2025--2026学年河北省宁晋县第二中学下册4月阶段考试高二数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年河北省宁晋县第二中学下册4月阶段考试高二数学试题 [含答案]，共21页。试卷主要包含了 函数，则函数在处切线的斜率为， 下列命题中是真命题有等内容，欢迎下载使用。
（满分150分，120分钟完成）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1. 下列函数的图象与直线相切于点的是（）
AB. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求出对应斜率是否为1，并由切点进行逐一判断即可得出结论.
【详解】A．，在的切线斜率为0，不符合；
B．在的切线斜率为1，所以切线为，成立；
C．D．两个函数均不经过，不符合.
故选:B．
2. 已知函数的图象在两个不同点处的切线相互平行，则的取值可以为（）
A. B. 1C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】由整理可得，然后由基本不等式可得.
【详解】由，得，
则，
依题意可得，且，
整理得，
所以，所以，
经验证，当分别取2，时，满足题意.
故选：D.
3. 有不同的红球5个，不同的白球4个．从中任意取出两个不同颜色的球，则不同的取法有（）
A. 20种B. 16种C. 9种D. 32种
【答案】A
【解析】
【分析】采用分步乘法计数原理进行分析，第一步取红球，第二步取白球，将两次的取法数相乘可得结果.
【详解】依题意，第一步，取红球，有5种不同取法；第二步，取白球，有4种不同取法．
根据分步乘法计数原理可知，共有（种）不同的取法.
4. 若曲线在点处的切线与直线平行，则（）
A. B. C. 0D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导数，利用求出并验证即得.
详解】函数，求导得，
依题意，，即，解得，而点不在直线上，
所以.
故选：D
5. 设函数，则关于的不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，定义域为R，得到为奇函数，即，求导，得到在R上单调递增，变形得到，从而，求出解集.
【详解】令，定义域为R，
，
故为奇函数，即，
，
故在R上单调递增，
，
故，
即，
所以，，
解得或.
故选：B
6. 函数，则函数在处切线的斜率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数几何意义求对应点处切线斜率即可.
【详解】由，则，即在处切线的斜率为.
故选：D
7. 若对于任意的及任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得对任意的恒成立，分类讨论，和，当时，，令，对求导，求出的最大值，即可得出答案.
【详解】因为对于任意的及任意的，不等式恒成立，
则对任意的恒成立，
所以，
则对任意的恒成立，
当时，成立；
当时，时，不等式左边，，所以不成立；
当时，，
令，，
令，解得：；令，解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有最大值，
所以，
所以，
综上，.
故选：A.
8. 已知函数，对任意的，恒成立，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设函数，则得到在区间上恒成立，令，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】设函数，
因为对任意的，，恒成立，
则，在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，，
由二次函数的性质，可得在上为单调递减函数，
所以，所以，所以，
解得，即实数a的取值范围为．
故选：A．
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度(单位：是，判断下列说法正确的是（）
A. 运动员在时的瞬时速度是
B. 运动员在时的瞬时速度是
C. 运动员在附近以的速度上升
D. 运动员在附近以的速度下降
【答案】BD
【解析】
【分析】求出时的瞬时速度,再结合瞬时速度的概念判断.
【详解】由已知，，
瞬时速度为，
因此该运动员在附近以的速度下降，
故选：BD．
10. 下列命题中是真命题有（）
A. 若，则是函数的极值点
B. 函数的切线与函数图象可以有两个公共点
C. 已知函数，该函数在区间上的平均变化率为
D. 函数在处的切线方程为，则当时，
【答案】BC
【解析】
【分析】举反例说明A，利用特例说明B，根据平均变化率判断C，利用导数的定义判断D.
【详解】对于A：若，则，且，
则在R上单调递增，故无极值点，
即不能由得到是函数的极值点，故A错误；
对于B：取，则是的切线，
切线与有两个公共点，故B正确；
对于C：函数，该函数在区间上的平均变化率为，故C正确；
对于D：因函数在处的切线方程.
则当时，，
则当时，，故D错误.
故选：BC
11. 已知函数，下列说法正确的是（）
A. 处取得极小值
B. 有3个零点
C. 在区间上的值域为
D. 曲线的对称中心为
【答案】AB
【解析】
【分析】求导分析单调性可得A正确；结合零点存在定理可得B正确；由单调性可得C错误；由可得D错误.
【详解】由函数可得，定义域为，
令，
所以当或时，；
当时，，
即函数在上单调递减；在上单调递增.
对于A，由以上分析可得在处取得极小值，故A正确；
对于B，因为，，，，由零点存在定理可得有3个零点，故B正确；
对于C，由B可得在区间上的值域为，故C错误；
对于D，，
所以曲线的对称中心为，故D错误.
故选：AB
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 用1，2，3这三个数字能写出________个没有重复数字的偶数．
【答案】5
【解析】
【分析】利用分类加法计数原理计算可得结果.
【详解】用1，2，3这三个数字能写出1个一位偶数为2；
用1，2，3这三个数字能写出2个没有重复数字的两位偶数为12和32；
用1，2，3这三个数字能写出2个没有重复数字的三位偶数为132和312．
所以用1，2，3这三个数字共能写出5个没有重复数字的偶数．
故答案为：5
13. 函数，在点处的切线方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据导数的几何意义，即可求切线方程.
【详解】由，得，，则，
所以在点处的切线方程为．即．
故答案为：
14. 函数的导函数，满足关系式，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】因关系式中有，故考虑对原函数两边求导，再代入解方程即得.
【详解】由进行求导得：，当时，可得：，解得：.
故答案为:
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 求下列函数的导数：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据导数的加减法即可得到答案；
（2）根据导数的乘法运算即可得到答案；
（3）根据导数的除法运算即可得到答案；
（2）根据导数的乘法运算和复合函数的求导即可得到答案.
【小问1详解】
【小问2详解】
【小问3详解】
．
【小问4详解】
．
16. 某政协委员从泉城济南前往北京参加会议，他有两类快捷途径：一是乘坐飞机，二是乘坐动车，假如这天适合他乘坐的飞机有3个航班，动车有4个班次．
（1）此委员这一天从济南到北京共有多少种快捷途径？
（2）如果该委员先从家乡乘坐汽车到达济南市，再乘坐飞机前往北京参加会议，其中汽车有4班，飞机有3个航班，此委员想从家乡到达北京共有多少种途径？
【答案】（1）7（2）12
【解析】
【分析】（1）由分类加法计数原理直接计算可得结果；
（2）由分步乘法计数原理，算出每一步的结果再相乘计算可得结果.
【小问1详解】
分成两类：
第一类：乘坐飞机，飞机共有3个航班可选择，即3种方法；
第二类：乘坐动车，动车有4个班次可选择，即有4种方法；
由分类加法计数原理可得此委员这一天从济南到北京共有种快捷途径.
【小问2详解】
分成两步：
第一步：从家乡乘坐汽车到达济南市，有4种选择；
第二步：再乘坐飞机前往北京，有3种选择；
由分步乘法计数原理可知此委员想从家乡到达北京共有种途径.
17. 已知函数．
（1）求的极值；
（2）比较，，的大小；
（3）若关于x的方程有实数解，直接写出实数m的取值范围．
【答案】（1）极小值－1，无极大值
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求导，分析导函数的符号，得出单调性和极值；
（2）利用（1）中的单调性和指数函数的符号进行判断；
（3）结合的图像，将方程解的个数转化为图像的交点的个数．
【详解】（1）函数的定义域为，，
于是时，单调递增；
时，单调递减，
又，则在处取到极小值，无极大值．
（2）由（1）知，在区间上单调递减，故．
又因为当时，，故，所以．
因为，所以．
（3）结合（1）中的单调性，函数的大致图像如下：
方程的解的个数可以看成和直线在同一坐标系下图像交点的个数，
由图像知，当m的取值不小于最小值即可，即．
18. 已知函数和．
（1）当时，求证：是方程的唯一实根；
（2）若对任意，函数的图像总在函数图像的上方，求实数m的取值范围．
【答案】（1）详见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用导数求得有唯一零点，进而证得是方程的唯一实根；
（2）先将题给条件转化为在上恒成立，按m分类讨论并利用导数求得的单调性和极值，进而求得实数m的取值范围．
【小问1详解】
令，
则，
则在上为减函数，又，
则有唯一零点，则当时，
是方程的唯一实根.
【小问2详解】
对任意，函数的图像总在函数图像的上方，
则在上恒成立，
令，
则，
若时，在上恒成立，
则在上单调递减，又，
则恒成立，这与在上恒成立矛盾，不符合题意；
若时，方程的判别式
当即时，在上恒成立，
则在上恒成立，
则在上单调递增，又，
则在上恒成立，即对任意，
函数的图像总在函数图像的上方；
当即时，方程有两个不相等的实根，
设两根为，且，则，
则方程有两个不相等的正实根，且
则当时，，
则在上单调递减，又，
则在上，这与在上恒成立矛盾，不符合题意.
综上，实数m的取值范围为．
19. 设函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在上的最值．
【答案】（1）增区间为；减区间为
（2）最大值为9，最小值为－
【解析】
【分析】（1）对函数求导后，利用导函数的正负确定函数的单调区间及极值；
（2）利用极值及端点函数值，比较大小可得答案.
【小问1详解】
，
令，则或，
列表如下：
∴的增区间为；减区间为；
【小问2详解】
由上知在上的极小值为，
又，
所以在上的最大值为9，最小值为－．－3
1
＋
0
－
0
＋
单调递增
单调递减
单调递增