安徽淮南市寿县2026年初中学业水平模拟考试数学试卷（含解析）

这是一份安徽淮南市寿县2026年初中学业水平模拟考试数学试卷（含解析），共6页。
2．请按要求在答题卡上作答，在试卷和草稿纸上作答无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 的绝对值是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂乘法、积的乘方运算法则逐一判断选项即可．
【详解】解：A：与不是同类项，不能合并，选项计算错误；
B：，选项计算错误；
C：，选项计算错误；
D：，选项计算正确．
3. 据国家统计局初步核算，年中国国内生产总值达到亿元，其中亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义，确定出和即可求解．
【详解】解：∵亿，
将原数转化为科学记数法时，要满足，取，小数点向左移动了14位，
∴亿．
4. 我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了主视图的识别，熟练掌握主视图的定义（从正面观察几何体所得到的视图）是解题的关键．根据主视图的定义（从正面观察几何体得到的视图），分析图中模型的正面形状，判断各部分的投影．
【详解】解：该几何体的主视图是．
故选：B．
5. 一个直角三角板如图摆放，其中，，与交于点E，与交于点D，若，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用直角三角形的性质得出，根据外角求出，最后利用平行线的性质进行求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
6. 关于的一元二次方程有两实数根，其中一根为，则这两根之积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，先将已知根代入方程求出参数的值，再由根与系数的关系计算两根之积即可得到答案．
【详解】解：∵是一元二次方程的根，
∴将代入方程得，
解得，
关于的一元二次方程为，
∴两根之积为．
7. 为了解某校学生青年大学习的情况，现安排一次竞赛活动，其中九年级共名学生参加，最终成绩分别为，关于这组数据不正确的是( )
A. 平均数是B. 众数是C. 中位数是D. 方差是
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的概念即可求解．
【详解】解：选项，平均数为，故选项正确，不符合题意；
选项，出现了次，众数是，故选项正确，不符合题意；
选项，数据排序为，中位数是，故选项正确，不符合题意；
选项，平均数为，且，，，
∴方差为，故选项错误，符合题意；
故选：．
本题主要考查平均数，众数，中位数，方差的知识，掌握其概念和计算方法是解题的关键．
8. 如图，是的内切圆，线段与相切，与、分别交于点D、点E，且，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设与，，，分别相切于点G，H，D，F，证明四边形，是正方形，设的半径是r，，，推出，，证明出，得到，然后利用勾股定理表示出，根据锐角三角函数值求出即可．
【详解】解：如图，设与，，，分别相切于点G，H，D，F
∴，，，，，
∴四边形，是正方形
设的半径是r，，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴
又∵
∴
∴，即
∴
∴
∴
∴
∴
在中，由勾股定理得：，
∴3r−x2=2r2+x+r2
解得：，
∴
∴．
9. 已知二次函数的图象过，，，四个点中的三个点，则符合要求的所有函数表达式中的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，结合题中四个点的位置，结合待定系数法进行判断即可．
【详解】解：∵点A，B，D的纵坐标相同，
∴经过A，B，D三点不能画出二次函数的图象，
∴经过A、B、C或A、C、D或B、C、D都可以画出二次函数的图象，
当经过，，时，
16a+4b+c=−236a+6b+c=0c=−2，解得：a=16b=−23c=−2，
此时；
当经过，，时，
64a+8b+c=−236a+6b+c=0c=−2，解得：a=−16b=43c=−2，
此时；
当经过，，时，
64a+8b+c=−236a+6b+c=016a+4b+c=−2，解得：a=−12b=6c=−18，
此时；
∵−56>−52>−252，
∴符合要求的所有函数表达式中的最小值是．
10. 已知点C是半圆的动点，为直径，且，求的最大值（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，利用勾股定理表示出，然后表示出，整理后利用判别式求解即可．
【详解】解：设，
∵为直径，
∴
∴
∴
∴
∴设
∴
∴
∴
∴
∴
整理得，
解得
∴y的最大值为，即的最大值为．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 不等式的解集是________．
【答案】
【解析】
【详解】解：
去分母得，
移项，得
合并同类项，得．
12. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了提公因式及公式法分解因式．先提取公因式再运用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
13. 甲、乙、丙、丁四人都只习惯使用支付宝和微信支付，并且他们选择这两种支付的可能性是相同的，请计算四人恰好选择同一种支付方式的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】先确定所有等可能的结果总数，再找出符合“四人恰好选择同一种支付方式”的结果数，代入简单概率公式求解即可．
【详解】解：每人选择支付方式有种等可能的情况，四人的所有等可能结果总数为；四人恰好选择同一种支付方式的结果为：全部选择支付宝或全部选择微信，共种等可能的结果，
四人恰好选择同一种支付方式的概率是．
14. 任取一个正整数，如果它是偶数，就将它除以；如果它是奇数，就将它乘以再加上．把每次运算所得的数按照上面的方法再进行计算．规定：当运算到第一次出现数字“”时，运算终止，此时这个序列中数的个数记为这个数的路径长度，如数字，则记整数的路径长度是．
（1）整数6的路径长度是________．
（2）如果一个正整数的路径长度是5，那么这个正整数是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据题意，路径长度为从原数开始到第一次出现1，所有数的总个数，运算到第一次出现时终止，结合例子验证规则正确；
（2）根据题目给定的运算规则，逐步计算直到第一次得到，统计得到路径长度即可；采用倒推法，从终点反向推导，根据运算规则得到每一步可能的数，排除提前出现的不合理解，最终得到原数．
【详解】（1）解： ∵6→3→10→5→16→8→4→2→1 ，第一次出现1时，共有个数，
整数的路径长度为；
（2）解： 设路径中第个数为，已知路径长度为，
∴a5=1 ，
倒推如下：
① 若为偶数，则a42=1 ，
解得；
若为奇数，则3a4+1=1 ，
解得：，
不是正整数，舍去；
∴a4=2 ，
② 求：
若为偶数，则a32=2 ，
解得：；
若为奇数，则3a3+1=2 ，
解得：，
不是正整数，舍去；
∴a3=4 ，
③ 若为偶数，则a22=4 ，
解得：；
若为奇数，则3a2+1=4 ，
解得：，
∵a2=1 ，第二次就出现，路径长度为，
不符合要求，舍去；
∴a2=8 ，
④ 若为偶数，则a12=8 ，
解得：；
若为奇数，则3a1+1=8 ，
解得：，
不是正整数，舍去；
原数为．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【详解】解：
解得，．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，，，．
（1）将先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，作出平移后的．
（2）将绕点O逆时针旋转，作出旋转后的．
（3）在（2）的旋转过程中，点经过的路径长为________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）将三个顶点向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）作出、、绕点O逆时针旋转的对应点、、，顺次连接即可；
（3）利用弧长公式求解．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问3详解】
解：点经过的路径长为90π×2180=π ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”
根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
【答案】(1) 每头牛3两银子,每只羊2两银子;(2) 三种购买方法, 买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买养8只．
【解析】
【分析】(1)根据题意列出二元一次方程组,解出即可．
(2)根据题意列出代数式,穷举法代入取值即可．
【详解】(1)设每头牛x银两,每只羊y银两．
解得:
答:每头牛3两银子,每只羊2两银子．
(2)设买牛a头,买羊b只．
3a+2b=19,即．
解得a=5,b=2；或a=3,b=5,或a=1,b=8．
答:三种购买方法, 买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买羊8只．
本题考查二元一次方程组的应用,关键在于理解题意找出等量关系．
18. 如图，一次函数y=-x+1的图象与反比例函数y=的图象分别交于点A．B，且点A的横坐标为-2，点B的横坐标为4，一次函数的图象与y轴交于点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点P在y轴上，且△ABP的面积为6，求出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）P（0，3）或（0，-1）
【解析】
【分析】（1）将x=-2代入y=-x+1求得点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数解析式即可；
（2）求出点 B、C的坐标，设点P的坐标为（0，a），得到PC=，根据△ABP的面积为6，得到，求出a值即可得到点P的坐标．
【小问1详解】
解：当x=-2时，y=-（-2）+1=2，
∴A（-2，2），
∵反比例函数y=的图象过点A，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
∵反比例函数的图象过点B，点B的横坐标为4，
∴y=-1，即B（4，-1），
设点P的坐标为（0，a），
∵一次函数y=-x+1的图象与y轴交于点C．
∴C（0，1），
∴PC=，
∵△ABP的面积为6，
∴，
解得a=-1或a=3，
∴点P的坐标为（0，-1）或（0，3）．
此题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的综合，几何图形面积问题，正确掌握各知识点是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，三地在同一直线上，在的北偏东方向，在的北偏西方向，在的北偏西方向，且，求与之间的距离．
【答案】
【解析】
【分析】过点作交于点，先证得是等边三角形，求出，再证得是等腰直角三角形，最后由勾股定理求解即可得到与之间的距离．
【详解】解：过点作交于点，如图所示：
由题意可知，，
，
，
，
∵，
∴是等边三角形，
在中，，，则，
∴AE=12AC=100km，则由勾股定理可得CE=AC2−AE2=1003km，
，
，
在中，，，则，
即是等腰直角三角形，
∴BC=BE2+CE2=1006km，
答：与之间的距离为．
20. 如图，为的直径，是的弦，延长交于点C，连接．
（1）若平分，求的度数；
（2）若点E为的中点，，，求的半径．
【答案】（1）的度数为；
（2）的半径为
【解析】
【分析】（1）由圆周角定理求得，推出，再根据圆内接四边形的性质求解即可；
（2）连接，由垂径定理和圆周角定理推出，根据平行线分线段成比例得到，，再证明，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵为的直径．
∴，，
又∵平分．
∴，
∴，
又∵四边形是的内接四边形．
∴，
答：的度数为；
【小问2详解】
解：连接，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
答：的半径为．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
六、（本题满分12分）
21. 为进一步宣传垃圾分类知识，某校组织全校学生进行“垃圾分类知识测试”（满分100分）．现随机抽取部分学生的测试成绩x（单位：分）整理成A：，B：，C：，D：四个分数段，绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）抽取的学生的人数是________人，请补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中A段学生所对的圆心角是________，抽取的学生的测试成绩的中位数在A，B，C，D中________段（填字母）；
（3）若测试成绩在80分以上（含80分）定为“优秀”，该校有1150名学生，请你估计该校测试成绩“优秀”的学生人数．
【答案】（1）50，见解析
（2）72，C （3）598人
【解析】
【分析】（1）用C组人数除以占比求出抽取的学生的人数，然后求出B组人数，然后补全频数分布直方图即可；
（2）用乘以A组占比即可求出圆心角；根据中位数的定义求解；
（3）利用样本估计总体求解．
【小问1详解】
解：抽取的学生的人数是（人），
∴B组人数为（人），
补全频数分布直方图如下：
【小问2详解】
解：扇形统计图中A段学生所对的圆心角是；
∵共有50个数据，
∴中位数是第25个和第26个数据的平均数，
∵A，B组的和为，C组人数为21，
∴第25个数，第26个数都落在C组；
【小问3详解】
解：（人），
答：估计该校测试成绩“优秀”的学生人数为598人．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在中，是边上的中线，将绕点顺时针旋转，得到 如图，我们称为的“旋补三角形”， 的边上的中线叫做的“旋补中线”.
（1）在图，图，图中为的“旋补三角形”,是的“旋补中线”.
①如图,____
②如图，当为等边三角形时，与的数量关系为_______.
③如图，当时，时，则长为_______.
（2）在图中，当为任意三角形时，猜想与的关系，并给出证明．
（3）如图，在四边形中，,，，,,,为垂足，在线段上是否存在点，使是的“旋补三角形” 若存在，请作出点并给予证明；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）①；② ；③ ；（2）猜想： ，证明见解析；(3)存在,点P位置见解析.
【解析】
【分析】（1）①依据∠ADE+∠BDC=180°，可得∠BDE+∠CDA=180°；②当△DBC为等边三角形时，可得△ADE是等腰三角形，∠ADE=120°，∠E=30°，再根据DF⊥AE，即可得到Rt△DEF中，DF=DE，进而得出DF=BC；③当∠BDC=90°时，BC=4时，易得△ADE≌△CDB，即可得到Rt△ADE中，DF=AE=2；
（2）延长DF至G，使得FG=DF，连接EG，AG，判定四边形AGED是平行四边形，进而得到∠BDC=∠DEG，再判定△DGE≌△CDB（SAS），即可得到BC=DG，进而得出DF=DG=BC；
（3）延长AD，BC，交于点F，作线段BC的垂直平分线PG，交BE于P，交BC于G，连接PA、PD、PC，由定义知当PA=PD，PB=PC，且∠DPA+∠CPB=180°时，△PDC是△PAB的“旋补三角形”，据此进行证明即可．
【详解】（1）解：（1）①∵∠ADE+∠BDC=180°，
∴∠BDE+∠CDA=180°，
故答案为180°；
②当△DBC为等边三角形时，BC=DB=DE=DC=DA，∠BDC=60°，
∴△ADE是等腰三角形，∠ADE=120°，∠E=30°，
又∵DF是△ADE的中线，
∴DF⊥AE，
∴Rt△DEF中，DF=DE，
∴DF=BC，
故答案为；
③当∠BDC=90°时，BC=4时，易得△ADE≌△CDB，
∴AE=BC=4，
∴Rt△ADE中，DF=AE=2，
故答案为2；
（2）猜想：;
证明：如图延长至，使，连接 四边形为平行四边形，,.又,.
在中 ,
.
.
(3)存在
理由：如图，延长交的延长线于，作线段的垂直平分线交于，交于，连接.
由定义知当且时，是的“旋补三角形”.
,.
在中，,
.
在中，,

,又
在中,
,又
四边形是矩形.
是的“旋补三角形”
本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、含30度角直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识的综合运用，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
八、（本题满分14分）
23. 如图，经过点的抛物线与直线相交于点两点，并与边长为2的正方形相交于点．
（1）试求抛物线和直线的函数解析式；
（2）若抛物线在第一象限的图像上有一点，它的横坐标为．
①请用含的式子表示的面积；
②若点到直线的距离最远，请直接写出此时点的坐标．
【答案】（1）抛物线和直线的函数解析式分别为，
（2）①，②
【解析】
【分析】（1）先得到，，再根据待定系数法求出解析式即可；
（2）①令 ，过点作轴交于点，则 ，表示出，从而可表示出的面积；②要使点到直线的距离最远，则面积取得最大值，从而可得到点的坐标．
【小问1详解】
解：经过点的抛物线与直线相交于点两点，并与边长为2的正方形相交于点，
，，
代入得：，
解得：，
，
令，解得：，，
把、代入得：，
解得，
，
答：抛物线和直线的函数解析式分别为，；
【小问2详解】
解：①令 ，
过点作轴交于点，
，
则
，
此时面积为，
② ，
要使点到直线的距离最远，则面积取得最大值，
由①得，
当时，最大，此时，
．
本题主要考查了二次函数的综合题，待定系数法求二次函数的解析式，采用数形结合的思想，添加适当的辅助线是解题的关键．