山东省菏泽市菏泽一中系列2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（A）

这是一份山东省菏泽市菏泽一中系列2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（A），文件包含山东省菏泽市菏泽一中系列2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题A含答案docx、参考答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。

注意事项:
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前,考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.
3.考生作答时,请将答亲答在答题卡上,选择题每小题选出答亲后,用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知i是虚数单位,复数z=x2−1+x+1i是纯虚数,则实数x的值为
A.1
B.-1
C.±1
D.0
2.已知a=2,b=1.若a+b=a−b,则2a−3b=
A.25
B.16
C.5
D.4
3.如图,一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为2a的正方形,则原平面图形的面积为
A.22a2
B.42a2
C.2a2
D.4a2
4.在△ABC中,已知a=23,b=2, B=30∘,则满足条件的三角形个数为
A.2个
B.1个
C.0个
D.无法确定
5.在正六边形ABCDEF中,若BP=−CP,FQ=3QE,则PQ=
A.34AB−54AF
B.−34AB+54AF
C.−56AB+76AF
D.56AB−76AF
6.在△ABC中,AD为△ABC的角平分线,若AB=4,AC=5,AD=23,则BC=
A.43
B.9105
C.1825
D.6
7.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边,若a=3csinA,ab=6,则△ABC的面积为
A.1
B.3
C.2
D.23
8.已知三棱雉P−ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,且AB=AC=5,BC=6则此三棱锥外接球的体积为
A.823π
B.6423π
C.8π
D.32π3
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知复数z满足i−2z=5i,则
A.z=5
B.z的虚部为-2
C.z的共轭复数为z=1−2i
D.z是方程x2−2x+5=0的一个根
10.已知平面向量a=1,2,b=2,−3,则
A.a−2b⊥b
B.a=5
C.b在a上的投影向量的模为455
D.a与b的夹角为锐角
11.折扇是我国古老文化的延续,在我国已有四千年左右的历史,“扇”与“善”谐音,折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化,也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1甲),图乙是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分),若两个圆弧BC,AD所在圆的半径分别是3和12,且∠AOD=120∘,则该圆台的
A. 高为62
B.上底面积、侧面积和下底面积之比为16:14:1
C.表面积为62π
D.体积为422π
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知向量a=3,1,b=x,y,若a,b共线,且b=1,则向量b的坐标可以是 .(写出一个即可)
13.已知一个正四棱锥的侧面积为42,底面边长为2,则该正四棱锥的高为 .
14.已知非零向量a,b,对任意实数t∈R,a+tb≥a−b恒成立,则a∣b的取值范围是 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知复数z满足z2=2i(其中i是虚数单位),且复数z在复平面内对应的点在第一象限.
(1)求复数z及z;
(2)若z1=m+i,且z1z是纯虚数,求实数m的值.
16.(15分)已知向量a=1,2,b=x,4,c=4,−x,且向量a与b共线.
(1)求a与c−b夹角的余弦值;
(2)若a+c=10,求t的值.17.(15分)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,满足ab+c+bsinBasinB+bsinC=1.
(1)求角C;
(2)CD是∠ACB的角平分线,若CD=233,△ABC的面积为3,求c的值.
18.(17分)已知圆锥的顶点为P,母线PA,PB所成角的余弦值为14,轴截面等腰三角形的顶角为90∘,若△PAB的面积为215.
(1)求该圆锥的侧面积;
(2)求圆锥的内切球体积.
19.(17分)在△ABC中,P为AB的中点,O在边AC上,BO交CP于R,且AO=2OC,设AB=a,AC=b.
(1)试用a,b表示AR;
(2)若a=2,b=1,⟨a,b⟩=60∘,求∠ARB的余弦值;
(3)若H在BC上,且RH⊥BC,设a=2,b=1,θ=a,b>,若θ∈π3,2π3,求CHCB的取值范围.