2023-2024学年安徽省淮南市寿县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省淮南市寿县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.化简 32的结果是( )
A. ±2 8B. 2 8C. ±4 2D. 4 2
2.下列各式一定是二次根式的是( )
A. aB. x3+1C. 1−x2D. x2+1
3.某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中的30名学生，测试了1分钟仰卧起座的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起座次数在15～20次之间的频率是( )
A. 0.1
B. 0.17
C. 0.33
D. 0.4
4.下列命题中正确的是( )
A. 对角线相等的四边形是菱形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的平行四边形是菱形D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
5.下列以线段a，b，c为三边组成的三角形是直角三角形的是( )
A. a=32，b=42，c=52B. a=13，b=14，c=15
C. a= 3，b= 4，c= 5D. a= 3，b= 2，c=1
6.方程x(x−2)=3x的解为( )
A. x=5B. x1=0，x2=5
C. x1=2，x2=0D. x1=0，x2=−5
7.下列方程中，有两个相等实数根的是( )
A. x2+1=2xB. x2+1=0C. x2−2x=3D. x2−2x=0
8.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则AC的长是( )
A. 12B. 14C. 16D. 18
9.如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为( )
A. 14cmB. 15cmC. 24cmD. 25cm
10.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是(4,4)，点E、F分别在边BC、BA上，OE=2 5.若∠EOF=45°，则F点的纵坐标是( )
A. 1
B. 43
C. 2
D. 5−1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.化简： 18× 12=______．
12.若关于x的一元二次方程(k−1)x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是______．
13.若x1，x2是一元二次方程x2+2x−1=0的两个根，则x1+x2−x1⋅x2= ______．
14.在平行四边形ABCD中，∠A=30°，AD=4 3，BD=4，则平行四边形ABCD的面积等于______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：
(1) 4−(π− 3)0+|1− 2|；
(2) 6× 2+ 24÷ 3− 48．
16.(本小题8分)
若x+y= 2，xy=1− 2，求代数式(x+1)(y+1)的值．
17.(本小题8分)
已知方程组4x−y=5ax+by=−1和3x+y=93ax+4by=18有相同的解，求a,b的值．
18.(本小题8分)
已知x1，x2是方程x2−2mx+m2−m−1=0的两个根．
(1)若x1=x2，求m的值；
(2)若x1+x2+x1x2=1，求m的值．
19.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°．
(1)求∠BAC的度数．
(2)若AC=4，求AD的长．
20.(本小题10分)
如图，已知平行四边形ABCD，点O为BD中点，点E在AD上，连接EO并延长交BC于点F，连接BE，DF．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若AB=3 2，AD=6，∠BAD=135°，当四边形BEDF为菱形时，求AE的长．
21.(本小题12分)
已知关于x的一元二次方程x2−2x+m−1=0有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)设p是方程的一个实数根，且满足(p2−2p+3)(m+4)=7，求m的值．
22.(本小题12分)
2022年10月31日15时37分，中国空间站梦天实验舱在长征五号B运载火箭的托举下顺利升空.某校为了解学生对航天知识的掌握情况，开展了“航天知识我来答”竞赛活动.现从七年级和八年级参与竞赛的同学中各随机选出20名学生的成绩进行分析，并给制了如下不完整的统计图：(数据分为4组：A组：0≤x<70，B组：70≤x<80，C组：80≤x<90，D组：90≤x≤100，x表示成绩，成绩为整数)，其中七年级成绩处于C组的有12人．
七年级C组成绩分别为：89，88，87，86，85，85，85，85，85，84，82，82；

七年级、八年级成绩的平均数、中位数、众数(单位：分)如下表所示：
(1)直接写出m，n的值，并补全条形统计图；
(2)通过以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对航天知识掌握得更好？说明理由(一条理由即可)；
(3)已知七、八年级各有800名学生参加竞赛，请估计两个年级成绩处于C组的学生共有多少人？
23.(本小题14分)
如图，已知矩形ABCD中，AB=5，AD=2+ 13.菱形EFGH的顶点H在边AD上，且AH=2，顶点G、E分别是边DC、AB上的动点，连结CF．
(1)当四边形EFGH为正方形时，直接写出DG的长；
(2)若△FCG的面积等于3，求DG的长；
(3)试探究点G运动至什么位置时，△FCG的面积取得最小值．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解： 32= 16×2=4 2．
故选：D．
2.【答案】D
【解析】解：A、a<0时， a不是二次根式，故A错误；
B、x<−1时， x3+1不是二次根式，故B错误；
C、x<−1时， 1−x2不是二次根式，故C错误；
D、x取任意实数，x2+1>1， x2+1是二次根式，故D正确；
故选：D．
3.【答案】A
【解析】解：由频率的意义可知，从左到右各个小组的频率之和是1，同时每小组的频率=频数总人数，
所以仰卧起坐次数在15～20间的小组的频数是30−5−10−12=3，其频率为330=0.1，
故选：A．
4.【答案】D
【解析】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
故选：D．
5.【答案】D
【解析】解：A、a=32=9，b=42=16，c=52=25，
∵92+162≠252，
∴以线段a，b，c为三边组成的三角形不是直角三角形，不符合题意；
B、a=13，b=14，c=15，
∵(14)2+(15)2≠(13)2，
∴以线段a，b，c为三边组成的三角形不是直角三角形，不符合题意；
C、a= 3，b= 4，c= 5，
∵( 3)2+( 4)2≠( 5)2，
∴以线段a，b，c为三边组成的三角形不是直角三角形，不符合题意
D、a= 3，b= 2，c=1，
∵12+( 2)2=( 3)2，
∴以线段a，b，c为三边组成的三角形是直角三角形，符合题意，
故选：D．
6.【答案】B
【解析】解：x(x−2)=3x，
x(x−2)−3x=0，
x(x−2−3)=0，
x=0，x−2−3=0，
x1=0，x2=5，
故选：B．
7.【答案】A
【解析】解：A.x2+1=2x，
变形为x2−2x+1=0，
∵a=1，b=−2，c=1，
∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4×1×1=0，
∴方程x2+1=2x有两个相等的实数根，选项A符合题意；
B.x2+1=0，
∵a=1，b=0，c=1，
∴Δ=b2−4ac=02−4×1×1=−4<0，
∴方程x2+1=0没有实数根，选项B不符合题意；
C.x2−2x=3，
变形为x2−2x−3=0，
∵a=1，b=−2，c=−3，
∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4×1×(−3)=16>0，
∴方程x2−2x=3有两个不相等的实数根，选项C不符合题意；
D.x2−2x=0，
∵a=1，b=−2，c=0，
∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4×1×0=4>0，
∴方程x2−2x=0有两个不相等的实数根，选项D不符合题意．
故选：A．
8.【答案】C
【解析】解：
延长线段BN交AC于E．
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN=∠EAN，
∵BN⊥AN
∴∠ANB=∠ANE=90°
在△ABN与△AEN中，
∠BAN=∠EANAN=AN∠ANB=∠ANE=90°,
∴△ABN≌△AEN(ASA)，
∴AB=AE=10，BN=EN，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴CE=2MN=2×3=6，
∴AC=AE+CE=10+6=16．
故选C．
9.【答案】D
【解析】解：把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B′，则蚂蚁爬行的最短路径为AB′，如图，
根据题意得，AC=24cm，CB ′=7cm，
在RtΔACB ′中，AB ′= 72+242=25(cm)，
所以它爬行的最短路程为25cm，
故选D．
10.【答案】B
【解析】解：如图连接EF，延长BA使得AM=CE，则△OCE≌△OAM．
∴OE=OM，∠COE=∠MOA，
∵∠EOF=45°，
∴∠COE+∠AOF=45°，
∴∠MOA+∠AOF=45°，
∴∠EOF=∠MOF，
在△OFE和△OFM中，
OE=OM∠FOE=∠FOMOF=OF，
∴△OFE≌△FOM，
∴EF=FM=AF+AM=AF+CE，设AF=x，
∵CE= OE2−OC2= (2 5)2−42=2，
∴EF=2+x，EB=2，FB=4−x，
∴(2+x)2=22+(4−x)2，
∴x=43，
∴点F的纵坐标为43，
故选：B．
11.【答案】3
【解析】解：原式= 18×12
= 9
=3．
故答案为3．
12.【答案】k≤5且k≠1
【解析】解：∵一元二次方程(k−1)x2+4x+1=0有实数根，
∴k−1≠0，且b2−4ac=16−4(k−1)≥0，
解得：k≤5且k≠1，
故答案为k≤5且k≠1．
13.【答案】−1
【解析】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+2x−1=0的两个根，
∴x1+x2=−2，x1x2=−1，
∴x1+x2−x1x2=−2−(−1)=−1．
故答案为：−1．
14.【答案】8 3或16 3
【解析】解：如图所示．过B点做AD的垂线交AD于E，
设平行四边形的高BE为x，
∵∠A=30°，
∴AE= 3x，DE=4 3− 3x，
在Rt△BED中，DE2+BE2=BD2，即(4 3− 3x)2+x2=16，
解得x=2或x=4．
当x=2时，如左图所示，面积为AD×BE=8 3；
当x=4时，如右图所示，此时E点与D点重合，BD即为高，面积为AD×BD=16 3．
故答案为：8 3或16 3．
15.【答案】解：(1) 4−(π− 3)0+|1− 2|
=2−1+ 2−1
= 2；
(2)解： 6× 2+ 24÷ 3− 48
= 12+ 8−4 3
=2 3+2 2−4 3
=2 2−2 3．
【解析】(1)根据算术平方根、零次幂、绝对值的性质化简，再根据二次根式的加减运算法则计算即可；
(1)根据二次根式的乘法、除法法则以及的性质化简，再根据二次根式的加减运算法则计算即可．
16.【答案】解：∵x+y= 2，xy=1− 2，
∴(x+1)(y+1)=xy+x+y+1=1− 2+ 2+1=2．
【解析】先利用多项式乘法展开得到原式xy+x+y+1，然后利用整体代入的方法计算．
17.【答案】解：先解方程组
4x−y=53x+y=9，
解得：x=2y=3，
将x=2、y=3代入另两个方程，
得方程组：2a+3b=−16a+12b=18，
解得：a=−11b=7．
【解析】将两方程组中的第一个方程联立，求出x与y的值，代入两方程组中的第二个方程中得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值．
18.【答案】解：(1)Δ=(−2m)2−4(m2−m−1)
=4m2−4m2+4m+4
=4m+4，
∵x1，x2是方程x2−2mx+m2−m−1=0的两个相等实数根，
∴△=4m+4=0，
∴m=−1；
(2)由题意可得x1+x2=2m，x1x2=m2−m−1，
又∵x1+x2+x1x2=1，
∴2m+m2−m−1=1，
即m2+m−2=0，
∴m1=−2，m2=1，
又∵m≥−1，
∴m=1．
【解析】(1)由x1，x2是方程x2−2mx+m2−m−1=0的两个相等实数根，根据根的判别式的意义得到Δ=b2−4ac=0，即4m2−4m2+4m+4=0，解关于m的方程即可；
(2)根据根与系数的关系x1+x2=2m，x1x2=m2−m−1，代x1+x2+x1x2=1求出m的值即可．
19.【答案】解：(1)∵在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−60°−45°=75°；
(2)∵AD⊥BC，∠C=45°，
∴∠CAD=45°=∠C，
∴AD=CD，
设AD=CD=x，
由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，
即x2+x2=42，
解得x=2 2．
即AD的长为2 2．
【解析】
(1)根据三角形内角和定理即可求解；
(2)先证明AD=CD，然后在直角△ACD中利用勾股定理即可求出AD的长．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC/​/AD，
∴∠ADB=∠CBD，
又∵点O为AD中点，
∴BO=OD
∵在△DOE和△BOF中，
∠EDO=∠FBOOD=OB∠EOD=∠FOB,
∴△DOE≌△BOF(ASA)，
∴ED=BF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)如图，过点B作BH⊥AD，交DA延长线于点H，
∵∠BAD=135°，
∴∠BAH=45°
在Rt△ABH中，AB=3 2，
∴BH=HA=3，
设AE=x，
∵四边形BEDF为菱形，
∴EB=ED=6−x
在Rt△BHE中，BH2+HE2=BE2，
∴32+(3+x)2=(6−x)2
解得：x=1，
∴AE=1．
【解析】
(1)只需推知ED/​/BF且ED=BF即可证得四边形BEDF是平行四边形；
(2)如图，过点B作BH⊥AD，交DA延长线于点H，构造等腰直角三角形△ABH，设AE=x，由该三角形的性质和菱形的性质求得EB=ED=6−x，在Rt△BHE中，根勾股定理得到：BH2+HE2=BE2，借助于方程求得x即AE的长度即可．
21.【答案】解：(1)根据题意得Δ=b2−4ac=4−4×(m−1)≥0，解得m≤2；
(2)p是方程的一个实数根，则p2−2p+m−1=0，则p2−2p+3=4−m，
则(p2−2p+3)(m+4)=7即(4−m)(4+m)=7，
解得：m=3(舍去)或−3．
故m的值为−3．
【解析】(1)若一元二次方程有两实数根，则根的判别式Δ=b2−4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
(2)p是方程的一个实数根，则p2−2p+m−1=0，则p2−2p+3=4−m，代入(p2−2p+3)(m+4)=7，求得m的值．
22.【答案】解：(1)七年级C组人数所占百分比为1220×100%=60%，
则m%=100%−60%−20%−10%=10%，
所以m=10；
七年级D组的人数为10%×20=2(人)，
因为七年级成绩处于C组的有12人，
所以将七年级20名学生的成绩按从大到小排序后，第10个数和第11个数在C组，分别为85，85，
则其中位数n=85+852=85；
八年级B组的人数为：20−2−8−6=4(人)．
补全条形统计图如下：

(2)解：八年级的学生对航天知识掌握得更好，理由如下：
七、八年级学生竞赛成绩的平均数相同，但八年级学生竞赛成绩的中位数和众数都比七年级的大，所以八年级的学生对航天知识掌握得更好．
(3)800×1220+800×820−=800(人)，
答：估计两个年级成绩处于C组的学生共有800人．
【解析】(1)先求出七年级C组人数所占百分比，再利用100%减去B，C，D三组人数所占百分比即可得m的值；先求出七年级组的人数，再根据中位数的定义即可得n的值；求出八年级B组的人数，据此补全条形统计图即可；
(2)根据平均数、中位数和众数的角度进行分析即可得；
(3)分别利用800乘以七、八年级C组人数所占百分比即可得．
23.【答案】解：(1)如图1，当四边形EFGH为正方形时，则GH=HE，∠EHG=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，
∴∠DHG=90°−∠AHE=∠AEH，
∴△DHG≌△AEH(AAS)，
∴DG=AH=2．
(2)如图2，作FM⊥CD，交DC的延长线于点M，连结EG，
∵四边形EFGH是菱形，
∴GF/​/EH，
∴∠FGE=∠GEH，
∵CD//AB，
∴∠CGE=∠GEA，
∴∠CGE−∠FGE=∠GEA−∠GEH，
∴∠MGF=∠AEH，
∵∠M=∠A=90°，GF=EH，
∴△MGF≌△AEH(AAS)，
∴MF=AH=2，
∵S△FCG=3，
∴12×2CG=3，
解得CG=3，
∵CD=AB=5，
∴DG=CD−CG=5−3=2．
(3)如图2，设DG=x，
由(2)得MF=2，
∴S△FCG=12×2CG=5−x，
∴S△FCG随x的增大而减小，
要使△FCG的面积最小，须使x的值最大，
在Rt△DHG中，DH=AD−AH=2+ 13−2= 13，
∴当GH取得最大值时，x的值最大，
而EH=GH，此时EH的值最大，
∴点E与点B重合，
如图3，
此时，GH2=EH2=22+52=29，
∴x= GH2−DH2= 29−( 13)2=4，
∴当DG=4时，△FCG的面积取得最小值．
【解析】(1)当四边形EFGH为正方形时，则GH=HE，可证明△DHG≌△AEH，由此求出DG的长；
(2)作FM⊥CD交DC的延长线于点M，可得△MGF≌△AEH，得MF=AH=2，再由△FCG的面积等于3求出CG的长，进而求出DG的长；
(3)当△FCG的面积取得最小值时，可推出HG的值最大，此时EH的值也最大，则点E与点B重合，求出这时DG的值即可．年级
平均数
中位数
众数
七年级
83
n
85
八年级
83
87
87