次函数的图象的方法，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的实际应用，正确计算是解此题的关键．
（1）利用描点法画出图形即可判断；
（2）设函数关系式为y＝kx+b，利用待定系数法解决问题即可；
（3）根据（2）中求得的函数解析式，当时，可求得秤杆上秤砣到秤组的水平距离．
【小问1详解】
解：观察图象可知：，这组数据错误．
故答案为：；
【小问2详解】
由（1）的图象可知，与的关系满足一次函数，
设与的函数解析式为，把，，，代入可得：
，解得，
与之间的函数关系式是；
【小问3详解】
当时，，
解得，
当秤钩所挂物重为4.50斤时，秤杆上秤砣到秤组的水平距离是16厘米．
21. 在四边形中，点，分别是线段，上的点，且，连接、，将线段绕点旋转得到，连接．
（1）如图①，若四边形是正方形，，猜想与的数量关系是 ， ；
（2）如图②，若四边形是菱形，且，猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
（3）如图③，在（2）的条件下，若，，连接交于点H，直接写出的值．
【答案】（1）；
（2），，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）证明，，即可得，，即可求解；
（2）证明，，可得，，从而得到，过点作于点，则，根据直角三角形的性质可得，再结合勾股定理可得，即可；
（3）过点作交于点，由（2）得，，再证明即可解答．
【小问1详解】
解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
由勾股定理得：，，
，，
，；
【小问2详解】
解:，；理由如下：
四边形是菱形，，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
如图，过点作于点，则，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
；
【小问3详解】
解：如图，过点作交于点，
四边形是菱形，
，，
，
由（2）得：，，
四边形是菱形，，
，，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
．
22. 如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）设点是直线上方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，与直线交于点．
①连接，求四边形的面积与的函数关系式，并求出的最大值；
②连接．在①的条件下，试判断四边形的形状，并说明理由；
③是否存在点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①，的最大值为12；②平行四边形，理由见解析；③存在，满足条件的的值为或或
【解析】
【分析】此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，主要考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形相似，平行四边形的性质等，分类求解是解决问题．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）①由，即可求解；
②由，即可求解；
③分、、三种情况分别求解即可．
【小问1详解】
解：将代入，
得
解得，
该抛物线的表达式为．
【小问2详解】
①，
直线的解析式为．
设点的坐标为，故点的坐标为，其中，
则．
四边形的面积与的函数关系式为
．
，，
当时，有最大值，的最大值为12．
②四边形是平行四边形．理由如下：
由①可得，当时，．
，
四边形是平行四边形．
③存在，理由如下：
如图，
点的坐标为，点的坐标为，其中，
点的坐标为，
．
，．
，，即，
．
分三种情况讨论：
I．当时，则，解得（舍去）．
Ⅱ．当时，如图，过点作于点，则．
，
解得（舍去）．
Ⅲ．当时，如图，过点作于点，
则．
，
，
，
，
即，
，
解得（舍去），
综上所述，满足条件的的值为或或．
组别
A
B
C
D
E
x
项目主题
桥梁模型的承重试验
活动目标
经历项目化学习的过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为数学问题
驱动问题
当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度
方案设计
工具
桥梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、绳子、挂钩等
示意图
状态一（空水桶）
状态二（水桶内加一定量的水）
说明：C为的中点，
（厘米）
1
2
4
7
11
12
（斤）
0.75
1.00
2.00
2.25
3.25
3.50