2025--2026学年山东省菏泽市第一中学高一下册4月阶段测试数学试题 [含答案]

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1．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
所以，所以的虚部为2.
2．如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（ ）
A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱
【答案】C
【详解】依题意，，且，
又平面平面，
所以由棱柱的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．
3．下列说法正确的是（ ）
A．若方向相反，则与为相反向量
B．模相等的两个平行向量相等
C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
D．共线向量是在同一条直线上的向量
【答案】C
【分析】根据相等向量的定义，可判断A、B的正误；根据向量和有向线段的定义，可判断C的正误；根据共线向量的定义，可判断D的正误.
【详解】选项A：若方向相反，但模长不同时，两个向量不是相反向量，故A错误；
选项B：若模长相等的两个平行向量，方向相反，则为相反向量，不是相等向量，故B错误；
选项C：向量没有固定的起点，但有向线段有起点，有向线段是向量的表示工具，
所以有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段，故C正确；
选项D：共线向量方向相同或相反，可位于平行直线上，不一定在同一条直线上，故D错误.
故选：C
4．已知向量，，若与垂直，则（ ）
A．3B．C．5D．
【答案】C
【分析】由向量垂直，数量积为0求得参数，然后由模的坐标表示计算．
【详解】因为向量，，所以，
因为与垂直，所以，解得，
所以，所以.
故选：C.
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
【答案】A
【分析】根据棱锥、棱台、棱柱的定义和性质逐一对选项ABC进行判断，通过举反例对选项D进行判断.
【详解】对于A选项，由棱锥的定义判断A正确；
对于B选项，只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，所以B错误；
对于C选项，棱柱的底面可为任意平面多边形，所以C错误；
对于D选项，斜棱柱的侧面不是全等的平行四边形，所以D错误.
故选：A.
6．已知平面向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据投影向量的定义计算即得.
【详解】∵，∴，
所以在上的投影向量为：.
故选：A.
7．葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为3和4，且两球心的距离为，记两球心分别为，为两个球面交线上一点，则（ ）
A．6B．5C．7D．8
【答案】A
【分析】由余弦定理可得，利用数量积的定义可求得的值.
【详解】因为两球的半径分别为3和4，所以，又，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：A.
8．设是的外心，点满足，则是的（ ）
A．内心B．任意一点
C．垂心D．重心
【答案】C
【详解】由题可得，
由于是的外心，设为线段的中点，
故且，即，
所以，同理，，故是的垂心．
故选：C.
二、多选题
9．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（ ）
A．越小越省力，越大越费力B．的最小值为
C．当时，D．当时，
【答案】AC
【分析】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解，再逐项判断即得.
【详解】对于A，依题意，，又，
则，
解得，而时，单调递减，
因此越小越省力，越大越费力，A正确；
对于B，，则，即，B错误；
对于C，当时,由，得，因此，C正确；
对于D，当时，由，得，因此，D错误.
故选：AC
10．已知复数，则下列结论正确的是（ ）
A．的实部是
B．的虚部为
C．
D．在复平面内所对应的点位于第四象限
【答案】BD
【分析】复数的乘法运算可得，从而可求其实部与虚部，可对A、B判断；可求其模对C判断；利用复数的几何意义可对D判断；
【详解】由题意可得，
A、B：的实部为7，虚部为，故A错误、B正确；
C：，故C错误；
D：在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限，故D正确.
故选：BD.
11．在中，是的中点，是线段上的点，过作一直线分别与交于点，设，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是等边三角形
C．若，则
D．若，则的最小值为
【答案】AD
【分析】利用平面向量的线性运算，以及数量积公式，基本不等式依次求解即可.
【详解】因为，
则，即，
则，
所以，A正确；
因为，所以，
所以，同理，点是的垂心，
又是边的中点，，易知是等腰三角形，无法确定是等边三角形，B错误；
由题意知，，所以，
又三点共线，则，
所以，即，解得，C错误；
，又三点共线，则，
因此，
当且仅当时取等号，所以的最小值为，D正确.
故选：AD.
三、填空题
12．已知向量，，若与平行，则实数________．
【答案】
【分析】由向量坐标的数乘及加减法运算求出与，然后利用向量共线的坐标表示列式求解．
【详解】由向量和，
所以，
，
由与平行，所以．
解得．
13．中，，，的面积等于，则角平分线的长等于________．
【答案】/
【分析】先利用三角形面积公式求得，再由余弦定理求出，根据题设条件和等面积列式求解即得的长.
【详解】设中角所对的边分别为，
依题知，则有，
由余弦定理， ，
即解得．
设，则由可得 ，
化简得，解得.
即角平分线的长为．
故答案为：.
14．折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在上，则的最小值是__________．

【答案】
【分析】若为中点，由、，应用向量数量积的运算律化简得，根据位置关系求最小值.
【详解】如下图，，
若为中点，且，则，
则，
要使其最小，只需共线，

此时，由图知此时.
故答案为：.
四、解答题
15．在中，内角所对的边长分别是，且．
(1)求角；
(2)若，求的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用正弦两角和公式化简，即可求出角；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式求最大值，即可求解.
【详解】（1）由
，
由于，所以，
又因为，所以，即，
因为，所以，即,
故；
（2）因为，，所以由余弦定理可得：
，
由基本不等式可得：，所以，
当且仅当取等号，
则的面积，
故的面积的最大值为.
16．已知平面向量，.
(1)若，且，求的坐标；
(2)若与的夹角为锐角.求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设出，利用平行关系和模长列出方程组，求出，得到答案；
（2）写出，根据与的夹角为锐角，得到方程和不等式，求出实数的取值范围..
【详解】（1）设，，
因为，所以6x＝－y，因为，所以，
解得或，所以或；
（2），，
因为与的夹角为锐角，所以，，
解得且，即.
17．欧拉(1707-1783)，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：
(1)将复数表示成(，i为虚数单位)的形式；
(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据题意结合复数运算求解；
（2）根据题意结合复数的四则运算和模长整理得，再结合正弦函数的有界性分析运算.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）由题意可得：，
所以，
因为，所以，因此，
所以的最大值为2.
18．如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线.
(1)用、表示；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，再由即可得解；
（2）利用平面向量的共线定理到，进而得到，再利用平面向量的基本定理即可得解.
【详解】（1）因为，则，所以，
因为为的中点，故.
（2）因为、、三点共线，则，，，
所以存在，使得，即，
所以，
又因为，且、不共线，
所以，则，
所以，故.
19．法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点.托里拆利确定费马点的方法如下：
①当三个内角均小于时，满足的点为费马点；
②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.
请用以上知识解决下面的问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，点为的费马点，.
(1)求角；
(2)若，求；
(3)在（2）的条件下，若，且点为平面上任意一点，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二倍角的余弦公式、正弦定理和勾股定理的逆定理化简计算即可求解；
（2）设，，，由费马点定义知，根据三角形面积公式和等面积可得，进而求解；
（3）建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的线性运算、坐标运算和几何意义可得，结合费马点的定义可得，即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，所以，
所以.
（2）由费马点定义知，，
设，，，，，，
由，得，
整理得，
则.
（3）在中，，，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，
则、、，设，则，
，.
所以，
则的几何意义是点到点，，的距离之和，
因为，，则为等腰直角三角形，故，
易知，故，
所以的“费马点”为点，
故的最小值为.