2025-2026学年下学期河北石家庄二中高一数学月考试卷含答案

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1. 已知复数 z=i3+i ，则 z 的虚部为( )
A. 3 B. 3i C. -3 D. −3i
2. 已知向量 a=t,1,b=2,−3 ，且 a//a−b ，则 t= ( )
A. −23 B. 23 C. −32 D. 32
3. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 C=150∘,sin2A:sin2B=12:25 ,且 b=5 ,则 c= ( )
A. 7 B. 215 C. 37 D. 67
4. 已知点 A1,3,B2,4,C0,5 ，则 AC 在 AB 上的投影向量为( )
A. 0,0 B. 2,2
C. 12,12 D. 1,1
5. 在 △ABC 中, D 是 BC 上靠近点 C 的三等分点, E 为 AD 中点,若 BE=xAB+yAC ,则 x= ( )
A. 23 B. −45 C. −56 D. 67


6. 2025 年 10 月, 某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相, 彰显中国汽车品牌创新实力.如图, 此段长江的两岸近似看作平行, 宽度约为 1000 米.若汽车从 A 地出发,以 52km/h 的静水速度向对岸航行,水流速度为 5 km/h ，要使航程最短，大约需要( )时间(单位: min )
A. 43 B. 62 C. 6 D. 12
7. 若复数 z= 满足 z−1+2i=3 ，则 z 的最大值为( )
A. 3−5 B. 3+5 C. 3−2 D. 3+2

8. 如图所示，等边 △ABC 的边长为 2， D . 位边 AC 上的一点，且 AD=AAC ， △ADE 也是等边三角形，若 BE⋅BD=449 ，则 λ 的值是( )
A. 23 B. 33
C. 34 D. 13
二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.)
9. 下列各式的运算结果是纯虚数的是( )
A. i1+i2 B. 1−i2
C. 8+6i3+4i D. 8−6i3+4i
10. 在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ，下列说法正确的是( )
A. 若 A=30∘,b=4,a=3 ，则 △ABC 有两解 B. 若 a2+b20 ,所以 λ=23 .
9. BD
解: A 项中 i1+i2=i⋅2i=−2 ,故 A 错误; B 项中, 1−i2=−2i ,故 B 正确;
C 项中, 8+6i3+4i=8+6i3−4i25=48−14i25 ,故 C 错误; D 项中, 8−6i3+4i=8−6i3−4i25=−2i ,故 D 正确.
10. AC
对于 A ,由正弦定理得 asinA=bsinB ,则 312=4sinB ,所以 sinB=231 ,可得 sinAsinBcsAcsB>1 ,且 A,B 均为锐角,所以 sinAsinB>csAcsB ,
则 csC=−csA+B=−csAcsB−sinAsinB>0 ,所以 C 也为锐角,
则 △ABC 为锐角三角形，故 C 正确；
对于 D ,由 acsA=bcsB ,由正弦定理得, sinAcsA=sinBcsB ,
则 sin2A=sin2B ,所以 2A=2B 或 2A+2B=π ,则 A=B 或 A+B=π2 ,
所以 △ABC 为等腰三角形或直角三角形，故 D 错误.
11. ABD
因为 3a2−b2−c2+4S=0 ,所以 3a2−b2−c2+4×12bcsinA=0 ,
即 3a2−b2−c2+2bcsinA=0 ,又 b2+c2−a2=2bc⋅csA ,所以 −23bccsA+2bcsinA=0 ,
所以 tanA=sinAcsA=3 ,又 A∈0,π ,所以 A=π3 .
对于 A:S=12bc⋅sinA=12×24×32=63 ,故 A 正确;
对于 B: CB⋅AO=AB−AC⋅AO=AB⋅AO−AC⋅AO=AB⋅AOcs∠OAB−AC⋅AOcs∠OAC ,
因为点 O 为 △ABC 的外心,所以 AOcs∠OAB=12AB,OAcs∠OAC=12AC ,
则 CB⋅AO=12AB2−12AC2=12×62−42=10 ,故 B 正确;
对于 C : 由余弦定理 a2=b2+c2−2bc⋅csA=16+36−2×24×12=28 ,
由正弦定理 asinA=2R=2AO ,则 AO=272×32=2213 ,故 C 错误;
对于 D : 因为 AO=λAB+μAC ,则 AO⋅AB=λAB⋅AB+μAC⋅AB=λ×62+μ⋅4×6×12=36λ+12μ ,
即 6λ+2μ=3 ①，同理 AO⋅AC=λAB⋅AC+μAC⋅AC=λ⋅4×6×12+μ×42=12λ+16μ ，
即 12λ+16μ=8 ②,联立①②,解得 λ=49,μ=16 ,故 D 正确.
12.8,−15 13. 15 14. 33
15. (1) 2;2C=2π3 .
(1)由已知得 sinC−A=2sinA+2csA+BsinA ,
即 sinC−A=2sinA−2csCsinA ,即 sinCcsA−csCsinA=2sinA−2csCsinA ,
即 sinCcsA+csCsinA=2sinA ,即 sinC+A=2sinA ,即 sinB=2sinA .
由正弦定理可知 b=2a ,因此 ba=2 .7 分
(2)由余弦定理可得 csC=a2+b2−c22ab=a2+4a2−7a22a⋅2a=−12 ,又 C∈0,π ,所以 C=2π3 .13 分
16. (1) λ=34;2−45 .
(1) CP=λCM=λ3CA+2λ3CB=2λ3CN+2λ3CB ,
因为 P,B,N 三点共线,设 PB=mBN ,即 CB−CP=mCN−mCB ,
CP=1+mCB−mCN ，故 2λ3=−m ， 2λ3=1+m ，所以 2λ3+2λ3=1 ，解得 λ=34 ； .6 分
(2)由(1)知， BN=12a−b ， CM=13a+23b ，又 ∠C=90∘ ， AC=6 ， BC=9 ，故 a⋅b=0 ，
CM⋅BN=13a+23b⋅12a−b=16a2+0−23b2=16×36−23×81=−48 , ..8 分
CM=13a+23b2=19a2+49a⋅b+49b2=19×62+0+49×92=210, .10 分
BN=12a−b2=14a2−a⋅b+b2=14×62−0+92=310, .12 分
则 cs∠MPN=cs⟨BN,CM⟩=CM⋅BNCM⋅BN=−48210×310=−45 .15 分
17. 1π3;212;323,33 .
(1)因为 a2+b2−ab=c2 ，所以 a2+b2−c2=ab ，由余弦定理可得
csC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12 ,因为 C∈0,π ,所以 C=π3 ; 3 分
(2)因为 a2+b2=a+b2−2ab=64−2ab ，所以 c2=a2+b2−ab=64−3ab ，
由基本不等式可知 8=a+b≥2ab ，当且仅当 a=b=4 时等号成立，
所以 ab≤16,c2≥16 即 c≥4 ,所以当 a=b=c=4 时, △ABC 周长有最小值为 12 ; .6 分
(3)由正弦定理可得 asinA=bsinB=csinC ,所以 a=4sinA,b=4sinB ,
因为 A+B+C=π ,所以 B=2π3−A ,
则 ab=16sinAsin2π3−A=16sinAsin2π3csA−cs2π3sinA
=16sinA32csA+12sinA=83sinAcsA+8sin2A
=43sin2A−4cs2A+4=8sin2A−π6+4 , .11 分
因为 △ABC 是锐角三角形,有 0