2025--2026学年四川省雅安市名山区第三中学高一下册4月月考数学试题 [含答案]

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考试时间：120分钟；满分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题 58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 计算的结果是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接化简求值即可.
【详解】解： .
故选：C.
2. 已知向量，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算求解即可.
【详解】解：由题意得：
故选：C
3. 求值：（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角和差的正切公式即可得出．
【详解】．
故选：D．
【点睛】本题考查两角和差的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．
4. 已知平面向量，且，则λ的值为（ ）
A. -2B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，及向量垂直的坐标表示求出.
【详解】依题意，，由，得，
因此，所以.
故选：D
5. 已知为锐角，为钝角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平方关系和两角和的余弦展开式计算可得答案.
【详解】因为为锐角，为钝角，，
所以，
，
则
.
故选：C.
6. 已知点为的重心，分别是边上一点，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（ ）
A. 6B. 7C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据重心性质可得，再由三点共线得出，根据“1”的变形技巧利用均值不等式求最值.
【详解】由点为的重心，为的中点知，
,
所以，
因为三点共线，分别是边上一点，
所以，即，
，
当且仅当，即时等号成立，
故选：A
7. 若是第二象限角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，可得，可将本题转化为，已知，求，进而利用诱导公式、二倍角公式，求解即可.
【详解】解：设，则，则，
所以，解得，
所以.
故选：D.
8. 已知六边形为正六边形，设，，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平面向量的线性运算可得出，，再结合正六边形性子逐项计算即可判断.
【详解】如下图所示：
由正六边的几何性质可得，
所以，，
所以，，
对于A选项，，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D对.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9. 下列关于三角恒等变换正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据三角恒等变换公式判断恒等关系，即可求解.
【详解】对于A，正确；
对于B，
正确；
对于C，由和差化积公式有错误；
对于D，
，错误；
故选：AB.
10. 如图所示，点是函数(，)图象的最高点，､是图象与轴的交点，若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题设可得为等腰直角三角形，故可得半周期，从而可得的值及各点坐标，通过的坐标可求，从而可得判断各项的正误.
【详解】由题知的纵坐标为，又，所以，，
所以，所以的周期，所以，，故B正确；
所以，故C正确；，故A错误，
将代入函数解析式可得：，()，故D错误.
故选：BC.
11. 下列式子正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由正弦二倍角公式可得A正确，利用余弦二倍角公式可得B错误，再由两角差的正弦公式计算可得C正确，根据两角和的正切公式整理可得D正确.
【详解】对于A，易知，即A正确；
对于B，显然，可得B错误；
对于C，易知，所以C正确；
对于D，易知，
整理可得，即，即D正确.
故选：ACD
第Ⅱ卷（非选择题92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，是方程的两个根，且，，则的值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】结合根与系数关系可得，，进而可得，即可得解.
【详解】由根与系数关系可得，，
所以，，
又，，
所以，，，
则，
所以，
故答案为：.
13. 已知向量，，且，则t=____.
【答案】
【解析】
【分析】由可得：，进而计算求解.
【详解】因为，所以，则有，
又，，所以，解得：，
故答案为：.
14. 已知，则________.
【答案】
【解析】
【分析】化简，代入即可求解.
【详解】因为，所以
.
故答案为：.
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由可求出的单调递增区间；
（2）由求出的范围，再结合正弦函数的性质可求出其值域.
【小问1详解】
函数，
令，
可得，
故函数的单调递增区间为：；
【小问2详解】
由，可得，
结合正弦函数的性质可得，当，即时，有最小值，
当，即时，有最大值2，
即函数的值域为.
16. 已知向量，，，．
（Ⅰ）若四边形是平行四边形，求，的值；
（Ⅱ）若为等腰直角三角形，且为直角，求，的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．
【解析】
【分析】（Ⅰ）由得到x,y的方程组，解方程组即得x,y的值; （Ⅱ）由题得和，解方程组即得，的值．
【详解】（Ⅰ），，，
，，由，，；
（Ⅱ），，为直角，则，，
又，，再由，解得：或．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算和模的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
17. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式化简，求出最小正周期；（2）将代入可求出，结合的范围，求出，因为，由两角和的余弦公式求出结果.
【详解】．
（1）函数的最小正周期．
（2）由，得，即．
由，得，
∴，
∴．
18. 如图所示，等腰梯形中，，，已知E，F分别为线段，上的动点（E，F可与线段的端点重合），且满足，.
（1）求关于x，y的关系式并确定x，y的取值范围；
（2）若，判断是否存在恰当的x和y使得取得最大值?若存在，求出该最大值及对应的x和y；若不存在，请说明理由.
【答案】（1），，
（2）存在最大值2，，
【解析】
【分析】（1）法一：先计算出，再把用表示出来，再按照数量积运算即可；
法二：建立直角坐标系，表示出，按照数量积的坐标运算计算即可.
（2）先通过得到，再换元后利用双勾函数的内容求出最值即可.
【小问1详解】
法一：由等腰梯形的性质可知，
即，又，
则.
由F，F分别为线段，上动点，故，.
法二：以A为坐标原点建立平面直角坐标系，易得，，，，
，
则.
由E，F分别为线段，上动点，故，.
【小问2详解】
由可得，则，
又解得，.
故，令，则，即，
显然函数在上单调递增，故当即且时，取得最大值为2.
19. 已知函数.
（1）求；
（2）求函数的单调增区间；
（3）将函数的图象向右平移个单位得的图象，求方程在区间上所有根之和.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，代入求值即可；
（2）结合三角函数的单调性进行求解即可；
（3）利用三角函数的图象变换关系求出的解析式，结合方程进行求即可解．
【小问1详解】
化简得，
.
【小问2详解】
令，解得，
故函数的单调增区间为.
【小问3详解】
函数的图象向右平移个单位的图象，
即，
令，得，
或，，
解得或，，
，故当时，或，
即方程在区间上所有根之和为.