吉林省2025学年高三第一次模拟考试数学（含答案）

这是一份吉林省2025学年高三第一次模拟考试数学（含答案），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则等于( )
A. B. C. D.
2.如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为( )
A. 12 B. 16C. 24 D. 24
3.若复数z满足（其中i是虚数单位），则（ ）
A. 1B. 2C. 5D. 15
4.单位圆O：x2+y2=1上有两个动点Mx1,y1，Nx2,y2，且满足x1x2+y1y2=12，则x1+x2+y1+y2的取值范围为（ ）
A. 2−1,2+1B. 3−1,3+1C. 2,3D. −6,6
5.从某市参加升学考试的学生中随机抽查1 000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是( )
A. 总体指的是该市参加升学考试的全体学生B. 样本是指1 000名学生
C. 样本量指的是1 000名学生D. 个体指的是该市参加升学考试的每一名学生
6.已知圆C:x2+y2−2x=0，过圆C外一点P作圆的两条切线，切点分别为A,B，三角形PAB的面积为312，则PC的长为（ ）
A. 33B. 233C. 3D. 2
7.若数列an的前n项和Sn满足Sn=n2+n+3，则（ ）
A. 数列an为等差数列
B. 数列an为递增数列
C. S4−S2，S6−S4，S8−S6不为等差数列
D. an+Snn的最小值为172
8.设为虚数单位，，若是纯虚数，则( )
A. 2 B. C. 1 D.
二、多项选择题（本大题共3小题.每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）
9.已知随机变量X，Y，其中，已知随机变量X的分布列如下表
若，则（ ）
A. B. C. D.
10.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1−c,0,F2c,0，直线l:bx+ay−bc=0与C相交于点M，与C的一条渐近线相交于点N,C的离心率为e，则（ ）
A. 若NF1⊥NF2，则e=2
B. 若MF1⊥MF2，则e=22
C. 若NF2=2MF2，则e=2
D. 若MF1≥5MF2，则e≤2
11.若{an}是公比为q(q≠0)的等比数列，记Sn为{an}的前n项和，则下列说法正确的是( )
A. 若a1＞0，0＜q＜1，则{an}为递减数列B. 若a1＜0，0＜q＜1，则{an}为递增数列
C. 若q＞0，则S4＋S6＞2S5D. 若bn＝，则{bn}是等比数列
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.函数y＝(x＞－1)的最小值为________.
13.等比数列an的公比为q，其通项为an，如果a2+a5a1+a31+q3=25，则q= ；数列(−1)n+lg2qn的前5项和为 ．
14.某大学决定从甲、乙两个学院分别抽取100人、60人参加演出活动，其中甲学院中女生占，乙学院中女生占.从中抽取一人恰好是女生的概率为__________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.在△ABC中，CD为AB边上的高，已知AC+BC=AB+CD.
(1)若AB=2CD，求tanC2的值；
(2)若AB=kCD，k>0，求tanC的最小值及tanC取最小值时k的值.
16.在数列{an}中，a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
17.已知函数．
（1）设f'x为fx的导函数，求f'x在上的最小值；
（2）令a∈R，证明：当时，在上．
18.已知函数，其中.
(1)证明：当时，；
(2)若时，有极小值，求实数的取值范围；
(3)对任意的恒成立，求实数的取值范围.
19.在三棱锥A-BCD中，E,H分别是线段AB,AD的中点，F,G分别是线段CB,CD上的点，且CFBF=CGDG=12.求证:
（1）四边形EFGH是梯形；
（2）AC,EF,GH三条直线相交于同一点.
2025学年高三第一次模拟考试
数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】＝＝＝，所以＝，
所以＝＝＝.
2.如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为( )
A. 12 B. 16C. 24 D. 24
【答案】A
【解析】如图，设圆锥侧面展开图的圆心角为θ，
则由题意可得2π×4＝12θ，
则θ＝，
在△POP′中，OP＝OP′＝12，
则小虫爬行的最短路程为PP′＝＝12.
3.若复数z满足（其中i是虚数单位），则（ ）
A. 1B. 2C. 5D. 15
【答案】C
【解析】，
∴ .
故选：C.
4.单位圆O：x2+y2=1上有两个动点Mx1,y1，Nx2,y2，且满足x1x2+y1y2=12，则x1+x2+y1+y2的取值范围为（ ）
A. 2−1,2+1B. 3−1,3+1C. 2,3D. −6,6
【答案】D
【解析】连接OM,ON，因为x1x2+y1y2=12，即OM→⋅ON→=12，则∠MON=π3．
不妨设Mcsθ,sinθ，Ncsθ+π3,sinθ+π3，θ∈0,2π，
则x1+x2+y1+y2=csθ+csθ+π3+sinθ+sinθ+π3 =3+32csθ+3−32sinθ=66+24⋅csθ+6−24sinθ =6sin5π12csθ+cs5π12sinθ=6sin5π12+θ，
故−6≤x1+x2+y1+y2≤6.
故选：D．
5.从某市参加升学考试的学生中随机抽查1 000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是( )
A. 总体指的是该市参加升学考试的全体学生B. 样本是指1 000名学生
C. 样本量指的是1 000名学生D. 个体指的是该市参加升学考试的每一名学生
【答案】C
【解析】对于C，样本量是1 000，故C错误．
6.已知圆C:x2+y2−2x=0，过圆C外一点P作圆的两条切线，切点分别为A,B，三角形PAB的面积为312，则PC的长为（ ）
A. 33B. 233C. 3D. 2
【答案】B
【解析】因为C:x2+y2−2x=0可化为x−12+y2=1，
设∠APC=α，S△PAB=12|PA|2sin2α，
三角形APC直角三角形，∠PAC=90°，CA=1，
所以PA=1tanα，所以12⋅1tan2αsin2α=312，
即12⋅1tan2α⋅2sinα⋅csαsin2α+cs2α=312，所以1tan2α⋅tanα1+tan2α=312
整理可得：tan3α+tanα−43=0，tanα−3tan2α+3tanα+4=0
tan2α+3tanα+4>0，所以tanα−3=0，
解得tanα=3，α∈0,π2，所以α=π3；
因此在Rt△APC中，PC=1sinα=233.
故选：B.
7.若数列an的前n项和Sn满足Sn=n2+n+3，则（ ）
A. 数列an为等差数列
B. 数列an为递增数列
C. S4−S2，S6−S4，S8−S6不为等差数列
D. an+Snn的最小值为172
【答案】D
【解析】当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2+n+3−n−12−n−1−3=2n−1+1=2n，
当n=1时，a1=5，∴an=5,n=12n,n≥2，
对于A：a1=5不满足an=2n，故A不正确；
对于B：a1=5>a2=4，故B不正确；
对于C：S4−S2=a4+a3=14，S6−S4=a6+a5=22，S8−S6=a8+a7=30，三项可构成等差数列，且公差为8，,故C不正确；
对于D：当n=1时，an+Snn=2S1=10，
当n≥2时，an+Snn=2n+n2+n+3n=3n+3n+1，
根据对勾函数的性质知y=3n+1n+1在n≥2时单调递增，
则当n=2时，3n+3n+1有最小值1720,b>0的左、右焦点分别为F1−c,0,F2c,0，直线l:bx+ay−bc=0与C相交于点M，与C的一条渐近线相交于点N,C的离心率为e，则（ ）
A. 若NF1⊥NF2，则e=2
B. 若MF1⊥MF2，则e=22
C. 若NF2=2MF2，则e=2
D. 若MF1≥5MF2，则e≤2
【答案】ACD
【解析】由题意可知：双曲线C的渐近线为F1−c,0,F2c,0,y=±bax，
因为直线l的斜率k=−ba，则直线l与双曲线C的一条渐近线平行，
可知∠NOF2=∠NF2O,tan∠NOF2=ba,cs∠NF2O=ac,sin∠NF2O=bc，
联立方程y=baxbx+ay−bc=0，解得x=c2y=bc2a，即Nc2,bc2a，
对于选项A：因为F1N→=3c2,bc2a,F2N→=−c2,bc2a，
若NF1⊥NF2，则F1N→⋅F2N→=−3c24+b2c24a2=−3c24+a2−c2c24a2=0，
解得c2=4a2，即c=2a，所以e=ca=2，故A正确；
对于选项B：若MF1⊥MF2，则MF1=F1F2sin∠NF2O=2b,MF2=F1F2cs∠NF2O=2a，
且MF1−MF2=2b−2a=2a，可得ba=2，
所以e=ca=1+ba2=5，故B错误；
对于选项C：若NF2=2MF2，可知M为NF2的中点，可得M3c4,bc4a，
且M在双曲线C上，则3c42a2−bc4a2b2=1，
即9c216a2−c216a2=1，解得c2a2=2，所以e=ca=2，故C正确；
对于选项D：因为MF1−MF2=2a，即MF1=MF2+2a，
且cs∠NF2O=F1F22+MF22−MF122F1F2⋅MF2，即4c2+MF22−2a+MF224c⋅MF2=ac，
解得MF2=c2−a22a,MF1=3a2+c22a，
若MF1≥5MF2，即3a2+c22a≥5c2−a22a，解得c2a2≤2，
所以e=ca≤2，故D正确；
故选：ACD.
11.若{an}是公比为q(q≠0)的等比数列，记Sn为{an}的前n项和，则下列说法正确的是( )
A. 若a1＞0，0＜q＜1，则{an}为递减数列B. 若a1＜0，0＜q＜1，则{an}为递增数列
C. 若q＞0，则S4＋S6＞2S5D. 若bn＝，则{bn}是等比数列
【答案】ABD
【解析】A，B显然正确；
C中，若a1＝1，q＝，则a6＜a5，
即S6－S5＜S5－S4，故C错误；
D中，＝＝(q≠0)，
∴{bn}是等比数列，D正确.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.函数y＝(x＞－1)的最小值为________.
【答案】9
【解析】因为x＞－1，则x＋1＞0，
所以y＝
＝＝(x＋1)＋＋5
≥2＋5＝9，
当且仅当x＋1＝，
即x＝1时等号成立，
所以函数的最小值为9.
13.等比数列an的公比为q，其通项为an，如果a2+a5a1+a31+q3=25，则q= ；数列(−1)n+lg2qn的前5项和为 ．
【答案】12或2 −16或14
【解析】等比数列an的公比为q，由a2+a5(a1+a3)(1+q3)=25，得a1q+a1q4(a1+a1q2)(1+q3)=25，
整理得2q2−5q+2=0，所以q=12或q=2；
当q=12时，(−1)n+lg2qn=(−1)n−n，数列{(−1)n+lg2qn}的前5项和为−1+(−1−2−3−4−5)=−16，
当q=2时，(−1)n+lg2qn=(−1)n+n，数列{(−1)n+lg2qn}的前5项和为−1+(1+2+3+4+5)=14，
所以数列{(−1)n+lg2qn}的前5项和为−16或14.
故答案为：12或2；−16或14.
14.某大学决定从甲、乙两个学院分别抽取100人、60人参加演出活动，其中甲学院中女生占，乙学院中女生占.从中抽取一人恰好是女生的概率为__________．
【答案】
【解析】用A和分别表示抽取一人是来自甲学院与乙学院，B表示抽取一人恰好是女生，则根据已知有P(A)＝＝，P()＝，且P(B|A)＝，P(B|)＝，所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝＋＝.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.在△ABC中，CD为AB边上的高，已知AC+BC=AB+CD.
(1)若AB=2CD，求tanC2的值；
(2)若AB=kCD，k>0，求tanC的最小值及tanC取最小值时k的值.
【答案】解 (1)设a，b，c分别为角A，B，C所对的边，CD=ℎ，则a+b=c+ℎ.
在△ABC中，由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab=a+b2−c2−2ab2ab=c+ℎ2−c22ab−1=ℎ2+2cℎ2ab−1.
由12absinC=12cℎ，得ab=cℎsinC，所以1+csCsinC=ℎ2+2cℎ2cℎ=1+ℎ2c.
因为AB=2CD，所以c=2ℎ，于是1+csCsinC=1+ℎ2c=54，
而tanC2=2sinC2csC22cs2C2=sinC1+csC=45.
(2)法一：由(1)知，1+ℎ2c=1tanC2.
如图，在△ABC中，过B作AB的垂线EB，且使EB=2ℎ，
则CE=CB=a，则AC+CE=a+b≥AE=c2+4ℎ2，
即c+ℎ2≥c2+4ℎ2，所以0