河北省石家庄市第二中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试卷含解析（word版）

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这是一份河北省石家庄市第二中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试卷含解析（word版），共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数，则z的虚部为（）
A. 3B. 3iC. -3D. -3i
2. 已知向量，，且，则（）
A. B. C. D.
3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则（）
A. B. C. D.
4. 已知点，则在上的投影向量为（）
A. B. C. D.
5. 在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD中点，若，则（）
A. B. C. D.
6. 2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要（）时间（单位：min）
A. B. C. 6D. 12
7. 若复数满足，则|z|的最大值为（）．
A. B. C. D.
8. 如图所示，等边的边长为2，位边上的一点，且，也是等边三角形，若，则的值是（）
A. B.
C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 下列各式的运算结果是纯虚数的是（）
A. B. C. D.
10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（）．
A. 若，，，则有两解
B. 若，则
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则为等腰三角形
11. 已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知，，的面积满足，点为的外心，满足，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．）
12. 已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为___________.
13. 在中，角所对的边分别为，若边上的高，则的周长为______．
14. 在中，角所对的边分别为，且点满足，，则______．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 记的内角的对边分别为，且满足．
（1）求的值；
（2）若，求角的大小．
16. 如图，中，，，，，为的中点，与相交于点．
（1）若，求的值；
（2）求的余弦值．
17. 在中，角的对边分别为，满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的最小值；
（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
18. 2025年春晚《秧BOT》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形中，在点处放置机器狗，在的中点处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知米，足球运动速度为米/秒，设机器狗在点处捕捉到足球，若点在矩形内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与所成夹角分别，．
（1）当长度不受限制，时，机器狗以米/秒的速度捕捉足球，则为何值时，机器狗能捕捉成功？
（2）已知足球与机器狗运动方向所成夹角为，长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值；
（3）当机器狗的速度为米/秒时，若无论足球往哪个方向运动，机器狗总能捕捉足球成功，则的长度至少为多少米？
19. 如图，已知，，与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点）．
（1）求外接圆的直径；
（2）直接写出面积的最大值（无需过程）；
（3）记与的夹角为，试将表示为的函数，并求的最大值．