吉林省松原市2023-2024学年高二下学期期末测试 数学试卷（含解析）

这是一份吉林省松原市2023-2024学年高二下学期期末测试 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1． （ ）
A．6B．7C．8D．9
2．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．设 的个位数为，则（ ）
A．269B．270C．279D．286
4．泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即.现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率不超过的概率约为（参考数据:）（ ）
A．B．C．D．
5．设等比数列的前项和为，且，则的公比为（ ）
A．1或 B．1或3C．或 D．或3
6．某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派1名教师，则不同的分配方法有（ ）
A．80种B．90种C．120种D．150种
7．若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列结论不正确的是（ ）
A．两个变量的线性相关系数决定两变量相关程度的强弱，且相关系数越小，相关性越强
B．若两个变量的线性相关系数，则与之间不具有线性相关性
C．在一组样本数据中，先剔除部分异常数据，再根据最小二乘法求得线性回归方程为，这样相关系数变大
D．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为
10．若函数在区间上有极值，则a的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
11．袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球和2个白球，每次随机取1个，有放回地取球，则下列说法正确的是（ ）
A．若规定摸到3次红球即停止取球，则恰好取4次停止取球的概率为
B．若进行了10次取球，记为取到红球的次数，则
C．若规定摸到3次红球即停止取球，则在恰好取4次停止取球的条件下，第1次摸到红球的概率为
D．若进行了10次取球，恰好取到次红球的概率为，则当时，最大
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知一系列样本点满足，，由最小二乘法得到与的回归方程，现用决定系数来判断拟合效果（越接近1，拟合效果越好），若，则 ．（参考公式：决定系数）
13．设是等差数列的前项和，且数列是公差为1的等差数列，则的通项公式为 .
14．已知函数，若方程有两个不同的根，则的取值范围是 .若在上单调递增，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．设依次是等比数列的前3项，其中为正数.
(1)求；
(2)求数列的前项和.
16．某校为了解学生阅读文学名著的情况，随机抽取了校内200名学生，调查他们一年时间内的文学名著阅读的达标情况，所得数据如下表：
(1)根据上述数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为阅读达标情况与性别有关联?
(2)从阅读不达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人进行座谈，再从这6人中任选2人，记这2人中女生的人数为，求的分布列和数学期望.
附：，其中.
17．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)当时，求在上的最小值与最大值.
18．某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（三类题目知识题量占比分别为，，）.甲回答这三类问题中每道题的正确率分别为，，.
(1)若甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率.
(2)知识竞赛规则：随机从题库中抽取2n道题目，答对题目数不少于n道，即可以获得奖励.若以获得奖励的概率为依据，甲在和之中选其一，则应选择哪个？
19．罗尔 中值定理是微分学中的一条重要定理，根据它可以推出拉格朗日中值定理和柯西 中值定理，它们被称为微分学的三大中值定理. 罗尔中值定理的描述如下：如果函数满足三个条件：①在闭区间上的图象是连续不断的，②在开区间内是可导函数，③，那么在内至少存在一点，使得等式成立.
(1)设方程有一个正根，证明：方程 必有一个小于的正根.
(2)设函数是定义在上的连续且可导函数，且.证明：对于，方程在内至少有两个不同的解.
(3)设函数.证明：函数在区间内至少存在一个零点.
参考答案
1．【答案】D
【分析】利用组合数公式及阶乘运算计算即得.
【详解】.
故选D.
2．【答案】A
【分析】根据分析可知，结合正态分布的对称性运算求解.
【详解】因为，则，可知，
又因为，所以.
故选A.
3．【答案】C
【分析】运用列举得出数列周期，然后运用周期性求和解题即可.
【详解】因为的个位数分别为，
所以数列是周期为4的周期数列，
所以.
故选C.
4．【答案】B
【分析】100个元件，次品率不超过，即次品数为0或1，根据题干公式，求即可.
【详解】由题意知，则，所以.
因为，
所以次品率不超过的概率约为.
故选B.
5．【答案】D
【分析】运用等比数列的性质公式求解即可.
【详解】由，可得，
则，故，
解得或.
故选D．
6．【答案】D
【分析】对5个人先进行两种情况的分组，再进行全排列，即可得答案.
【详解】先对5个人先进行两种情况的分组，一是分为1，1，3，有种，二是分为1，2，2，共有种，
再分配，可得不同的分配方法有种.
故选D.
7．【答案】A
【分析】设出直线与曲线和的切点分别为和，由公切线得到方程解出切点坐标，计算求解即可.
【详解】由，得，由，得.
设直线与曲线相切于点，
与曲线相切于点，
则，故.又，
解得，所以直线过点，斜率为1，
即直线的方程为.
故选A.
8．【答案】D
【分析】对展开式两边同时求导，再令即可求解得结果.
【详解】对两边求导，
得.
令，得.
故选D.
【方法总结】先对展开式的两边同时求导，然后令即可.
9．【答案】ACD
【分析】根据相关系数的概念和性质逐项分析判断.
【详解】对于A：越大，与之间的线性相关性越强，故A错误；
对于B：若，则样本数据不具有线性相关性，故B正确；
对于C：去掉异常数据，则相关性变强，变大，故C错误；
对于D：若所有样本点都在直线上，
则这组样本数据完全相关，且正相关，
所以这组样本数据的样本相关系数为1，故D错误.
故选ACD.
10．【答案】BC
【分析】将原函数存在极值点问题转化为导函数有异号零点问题，分离参数，转化为两函数有交点问题，数形结合求解参数范围，再结合选项判断即可.
【详解】由函数得，
因为函数在区间上有极值，
所以在区间上有异号零点，
即在区间上有异号根，
所以函数与函数的图象有交点，
如图：
又，由图象可知，，所以，
结合选项知，a的取值可能为或.
故选BC.
11．【答案】BCD
【分析】应用独立事件概率乘积公式判断A；根据n次独立重复实验计算判断BD；计算条件概率判断C.
【详解】每次取到红球的概率为，若规定摸到3次红球即停止，则恰好取4次停止取球的概率为，故A错误；
，则，故B正确；
记恰好取4次停止取球为事件，第1次摸到红球为事件，则，
，所以，故C正确；
，当最大时，
即
所以即解得，
又，所以，当为6时，最大，故D正确.
故选BCD.
12．【答案】0.96
【分析】依据决定系数的公式计算即可.
【详解】因为．
13．【答案】
【分析】根据题意结合等差数列求和公式可得，结合题意解得，即可得通项公式.
【详解】设数列的公差为，则，
可得.
因为数列是公差为1的等差数列，则 ，解得，
所以.
14．【答案】
【分析】由题意方程有两个不同的根，等价于有两个不同的根，进而解出的取值范围；构造函数，求出最小值，由在上恒成立解出即可.
【详解】函数的定义域为，
方程有两个不同的根，等价于有两个不同的根，
即直线与函数的图象有两个交点.因为，
当；当.
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，当时，，
所以，故的取值范围是；
若在上单调递增，
则在上恒成立，
令，则，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
当时，；当时，，
此时存在使得在上单调递减，在上单调递增，
不满足题意；
当时，在上单调递增，符合题意；
当时，令，令，
易知在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
综上，.
15．【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）运用等比数列的性质求解即可；
（2）运用分组求和,结合对数性质计算即可.
【详解】（1）依题意可得，
整理得，解得或1.
因为为正数，所以，
所以的前3项依次是，所以.
（2）由（1）知，
所以，
所以
.
16．【答案】(1)阅读达标情况与性别有关联；
(2)分布列见详解，
【分析】（1）计算，根据小概率值作出结论；
（2）由分层抽样得出男女生人数，再由超几何分布求出概率，列出分布列，求期望即可.
【详解】（1）零假设为：阅读达标情况与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为阅读达标情况与性别有关联.
（2）由题可知抽取的女生人数为，抽取的男生人数为，
则的可能取值为，
，，，
所以的分布列如下：
故.
17．【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)答案见解析.
【分析】（1）先求导函数再根据导数正负求出单调区间即可；
（2）先根据函数的单调性结合自变量的区间分类讨论求最值即可；
【详解】（1）.
令，得；
令，得；令，得.
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）当时，,
由（1）知，在处取得极大值，且极大值为.
当时，在上单调递增，
.
当时，，
若，则，
因为，所以.
18．【答案】(1)
(2)选
【分析】（1）根据题意，由全概率公式即可得到结果；
（2）当时，X为甲答对题目的数量，则，求出概率，当时，分情况分析，求出概率，再比较大小.
【详解】（1）设所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件，，，
所选的题目回答正确为事件B，
则
，
所以该同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为；
（2）当时，X为甲答对题目的数量，则，
故当时，甲获得奖励的概率，
当时，甲获得奖励的情况可以分为如下情况：
①前10题答对题目的数量大于等于6，
②前10题答对题目的数量等于5，且最后2题至少答对1题，
③前10题答对题目的数量等于4，且最后2题全部答对，
故当时，甲获得奖励的概率
，
因为，即，
所以甲应选.
19．【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
(3)证明见详解
【分析】（1）令函数，由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得；
（2）令，由罗尔中值定理知，至少存在一个，使得，至少存在一个，使得，可得结论；
（3）令，则，由罗尔中值定理知，存在，使得，故函数区间内至少存在一个零点.
【详解】（1）证明：令函数，
显然在上连续，在内可导，
则，
由条件知，
由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得，
即方程必有一个小于的正根.
（2）令，则.
由，得，所以.
因为，所以，
由罗尔中值定理知，至少存在一个，使得，
即.
同理，因为，由罗尔中值定理知，
至少存在一个，使得，所以.
故方程在内至少存在两个不同的解.
（3）证明：令，则.
由，得，
则，又因为是连续且可导函数，
由罗尔中值定理知，存在，使得，
则，所以.
故函数区间内至少存在一个零点.
【方法总结】在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，本题明确罗尔中值定理的描述，通过构造函数，结合导数的运算和性质求解.
阅读达标
阅读不达标
合计
女生
70
30
100
男生
40
60
100
合计
110
90
200
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
0
1
2