吉林省松原市2025-2026学年高三第一次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份吉林省松原市2025-2026学年高三第一次模拟考试数学试卷（含答案解析），共15页。试卷主要包含了已知定义在上的奇函数满足，已知复数z满足，已知平面向量，，满足，已知是虚数单位，则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
2．如图，在平面四边形中，满足，且，沿着把折起，使点到达点的位置，且使，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．12B．C．D．
3．等比数列的各项均为正数，且，则( )
A．12B．10C．8D．
4．已知定义在上的奇函数满足：（其中），且在区间上是减函数，令，，，则，，的大小关系（用不等号连接）为（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在中，点为线段上靠近点的三等分点，点为线段上靠近点的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（ ）
A．B．1C．D．i
7．若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知平面向量，，满足：，，则的最小值为( )
A．5B．6C．7D．8
9．点是单位圆上不同的三点，线段与线段交于圆内一点M，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知是虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知全集，集合，，则阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
12．已知整数满足，记点的坐标为，则点满足的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称，当时，（其中是自然对数的底数，若，则实数的值为_____.
14．已知向量，，满足，，，则的取值范围为_________.
15．曲线在处的切线的斜率为________.
16．若的展开式中所有项的系数之和为，则______，含项的系数是______（用数字作答）.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，，，且，A为BE的中点将沿AD折到位置如图，连结PC，PB构成一个四棱锥．
（Ⅰ）求证；
（Ⅱ）若平面．
①求二面角的大小；
②在棱PC上存在点M，满足，使得直线AM与平面PBC所成的角为，求的值．
18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC＝CD＝2，E为AB的中点，底面四边形ABCD满足∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝1．
（Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．
19．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）已知为曲线上的一个动点，求线段的中点到直线的最大距离．
20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）设点，若直线与曲线相交于、两点，求的值
21．（12分）如图所示，在三棱柱中，为等边三角形，，，平面，是线段上靠近的三等分点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
22．（10分）已知的面积为，且.
（1）求角的大小及长的最小值；
（2）设为的中点，且，的平分线交于点，求线段的长.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.
【详解】
①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；
②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；
③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；
④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.
综上所述，年纪最大的是丙
故选：C.
本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.
2．C
【解析】
过作于，连接，易知，，从而可证平面，进而可知，当最大时，取得最大值，取的中点，可得，再由，求出的最大值即可.
【详解】
在和中，，所以，则，
过作于，连接，显然，则，且，
又因为，所以平面，
所以，
当最大时，取得最大值，取的中点，则，
所以，
因为，所以点在以为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8，
所以的最大值为椭圆的短轴长的一半，故最大值为，
所以最大值为，故的最大值为.
故选：C.
本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.
3．B
【解析】
由等比数列的性质求得，再由对数运算法则可得结论．
【详解】
∵数列是等比数列，∴，，
∴．
故选：B.
本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键．
4．A
【解析】
因为，所以，即周期为４，因为为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图在（０，１）单调递增，因为，因此，选Ａ．
点睛：函数对称性代数表示
（1）函数为奇函数 ，函数为偶函数（定义域关于原点对称）；
（2）函数关于点对称，函数关于直线对称，
（3）函数周期为T,则
5．B
【解析】
，将,代入化简即可.
【详解】
.
故选：B.
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.
6．A
【解析】
由虚数单位i的运算性质可得，则答案可求.
【详解】
解：∵，
∴，，
则化为，
∴z的虚部为.
故选：A.
本题考查了虚数单位i的运算性质、复数的概念，属于基础题.
7．B
【解析】
复数，在复平面内对应的点在第二象限，可得关于a的不等式组，解得a的范围.
【详解】
，
由其在复平面对应的点在第二象限，
得，则.
故选：B.
本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．B
【解析】
建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再将的最小值转化为用该关系式表达的算式，利用基本不等式求得最小值.
【详解】
建立平面直角坐标系如下图所示，设，，且，由于，所以.
.所以
，即.
.当且仅当时取得最小值，此时由得，当时，有最小值为，即，，解得.所以当且仅当时有最小值为.
故选：B
本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.
9．D
【解析】
由题意得，再利用基本不等式即可求解．
【详解】
将平方得，
（当且仅当时等号成立），
，
的最小值为，
故选：D．
本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题．
10．B
【解析】
根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果.
【详解】
.
故选B
本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型.
11．D
【解析】
先求出集合N的补集，再求出集合M与的交集，即为所求阴影部分表示的集合.
【详解】
由，，可得或，
又
所以.
故选：D.
本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题.
12．D
【解析】
列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率.
【详解】
因为是整数，所以所有满足条件的点是位于圆（含边界）内的整数点，满足条件的整数点有
共37个，
满足的整数点有7个，则所求概率为.
故选：.
本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的应用能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
先推导出函数的周期为，可得出，代值计算，即可求出实数的值.
【详解】
由于函数是定义在上的奇函数，则，
又该函数的图象关于直线对称，则，
所以，，则，
所以，函数是周期为的周期函数，
所以，解得.
故答案为：.
本题考查利用函数的对称性计算函数值，解题的关键就是结合函数的奇偶性与对称轴推导出函数的周期，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
14．
【解析】
设，，，，由，，，根据平面向量模的几何意义，可得A点轨迹为以O为圆心、1为半径的圆，C点轨迹为以B为圆心、1为半径的圆，为的距离，利用数形结合求解.
【详解】
设，，，，
如图所示：
因为，，，
所以A点轨迹为以O为圆心、1为半径的圆，C点轨迹为以B为圆心、1为半径的圆，
则即的距离，
由图可知，.
故答案为：
本题主要考查平面向量的模及运算的几何意义，还考查了数形结合的方法，属于中档题.
15．
【解析】
求出函数的导数，利用导数的几何意义令，即可求出切线斜率.
【详解】
，
，
，
即曲线在处的切线的斜率.
故答案为：
本题考查了导数的几何意义、导数的运算法则以及基本初等函数的导数，属于基础题.
16．
【解析】
的展开式中所有项的系数之和为，，，项的系数是 ，故答案为（1），（2）.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．Ⅰ详见解析；Ⅱ①，②或．
【解析】
Ⅰ可以通过已知证明出平面PAB，这样就可以证明出；
Ⅱ以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可以求出相应点的坐标，求出平面PBC的法向量为、平面PCD的法向量，利用空间向量的数量积，求出二面角的大小；
求出平面PBC的法向量，利用线面角的公式求出的值.
【详解】
证明：Ⅰ在图1中，，，
为平行四边形，，
，，
当沿AD折起时，，，即，，
又，平面PAB，
又平面PAB，．
解：Ⅱ以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由于平面ABCD
则0，，0，，1，，0，，1，
1，，1，，0，，
设平面PBC的法向量为y，，
则，取，得0，，
设平面PCD的法向量b，，
则，取，得1，，
设二面角的大小为，可知为钝角，
则，．
二面角的大小为．
设AM与面PBC所成角为，
0，，1，，，，
平面PBC的法向量0，，
直线AM与平面PBC所成的角为，
，
解得或．
【点睛】本题考查了利用线面垂直证明线线垂直，考查了利用向量数量积，求二面角的大小以及通过线面角公式求定比分点问题.
18．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）．（Ⅲ）﹣．
【解析】
（Ⅰ）由题知，如图以点为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，计算，证明，从而平面PAC，即可得证；
（Ⅱ）求解平面PDE的一个法向量，计算，即可得直线PC与平面PDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）求解平面PBE的一个法向量，计算，即可得二面角D﹣PE﹣B的余弦值．
【详解】
（Ⅰ）PC⊥底面ABCD，，
如图以点为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，，
，又，平面PAC，
平面PDE，平面PDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）设为平面PDE的一个法向量，
又，
则，取，得
，
直线PC与平面PDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）设为平面PBE的一个法向量，
又
则，取，得，
，
二面角D﹣PE﹣B的余弦值﹣.
本题主要考查了平面与平面的垂直，直线与平面所成角的计算，二面角大小的求解，考查了空间向量在立体几何中的应用，考查了学生的空间想象能力与运算求解能力.
19．（1）．．（2）最大距离为．
【解析】
（1）直接利用极坐标方程和参数方程的公式计算得到答案.
（2）曲线的参数方程为，设，计算点到直线的距离公式得到答案.
【详解】
（1）由，得，
则曲线的直角坐标方程为，即．
直线的直角坐标方程为．
（2）可知曲线的参数方程为（为参数），
设，，
则到直线的距离为
，
所以线段的中点到直线的最大距离为．
本题考查了极坐标方程，参数方程，距离的最值问题，意在考查学生的计算能力.
20．（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）.
【解析】
（1）在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的普通方程，利用两角和的正弦公式以及可将直线的极坐标方程化为普通方程；
（2）设直线的参数方程为（为参数），并设点、所对应的参数分别为、，利用韦达定理可求得的值.
【详解】
（1）由，得，，
曲线的普通方程为，
由，得，直线的直角坐标方程为；
（2）设直线的参数方程为（为参数），
代入，得，则，
设、两点对应参数分别为、，，，
，，.
本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数方程几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题.
21．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由，故，所以四边形为菱形，再通过，证得，所以四边形为正方形，得到.
（2）根据（1）的论证，建立空间直角坐标，设平面的法向量为，由求得，再由，利用线面角的向量法公式求解.
【详解】
（1）因为，故，
所以四边形为菱形，
而平面，故.
因为，故，
故，即四边形为正方形，故.
（2）依题意，.在正方形中，，
故以为原点，所在直线分别为、、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系；
如图所示：
不纺设，
则，
又因为，所以.
所以.
设平面的法向量为，
则，
即，
令，则.于是.
又因为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
本题考查空间线面的位置关系、线面成角，还考查空间想象能力以及数形结合思想，属于中档题.
22．（1），；（2）.
【解析】
（1）根据面积公式和数量积性质求角及最大边；
（2）根据的长度求出，再根据面积比值求，从而求出．
【详解】
（1）在中，由，得，
由，得，
所以，
所以，，
因为在中，，所以，
因为（当且仅当时取等），
所以长的最小值为；
（2）在三角形中，因为为中线，
所以，，所以，
因为，所以，
所以，
由（1）知，所以，或，，
所以，
因为为角平分线，，，
或2，
所以，或，
所以．
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算,余弦定理解三角形及三角形面积公式的应用，属于中档题．