山东省菏泽市第一中学2024-2025学年高一下学期4月月考 数学试题【含答案】

这是一份山东省菏泽市第一中学2024-2025学年高一下学期4月月考 数学试题【含答案】，共10页。试卷主要包含了单选题 每题5分共40分，多选题 每题6分共18分，填空题 每题5分共15分，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．四等分切割如图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了，则圆柱的侧面积是（ ）
A． B． C．10 D．20
2．已知非零向量，，则在方向上的投影向量长度为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ）
A． B．2 C． D．
4．在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论：
①与是异面直线；
②相交于一点；
③；
④平面.
其中错误的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4
6．在中,分别为角的对边),则的形状为
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
7．如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用表示，其结果为（ ）
A．B．C．D．
8．在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题 每题6分共18分
9．已知复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．的虚部为2D．
10．已知点是三角形的边上的点，且，以下结论正确的有（ ）
A．若点是的中点，，则
B．若平分，则
C．三角形外接圆面积最大值为
D．若，，则内切圆半径为2
11．已知直三棱柱中，，点分别为棱的中点，是线段上（包含端点）的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直三棱柱外接球的半径为2
B．三棱锥的体积与的位置无关
C．若为的中点，则过三点的平面截三棱柱所得截面为等腰梯形
D．一只虫子由表面从点爬到点的最近距离为
三、填空题 每题5分共15分
12．在中，角的对边分别为，且，则的面积为 .
13．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有 对．
14．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为．已知点为的费马点，角所对的边分别为，若，，边上的中线长为，则的值为 ．
四、解答题
15．(13分)已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位.
(1)求的值;
(2)记复数，求复数的模.
16．(15分)已知单位向量满足
(1)求的值；
(2)设与的夹角为，求的值；
17．(15分)在中，对应的边分别为，已知向量,且为边上一点，,且.
(1)求；
(2)求面积的最大值.
18．(17分)已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为.
(1)求该圆锥的侧面积；
(2)求圆锥的内切球的表面积；
(3)求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值.
19．(17分)在中，，，对应的边分别为，，，
(1)求；
(2)若为线段内一点，且，求线段的长；
(3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；在（1）的条件下，若，求：的最小值；
《2025年4月1日高中数学作业》参考答案
7．A【详解】由正弦定理可得：，
，
即，
即，即，
即，所以或（舍去），
所以，则，
因为为锐角三角形，
所以，即，解得：，因为在上单调递增，
由，可得，所以..
8．D【详解】解：的面积，，
，则，
，，，
，，，，．
10．ABD【详解】对于A，因为点是的中点，所以，
因为，所以，
所以，
故，故A正确；
对于B，在中，由正弦定理可得，
因为平分，，
所以，所以，
同理，中，，所以，
又，所以，
所以，故B正确；
对于C，根据正弦定理可得三角形外接圆半径，即，
因为，所以，所以三角形外接圆面积最小值为，故C错误；
对于D，如果直角三角形的话内切圆半径为2,不是直角三角形,半径就不是2,故D正确.
11．对于A，因为，三棱柱为直三棱柱，
如图，故该三棱柱为长方体的一半，如图：
所以直三棱柱外接球即为长方体外接球，
因为，
所以其外接球半径为，故A正确；
对于B，如图： ，
因为分别为的中点，所以，
又点在上，所以到的距离为定值，
故的面积为定值，故三棱锥的体积与的位置无关，故B正确；
对于C，如图，连接，
因为分别为的中点，
所以，且，
又因为，且，所以，且，
过三点的平面截三棱柱所得截面为梯形，
又，
所以，所以，
所以,所以，
所以四边形不是等腰梯形，故C错误；
对于D，若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图1，则爬过的最小距离：为；
若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图2，则爬过的最小距离为：；
若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图3，则爬过的最小距离为：，
若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图4，
过作，交于点，
因为为中点，所以 ，所以，
在中，则爬过的最小距离为：
，故D正确.
12．或 13．3 14．/
【详解】由，则，
因为，故，
则，即，
即，，
则，故，故的三内角都小于，
则P点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为；
又，则，
则，解得，故，因为，
即，
所以，
则.
15．【详解】（1）由题意得:，即，
所以，所以，，解得：，.
（2），，，所以.
16．【详解】（1）因为为单位向量，所以，所以，得到，
则，则
（2）因为，所以，
而 所以， 即
17．【详解】（1）因为，且，
所以，
利用二倍角公式和边化角可得：，
即，所以，因为，
所以，又因为，所以，所以，即.
（2）因为，所以，
两边平方得：，
所以，当且仅当时取等号.
由，可得：，
所以.所以面积的最大值为.
18．【详解】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得，
又，所以，
又因为的面积为，
，解得（负值舍去），又，所以，圆锥的侧面积.
（2）作出轴截面如图所示：
根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点，
设内切球半径为，即，则，所以，
由（1）可知，圆锥的高，，则有，解得，
所以圆锥的内切球的表面积；
（3）由（1）知圆锥的高，
令正四棱柱的底面边长为，高为，则，
由得，，
所以正四棱柱的侧面积
，当且仅当，即时等号成立，
所以该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值为.
19．【详解】（1）因为
所以，由正弦定理， 所以
即：，又，所以；
（2）（方法一）因为，所以，
所以，
所以
，及
（方法二）以AB所在的直线为轴，A为坐标原点建立坐标系，如图，
则 则：
所以；
（3）根据柯西不等式：

（当且仅当为正三角形时取等号）
即：的最小值为48.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
C
D
C
A
D
A
ABD
AB
题号
11









答案
ABD