吉林省白山市2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试数学试卷（含解析）

吉林省白山市2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试

数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．设全集，集合，则等于（    ）

A． B． C． D．

2．生物入侵指生物由原生存地入侵到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，.据此，累计繁殖数量比现有数据增加3倍所需要的时间约为（，）（    ）

A．6.9天 B．11.0天 C．13.8天 D．22.0天

3．“”是“直线与直线平行的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知符号函数，偶函数满足，当时，，则（    ）

A．

B．

C．

D．

5．已知函数是定义在上的奇函数，，当时，，则（    ）

A． B． C．2 D．3

6．已知函数的图象关于直线x=2对称，则函数f（x）图象的大致形状为（    ）

A． B．

C． D．

7．已知函数，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

8．下列关于命题的说法错误的是

A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”

B．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件

C．若命题：，，则，

D．命题“，”是真命题

9．曲线在点处的切线方程为，则（    ）

A． B． C．4 D．8

10．已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

11．关于函数，有如下列结论：①函数有极小值也有最小值；②函数有且只有两个不同的零点；③当时，恰有三个实根；④若时，，则的最小值为．其中正确结论的个数是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，若存在实数，，，（）满足，则（     ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．命题“不成立”是真命题，则实数的取值范围是______．

14．在△ABC中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线，于点，，且，(，)，若的最小值为3，则正数的值为___________.

15．已知函数，则不等式的解集为___________.

16．已知，若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为______．

三、解答题

17．化简求值：

（1）；

（2）已知，求的值．

18．已知定义域为的函数是奇函数．

(1)求实数、的值；

(2)判断函数在的单调性并给予证明；

(3)求函数的值域．

19．已知函数.

(1)当时，求的单调区间与极值；

(2)若在上有解，求实数a的取值范围.

20．已知：函数.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.

21．已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．

22．已知函数，．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，若关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围；

(3)设时，证明：．

参考答案

1．D

【分析】求出全集和，由此能求出．

【详解】解：全集，1，2，3，4，，

集合，2，，，，

，2，3，，

，．

故选：D．

2．C

【分析】根据，，，求得，进而得到求解.

【详解】因为，，，

所以，

解得.

设初始时间为，初始累计繁殖数量为，累计繁殖数量增加3倍后的时间为，

则天.

故选：C

3．A

【分析】求出当时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】当时，，即，解得或.

当时，直线的方程为，直线的方程为，此时；

当时，直线的方程为，直线的方程为，此时.

因为，因此，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.

故选：A.

4．C

【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用函数的周期性以及题中定义可判断BC选项.

【详解】对于A选项，，A错；

对于B选项，，B错；

对于C选项，对任意的，，则，C对；

对于D选项，，而，D错.

故选：C.

5．D

【分析】由函数是定义在上的奇函数，结合，可得函数的周期为4，然后利用周期和及奇函数的性质，分别对化简，使其自变量在区间上，然后代入解析式中求解即可

【详解】解：因为函数是定义在上的奇函数，所以，

因为，所以，

所以，所以，

所以，所以的周期为4，

所以，

，

因为当时，，

所以

，

故选：D

6．A

【分析】根据函数图象的变换和的图象关于对称得到，即，然后再根据对数函数的图象和图象的变换判断即可.

【详解】因为的图象关于对称，所以，解得，则，所以的图象可由函数的图象沿轴翻折，再向右平移2个单位得到.

故选：A.

7．B

【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再利用函数的单调性化简得，解不等式即得解.

【详解】因为，所以是奇函数，

当时，是增函数，此时，

又，

所以在R上是增函数．又因为，，

所以可化为

所以，

解得．

故选：B

8．D

【分析】利用原命题与逆否命题的关系可判断出A选项的正误；根据充分必要性判断出B选项的正误；利用特称命题的否定可判断出C选项的正误；利用作商法和指数函数的单调性可判断出D选项的正误.

【详解】对于A选项，命题的逆否命题，只需把原命题的结论否定当条件，条件否定当结论即可，A选项正确；

对于B选项，若函数在区间上为增函数，则，所以，“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，B选项正确；

对于C选项，特称命题的否定为全称，C选项正确；

对于D选项，当时，由于函数为增函数，则，，D选项错误.故选D.

【点睛】本题考查四种命题的关系、充分不必要条件的判断、特称命题的否定以及特称命题真假的判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.

9．B

【解析】求函数导数，利用切线斜率求出，根据切线过点求出即可.

【详解】因为，

所以，

故，

解得，

又切线过点，

所以，解得，

所以，

故选：B

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.

10．C

【解析】构造函数令，依题意知为偶函数且在区间单调递增；不等式，利用单调性脱去“”即可求得不等式的解集．

【详解】解：令，则，

因为，

所以，当时，，即在区间单调递增；

又是上的偶函数，

所以是，，上的偶函数，

又；

故，

于是，不等式化为，

故，

解得，又，

故选：．

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数奇偶性，考查化归思想与运算能力，属于难题．

11．C

【分析】求导后，根据正负可确定的单调性；根据在上恒成立，结合极值和最值的定义可知①正确；利用零点存在定理可说明②正确；作出图象，将问题转化为与的交点个数问题，采用数形结合的方式可确定③错误；根据图象和函数值域可确定④正确.

【详解】，

当时，；当时，；

在，上单调递减，在上单调递增；

对于①，在处取得极小值，极小值为，

当时，恒成立，在上恒成立，

为的最小值，则既有极小值也有最小值，①正确；

对于②，，，，

在和上各有一个零点，

又当时，恒成立，有且只有两个不同的零点，②正确；

对于③，，图象如下图所示，

由图象可知：当时，与有且仅有两个不同交点，

即当时，有且仅有两个不等实根，③错误；

对于④，若时，，结合图象可知：，即的最小值为，④正确.

故选：C.

【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的相关性质的问题，其中考查了方程根的个数问题，解决此类问题的基本方法有：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根来确定根的个数；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

12．C

【分析】根据题意分段函数的定义，逐个分析即可.

【详解】由得，

，

由得，

，

对应函数图像如图所示，

若，

则，A错；

，关于对称，，B错；

由，

，得，

即，C对；

由，得(),

，D错.

故选：C

13．

【详解】恒成立，当时，成立；当时，

得；

14．

【分析】由平面向量基本定理可得，进而又由点，，三点共线，则，根据“1”的作用由基本不等式的性质，可解得的值．

【详解】解：在中，点是的三等分点，，

，

，，，

，，三点共线，，

，

当且仅当，即时取等号，的最小值为，

即，，．

故答案为：．

15．

【分析】由奇偶性定义、导数判断的奇偶性及单调性，再应用奇函数、单调性求解不等式即可.

【详解】由题设，且定义域为，故为奇函数，

又，在定义域上递增，

∴，可得，

∴，解得，

∴原不等式解集为.

故答案为：.

16．

【分析】利用导函数研究出函数的单调性，极值情况，画出函数图象，并将函数的根的问题转化为两函数交点个数问题，数形结合求出实数的取值范围.

【详解】当时，，，

当时，，当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，

且，当时，恒为正，

当时，，，

当时，，当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

且，

画出的图象如下：

要想关于x的方程有3个不同实根，则要函数与有3个不同的交点即可，

显然当时，符合要求.

故答案为：

17．（1）；（2）.

【分析】(1)根据指数与对数的运算公式求解即可；

(2)根据诱导公式，转化为其次问题进行求解即可.

【详解】(1)原式        

.        

(2)原式          

.

18．(1)

(2)单调递减，证明见详解

(3)

【分析】（1）利用，列方程求出、的值，然后验证函数为奇函数即可；

（2）任取，然后通过计算的正负来判断证明单调性；

（3）以为基础，利用不等式的性质计算的范围，即为函数的值域.

【详解】（1）定义域为的函数是奇函数

，，

即，解得，

即，

又

是奇函数，

；

（2）由（1）得，其为定义域在上的单调减函数，

任取，

，

，，

，即，

函数是上单调递减函数；

（3），

，

，

，

，

即函数的值域为

19．(1)在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，无极大值

(2)

【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可；

（2）分和两种情况分析求解，当时，不等式变形为在，上有解，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案．

(1)

当时，，所以

当时；当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时函数有极小值，无极大值.

(2)

因为在上有解，

所以在上有解，

当时，不等式成立，此时，

当时在上有解，

令，则

由（1）知时，即，

当时；当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，，所以，

综上可知，实数a的取值范围是.

【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题或有解问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围．

20．（1）单调递增；（2）.

【解析】（1）由得到，求导，再讨论其正负即可.

（2）根据在上单调递增，则，恒成立，转化，恒成立，令求其最小值即可.

【详解】（1）当时，，

所以，

令，则，

当时，，递减；

当时，，递增；

所以取得最小值，

所以在上成立，

所以在上递增；

（2）因为在上单调递增，

所以，恒成立，

即，恒成立，

令，则，

当时，当时，，递减；

当时，，递增；

所以取得最小值，

所以

当时，易知，不成立，

当a=0时，成立，

综上：，

所以实数的取值范围.

【点睛】方法点睛：1、利用导数研究函数的单调性，当f(x)不含参数时，关键在于准确判定导数的符号；当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．

2、可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，构建不等式求解，要注意“＝”是否取到．

21．（1）；（2）直线的方程为，切点坐标为．

【分析】（1）求导，由导数在切点处的导数值可求切线斜率，根据点斜式即可求解；

（2）设切点，求出切线方程，根据切线方程经过，代入切线方程即可求解.

【详解】(1)∵，

∴点在曲线上．

∵，

∴在点处的切线的斜率为

∴切线的方程为．

即.                                           

(2)设切点为，

则直线的斜率为，

∴直线的方程为：

.

又∵直线过点(0,0)，

∴，

整理得，

∴，

∴，

∴直线的方程为，切点坐标为．

22．(1)在上单调递增，在上单调递减

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）将代入，对其求导，利用导数与函数的单调性的关系即可得解；

（2）先利用导数求得的最大值，再将问题转化为，从而得到，构造函数，求得即可得解；

（3）结合（2）中结论取特殊值得到恒成立，进而得到，利用累加法即可得证，注意的验证.

【详解】（1）当时，，，则．

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减．

（2）当时，．

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减．

所以．

由不等式恒成立，得恒成立，

即在时恒成立，

令，，则．

当时，单调递增；当时，单调递减．

所以的最大值为，

所以，即实数b的取值范围是．

（3）由（2）知，在上恒成立，

当，时，在上恒成立，

取，由得，即，则，

所以，，…，，

上式相加得，，

所以．

又因为当时，，

所以．

【点睛】结论点睛：恒成立问题：

（1）恒成立；恒成立．

（2）恒成立；恒成立．

（3）恒成立；恒成立；

（4），，．