山东省菏泽市第一中学2024−2025学年高一下学期4月月考 数学试题（含解析）

这是一份山东省菏泽市第一中学2024−2025学年高一下学期4月月考 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．四等分切割如图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了，则圆柱的侧面积是（ ）

A．B．C．10D．20
2．已知非零向量，，则在方向上的投影向量长度为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ）
A．B．2C．D．
4．在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论：

①与是异面直线；
②相交于一点；
③；
④平面.
其中错误的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．在中,分别为角的对边),则的形状为
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
7．如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用表示，其结果为（ ）
A．B．C．D．
8．在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．的虚部为2D．
10．已知点是三角形的边上的点，且，以下结论正确的有（ ）
A．若点是的中点，，则
B．若平分，则
C．三角形外接圆面积最大值为
D．若，则内切圆半径为2
11．已知直三棱柱中，，点分别为棱的中点，是线段上（包含端点）的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直三棱柱外接球的半径为2
B．三棱锥的体积与的位置无关
C．若为的中点，则过三点的平面截三棱柱所得截面为等腰梯形
D．一只虫子由表面从点爬到点的最近距离为
三、填空题
12．在中，角的对边分别为，且，则的面积为 .
13．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有 对．
14．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为．已知点为的费马点，角所对的边分别为，若，，边上的中线长为，则的值为 ．
四、解答题
15．已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位.
（1）求的值;
（2）记复数，求复数的模.
16．已知单位向量满足
（1）求的值；
（2）设与的夹角为，求的值；
17．在中，对应的边分别为，已知向量,且为边上一点，,且.
(1)求；
(2)求面积的最大值.
18．已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为.
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）求圆锥的内切球的表面积；
（3）求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值.
19．在中，，，对应的边分别为，，，
（1）求；
（2）若为线段内一点，且，求线段的长；
（3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；在（1）的条件下，若，求：的最小值；
参考答案
1．【答案】A
【详解】设圆柱的底面半径为，高为，依题意可得，
所以圆柱的侧面积.
故选A
2．【答案】A
【详解】因为，，
所以，，
所以，
所以在方向上的投影向量长度为.
故选A.
3．【答案】C
【详解】在直角梯形中，，，
则，
直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形，
则有，
所以该平面图形的高为.
故选C.
4．【答案】D
【详解】解：的面积，
，
，
则，
，
，
，
，，，
，
．
故选D．
5．【答案】C
【详解】
对于①，连接，在正方体中，因为，且，
所以，四边形为平行四边形，
所以，
又因为分别是的中点，
所以，所以，
所以与是相交直线，故①错误；

对于②，因为与是相交直线，设交点为，
因为面，所以面，
又面，所以面，
又因为平面平面，
所以，所以相交于一点，故②错误，
对于③，令，故为中点，

因为，分别是，的中点，
所以，又，
则为平行四边形，
所以，而，所以与异面，故③错误；
对于④，由③知，，
又因为平面，平面，
所以平面，即平面，故④正确.
故选C
6．【答案】A
【详解】依题意，利用正弦定理及二倍角公式得，即，又，故，三角形中，故，故三角形为直角三角形，故选A.
7．【答案】D
【详解】设的中点为A，
则，
所以.
故选D
8．【答案】A
【详解】由正弦定理可得：，
，
即，
即，即，
即，所以或（舍去），
所以，则，
因为为锐角三角形，
所以，即，解得：，
因为在上单调递增，
由，可得，所以.
故选A.
9．【答案】ABD
【详解】对于A，因为，
所以，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，因为，所以，
所以的虚部为，C错误；
对于D，因为，所以，
又，所以，D正确.
故选ABD
10．【答案】AB
【详解】对于A，因为点是的中点，所以，
因为，所以，
所以，
故，故A正确；
对于B，由角平分线定理可知，故B正确；
对于C，根据正弦定理可得三角形外接圆半径，即，
因为，所以，所以三角形外接圆面积最小值为，故C错误；
对于D，由上知，则边上的中线长为，则边上的高小于，
所以内切圆直径小于，即半径小于，因为，故D错误.
故选AB
11．【答案】ABD
【详解】对于A，因为，三棱柱为直三棱柱，

如图，故该三棱柱为长方体的一半，
所以直三棱柱外接球即为长方体外接球，
因为，
所以其外接球半径，故A正确.
对于B，如图：

，
因为分别为的中点，所以，
又点在上，所以到的距离为定值，
故的面积为定值，故三棱锥的体积与的位置无关，故B正确.
对于C，如图，连接，

因为分别为的中点，所以，且，
又因为，且，所以，且，
过三点的平面截三棱柱所得截面为梯形，
又，
所以，所以，，
所以，所以，
所以四边形不是等腰梯形，故C错误.
对于D，若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图1，则爬过的最小距离为：；

若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图2，则爬过的最小距离为：；

若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图3，则爬过的最小距离为：；

若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图4，
过作，交于点，
因为为中点，所以 ，所以，
在中，则爬过的最小距离为：
，

故D正确.
故选ABD
12．【答案】或
【详解】因为，由正弦定理可得，
且，则，可得，即，
且，可知，
由余弦定理可得，
即，解得或，
所以的面积为
或.
13．【答案】3
【详解】如图所示：把展开图再还原成正方体，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内
不经过该点的直线是异面直线可得，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有：
AB 和 CD，AB 和 HG，EF 和 HC，共三对，
14．【答案】/
【详解】
由，则，
因为，故，
则，即，
即，，
则，故，故的三内角都小于，
则P点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为；
又，则，
则，解得，故，
因为，
即，
所以，
则.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意得:，即，
所以，所以，，
解得：，.
（2），，，
所以.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为为单位向量，所以，
所以，得到，
则，
则
（2）因为，所以，
而
所以，
即
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，且，
所以，
利用二倍角公式和边化角可得：，
即，
所以，
因为，
所以，
又因为，所以，所以，即.
（2）
因为，
所以，
两边平方得：，
所以，当且仅当时取等号.
由，可得：，
所以.
所以面积的最大值为.
18．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得，
又，所以，
又因为的面积为，
，解得（负值舍去），
又，所以，
圆锥的侧面积.
（2）作出轴截面如图所示：
根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点，
设内切球半径为，即，则，
所以，
由（1）可知，圆锥的高，，
则有，解得，
所以圆锥的内切球的表面积；
（3）由（1）知圆锥的高，
令正四棱柱的底面边长为，高为，
则，
由得，
，
所以正四棱柱的侧面积
，当且仅当，即时等号成立，
所以该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值为.
19．【答案】（1）
（2）
（3）48
【详解】（1）因为
所以，
由正弦定理，
所以
即：，又，所以；
（2）（方法一）因为，所以，
所以，
所以
，及
（方法二）以AB所在的直线为轴，A为坐标原点建立坐标系，如图，
则
则：
所以；
（3）根据柯西不等式：

（当且仅当为正三角形时取等号）
即：的最小值为48.