四川省雅安中学2024−2025学年高一下学期4月月考 数学试题（含解析）

这是一份四川省雅安中学2024−2025学年高一下学期4月月考 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知的内角的对边分别为，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知甲同学手表的分针长2cm，把快了12分钟的该手表校准后，该手表的分针尖端所走过的弧长为（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量与单位向量的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
5．已知向量与不共线，，且三点共线，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知均是第二象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知的内角的对边分别为，且，且的最大内角为，则的最大边等于（ ）
A．7B．7或2C．8D．8或5
8．如图，在四边形中，分别是的中点，，，与的夹角为，则（ ）

A．3B．C．4D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．相等向量的起点必定相同
B．平行向量就是共线向量
C．
D．非零向量与（是非零实数）的方向相反
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．在上单调递增
11．已知的内角的对边分别为，则卡列结论正确的是（ ）
A．
B．的取值范围为
C．若只有一解，则的取值范围为
D．若是锐角三角形，则的取值范围为
三、填空题
12．已知点，且，则点的坐标为 ．
13．若，则 ．
14．天府熊猫塔位于四川省成都市戍华区猛追湾街，是中国西部第一高塔．塔上发射中央台、四川省台、成都市台以及数字移动电视、手机电视等新媒体频道，覆盖半径公里，是四川省广播、电视、微波传输发射枢纽．如图，为了测量该塔的高度，无人机在与塔底位于同一水平面的点测得塔顶的仰角为，无人机沿着仰角的方向靠近塔，飞行了到达点，在点测得塔顶的仰角为，塔底的俯角为，且、、、四点在同一平面上，则该塔的高度为 m．（参考数据：取）

四、解答题
15．已知向量．
（1）求的坐标；
（2）求与夹角的余弦值．
16．已知的内角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若，求的面积；
（3）若，求的周长．
17．已知函数的最大值为7．
（1）求；
（2）求在上的值域；
（3）若，求的值．
18．已知的内角所对的边分别为．
（1）已知外接圆的面积为．
①求；
②求的最大值．
（2）若是锐角三角形，为的垂心，为的高，且，求．
19．设为非空数集，实数满足以下两个条件：（ⅰ）；（ⅱ）对任意给定的，总存在，使得．这时，称为集合的上确界．
（1）直接写出集合的上确界．
（2）在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为．
①求；
②求集合的上确界，并证明你的结论．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由利用正弦定理可得，
即可得.
故选B
2．【答案】B
【详解】手表分针转动的弧度数为：，
又分针长2cm，所以分针尖端所走过的弧长为：.
故选B
3．【答案】C
【详解】在上的投影向量为，
故选C
4．【答案】D
【详解】将向左平移个单位长度可得，
故选D
5．【答案】C
【详解】由于，且三点共线，故，
故，
故选C
6．【答案】C
【详解】由题意知，均为第二象限角，
当时，，此时，故A错误；
当时，，，故，BD错误；
因为均为第二象限角，且，则，，
所以，又，
故，故C正确.
故选C
7．【答案】A
【详解】由于，故，
因此是三角形中最大的边，因此,
由可得，
化简可得，由于，故，
故选A
8．【答案】A
【详解】由于分别是的中点，故,由可得,
故,
故选A
9．【答案】BC
【详解】对于A，相等的向量是方向相同，长度相等的向量，起点不一定相同，故A错误，
对于B,平行向量就是共线向量，B正确，
对于C, ,故C正确，
对于D, 当时，，此时非零向量与（是非零实数）的方向相同，故D错误，
故选BC
10．【答案】ACD
【详解】由最低点可知：，故A正确，
由图可得，故，故B错误，
将代入中可得，故，结合，所以，故C正确，
此时，当时，，故在上单调递增，D正确，
故选ACD
11．【答案】ABD
【详解】对于A,，其中为外接圆的半径，故A正确，
对于B,由得,由于，,故,B正确，
对于C, 若只有一解，则或，故或，故C错误，
对于D,
，
由于是锐角三角形，故,即，
因此，故,因此，故D正确，
故选ABD
12．【答案】
【详解】由可得,
所以，
设，则，解得，故.
13．【答案】2或
【详解】由可得，
故，故或，
故或.
14．【答案】
【详解】如下图所示，过点D作，垂足为点，

由题意可知，，，，
故，所以，
在和中，，，，
所以，，故，
在中，，故，
所以，可得，故，
因为，，所以为等腰直角三角形，则，
因此.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由可得，；
；
因此.
（2）由（1）可知，
所以，
因此与夹角的余弦值为.
16．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）因为，
所以，
则，
即，即，
在中，，则．
（2）在中，由，得，
所以的面积．
（3）由，
得，
所以的周长为．
17．【答案】（1）5
（2）
（3）
【详解】（1）因为.
因为且的最大值为7，所以.
（2）当时，.
由在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以，
所以在上的值域为.
（3）因为，所以.
.
18．【答案】（1）①，②
（2）
【详解】（1）①外接圆的半径为，则，故，
所以,
②由可得，故，
故，当且仅当时取等号，故的最大值为.
（2）由于，所以
由于为的垂心，故，
，
故，故，
由可得，故

19．【答案】（1）3
（2）①,②的上确界是.,证明见解析
【详解】（1）由于，
进而，故的上确界为3.
（2）由可得，故，则,
设距离最短的两个交点为，
则，
因此，即，
,
得，
则，
解得，
②由题意可得，
由得，
所以故，
接下来证明是的上确界，
，
对任意给定的，若，可取使得，
若,可取，使得，
综上可得的上确界是.