天津市西青区2025-2026学年高一上学期期末数学试题（试卷+解析）

这是一份天津市西青区2025-2026学年高一上学期期末数学试题（试卷+解析），共19页。试卷主要包含了 函数的零点所在区间是， “”是“”的， 已知函数，则值是， 已知，，，则的大小关系为， 已知，都是锐角，，，则值为， 我国著名数学家华罗庚先生曾说等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（40分）
一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 函数的零点所在区间是
A. B. C. D.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知函数，则值是
A. B. C. D.
5. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，，，则的大小关系为（ ）
A B. C. D.
7. 已知，都是锐角，，，则值为（ ）
A. B. C. D. 或
8. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是
A. B. C. D.
10. 已知函数部分图象如图所示，给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的一个对称中心点；
③是奇函数；
④的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到.
其中正确结论的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
第Ⅱ卷（80分）
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案写在答题纸相应的横线上.试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分.
11. 函数的定义域为_______.
12. 已知某扇形的半径为2，弧长为，则该扇形的圆心角为______.
13. 已知，则______，若，则______.
14. 若，则___________.
15. 已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.当矩形的边长为______cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为______
16 已知下列结论：
①函数的定义域为；
②函数(且)的图象恒过定点；
③不等式的解集为，则实数的取值范围为；
④已知定义在上的函数满足，，当时，，则.以上四个结论，其中正确结论的序号为______.
三.解答题：本大题共4个小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程.
17. 已知，.
（1）求，的值；
（2）求的值.
18. 已知函数.
（1）当时，求在区间上的最大值；
（2）当时，解关于的不等式.
19. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求单调递减区间；
（3）当时，求函数的最大值以及取得最大值时的值.
20. 已知幂函数的图象过点，且函数.
（1）求幂函数的解析式；
（2）判断并证明函数在上的单调性；
（3）若，使得不等式有解，求实数取值范围.高一数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题时间100分钟，满分120分.
第Ⅰ卷（40分）
一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函数的诱导公式求解.
【详解】解：，
故选：C
2. 函数的零点所在区间是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数的解析式求得f（0）f（1）＜0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=2x+x3﹣2的零点所在的区间．
【详解】∵函数f（x）=2x+x3﹣2在R上单调递增，
∴f（0）=1+0﹣2=﹣1＜0，f（1）=2+1﹣2=1＞0，
∴f（0）f（1）＜0．
根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=2x+x3﹣2的零点所在的区间是（0，1），
故选C．
本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题．
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分不必要条件的定义和特殊角的三角函数值即可判断答案.
【详解】若，则；
若，则或，即不一定为，
所以，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4. 已知函数，则的值是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据题中所给的分段函数解析式，将多层函数值从内向外求解，根据自变量的范围，选择相应的式子，代入求解.
【详解】因为，所以，
，
故选B.
该题考查的是有关分段函数求值的问题，在求解的过程中，需要注意多层函数值需要从内向外求解，属于简单题目.
5. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正余弦周期公式及图像变换排除，再通过对应区间内的单调性排除、.
【详解】对于A，，根据图象性质区间上单调递增，错误；
对于B，，错误；
对于C，，图像在单调递增，错误；
对于D，的图象是由的图象轴下方的图象上翻，周期减半，
故周期为，又在区间上，所以在区间上单调递减.
故选：D.
6. 已知，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指对数函数的单调性，先分别判断与和的大小关系，再综合比较三者的大小.
【详解】对数函数，底数，所以函数在上单调递减.因为，所以，即；
指数函数，底数，因此函数在上单调递减.因为，所以，即；
对数函数，底数，因此函数在上单调递增.因为，所以，即.
综上所述：由，，，可得.
故选： C.
7. 已知，都是锐角，，，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】由同角三角函数关系和角的范围得到的值，凑角结合正弦差角公式得到答案.
【详解】是锐角，，故，
又，都锐角，故，又，
故，所以，
所以
.
故选：B
8. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析二次函数的开口方向和对称轴，确定函数的单调区间，结合条件列不等式即可求出的取值范围.
【详解】函数的对称轴是，开口方向向上，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
因为函数在区间上单调递减，
所以，解得，
所以实数的取值范围是，
故选：D
9. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】代入特殊值和后排除选项，得到正确答案.
【详解】当时，，排除B,D，当时，，排除A,只有C符合条件，
故选C.
本题考查了由解析式判断函数图象，根据图象需分析函数的定义域和奇偶性，特殊值的正负，以及是否过定点等函数的性质，从而排除选项，本题意在考查分析和解决问题的能力.
10. 已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的一个对称中心点；
③是奇函数；
④的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到.
其中正确结论的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由题意求得，即可判断①；求得，根据对称中心的定义，即可判断②；求得，即可判断③；由图象的平移，即可判断④.
详解】由题意可得，
所以，
所以，故①错误；
因为，
所以，
又因为函数过点，
所以，
所以，
又因为，
所以，或，
又因为函数与轴交于负半轴，
当时，不满足与轴交于负半轴；
当时，满足与轴交于负半轴；
此时函数过点，
所以，
因为，
所以是的一个对称中心点，故②正确；
因为，
所以奇函数，故③正确；
将的图象向左平移个单位长度，
得，故④错误.
故选：B.
第Ⅱ卷（80分）
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案写在答题纸相应的横线上.试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分.
11. 函数的定义域为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由对数函数的真数大于零和分式的分母不为零，列不等式组可得答案
【详解】解：由题意得
，解得或，
所以函数的定义域为，
故答案为：
12. 已知某扇形的半径为2，弧长为，则该扇形的圆心角为______.
【答案】##
【解析】
【分析】设出圆心角，利用弧长公式得到方程，求出答案.
【详解】设圆心角为，则，解得.
故答案为：
13. 已知，则______，若，则______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据条件，利用指对数互换和换底公式，即可求解.
【详解】由可得，
若，则.
故答案为：①；②
14. 若，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用求得所求表达式的值.
【详解】.
故答案为：
15. 已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.当矩形的边长为______cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为______
【答案】 ①. 9 ②.
【解析】
【分析】设出未知数，表达出圆柱的侧面积，配方得到最大值，得到答案.
【详解】矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的边长为cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，
则圆柱的高为cm，则圆柱的底面半径为cm，
则圆柱的侧面积为，
故当矩形的边长为9cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为.
故答案为：9，
16. 已知下列结论：
①函数的定义域为；
②函数(且)的图象恒过定点；
③不等式的解集为，则实数的取值范围为；
④已知定义在上的函数满足，，当时，，则.以上四个结论，其中正确结论的序号为______.
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据正切函数的定义域可判断①；根据对数函数图象过定点可判断②；对不等式的二次项系数分类讨论，分别求得满足条件的集合可判断③；利用函数的奇偶性求出，再结合周期性可判断④.
【详解】对于①，由解得，
所以函数的定义域为，故正确；
对于②，令得，因为函数(且)
的图象恒过定点，所以函数(且)的
图象恒过定点，故正确；
对于③，当时，原不等式为成立；
当时，若不等式的解集为，
则，解得，
综上实数的取值范围为，故错误；
对于④，根据定义在上的函数满足，
可得为奇函数，且，所以，解得，
又因为，所以的周期为6，
所以，故正确.
故答案为：①②④.
三.解答题：本大题共4个小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程.
17. 已知，.
（1）求，的值；
（2）求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由，可求的值，再结合倍角公式和半角公式求和的值；
（2）利用同角三角函数的商数关系求出，再由两角和的正切公式求.
【小问1详解】
∵，.
∴.
∴，
.
【小问2详解】
∵
∴
18. 已知函数.
（1）当时，求在区间上的最大值；
（2）当时，解关于的不等式.
【答案】（1）6 （2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）将代入可得，分析二次函数的单调区间即可求得在区间上的最大值；
（2）结合条件，将不等式等价转化为，再根据的取值分类讨论即可求得其解集.
【小问1详解】
当时，，二次函数开口向上，对称轴为，
则有在上单调递减，在上单调递增，
且有，，
所以在区间上的最大值为6.
【小问2详解】
当时，原不等式等价于，
①当，即时，不等式的解或；
②当，即时，不等式的解为；
③当，即时，不等式的解为或，
综上所述：
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
19. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求单调递减区间；
（3）当时，求函数的最大值以及取得最大值时的值.
【答案】（1）
（2），
（3）当时，取得最大值
【解析】
【分析】（1）化简得，根据周期公式求解即可；
（2）令，，求解即可；
（3）令，结合三角函数的性质求解即可.
【小问1详解】
因为
，
∴最小正周期为.
【小问2详解】
令，，
解得，，
所以函数的单调递减区间为，.
【小问3详解】
因，
令，
，则，
因为，
的单调递增区间是，单调递减区间是
所以当时，即时，
取到最大值，
所以.
20. 已知幂函数的图象过点，且函数.
（1）求幂函数的解析式；
（2）判断并证明函数在上的单调性；
（3）若，使得不等式有解，求实数取值范围.
【答案】（1）
（2）在上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意设幂函数为，将代入即可求得幂函数的解析式；
（2）设，比较与的大小，结合函数单调性即可证明在上的单调性；
（3）由（2）知在上单调递增，可解得在上的值域，设，根据题意有，分析二次函数的单调区间即可求其最小值，即的取值范围.
【小问1详解】
设幂函数为 ，其图象过点，
，解得，
故幂函数的解析式为；
【小问2详解】
由（1）知，故，
任取，
则.
因为，则有，，且，.
所以，即.
故在上单调递增；
【小问3详解】
由（2）知在上单调递增，
所以，即
令，则不等式有解等价于在上有解，
即，.
令，，
易得在区间上单调递减，在上单调递增，
则有，即.
综上，实数的取值范围是.