贵州省六盘水市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份贵州省六盘水市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时长；120分钟试卷满分：150分）
第I卷（选择题，共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1. 已知复数，则（ ）
A. 13B. C. D. 5
【答案】C
解析：由题意：.
故选：C
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：由题，解得，所以，
又，所以.
故选：B.
3. 空间两条直线互相平行的一个充分条件是（ ）
A. 直线没有交点B. 直线与同一个平面所成角相等
C. 直线都平行于同一个平面D. 直线都垂直于同一个平面
【答案】D
解析：对于A，若直线没有交点，则可能异面，可能平行，故A错误；
对于B，若与同一个平面所成的角相等，则直线可能相交，
比如圆锥的母线和底面所成角都相等，但圆锥的母线都相交，故B错误；
对于C，若都平行于同一个平面，则直线可能相交，故C错误；
对于D，若都垂直于同一个平面，则直线平行，符合充分条件，故D正确.
故选：D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：由，得，所以，
所以，所以，所以.
故选：C.
5. 直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 相切或相交
【答案】A
解析：由圆，得圆心，半径为，
所以圆心到的距离为，
又因为，所以，
所以直线与圆相交.
故选：A.
6. 与椭圆有公共焦点且离心率的双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
解析：椭圆的焦点坐标为.
可设双曲线方程为：，
则，
所以所求双曲线方程为.
故选：A
7. 已知都是正数，向量，若，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：因为且，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故的最小值是.
故选：B.
8. 已知函数若方程有四个实数根且，则的值是（ ）
A B. 0C. 1D. 2
【答案】A
解析：根据题意，作出函数的草图如下：
由图可知，当时，方程有四个实数根，
且，关于直线对称，所以；
又，所以，，且，
所以.
所以.
故选：A
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若点的坐标是，则下列选项正确的有（ ）
A. B.
C. D. 准线方程为
【答案】BC
解析：由点的坐标是，再由抛物线的定义，，得，故B正确，A错误；
因为，所以准线方程为，故D错误；
由，得抛物线的方程为，将代入方程得，即，
当时，，直线的方程为，
代入，得，即，解得或，
所以.如图：
当时，，直线的方程为，
代入，得，即，解得或，
所以.如图：
所以C正确；
故选：BC.
10. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，以为横坐标，为纵坐标，下列选项中正确的是（ ）

A. 小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为
B. 当时小球达到最高点
C. 小球往复运动一次经过的时间为秒
D. 当时，小球向下运动
【答案】ACD
解析：对A：因为，所以小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为，故A正确；
对B：因为，所以当时小球位于平衡位置，故B错误；
对C：因为，所以小球往复运动一次经过的时间为秒，故C正确；
对D：因为，所以，因为正弦函数在上单调递减，所以当时，小球向下运动，故D正确.
故选：ACD
11. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，平面平面，，则下列说法正确的是（ ）
A. 三棱锥的四个面都是直角三角形
B. 四棱锥的外接球体积为
C. 当时，异面直线与所成角为
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】ABD
解析：，是直角三角形，
底面是边长为的正方形，所以是直角三角形，
又是平面与平面的交线，，则平面，
平面，可得：，故是直角三角形，
又是正方形，，，平面，
故平面，又平面，故平面平面，
为平面与平面的交线，平面，
平面，可得：，是直角三角形，
三棱锥的四个面都是直角三角形，A选项正确；
把四棱锥补成长方体，如下图所示
则四棱锥的外接球的直径就是长方体的体对角线，
又，，
则该长方体体对角线长度，
即四棱锥的外接球的半径，
外接球体积，故B选项正确；
以为原点，方向为轴，过作垂线垂直平面，垂足为，
以方向为轴，建立空间坐标系，
，，，
当时，，则，，
由三角形面积，解得，
则，故，
，，
，C选项错误；
设直线与平面所成角为，
设点到平面的距离为，即点的坐标的绝对值为，
又，在中，，
又，由基本不等式，
当且仅当时成立，即，故最大值为，
即，此时，
，
，D选项正确.
故选：ABD
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 经过两点的直线的一般式方程为___________.
【答案】
解析：因为直线经过两点，
所以由两点式可得直线的方程为，即.
故答案为：.
13. 四边形中，，以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为___________.
【答案】
解析：如图：
形成的几何体是下方为圆柱，上方为圆锥的组合体.
因为，，所以圆柱的底面半径为1，高为1，圆锥的底面半径为1，母线长为.
所以，，，
所以该几何体的表面积为.
故答案为：
14. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围是___________.
【答案】
解析：因为双曲线的渐近线的斜率小于，所以.
又，，
设，则，
则，
因为，
所以，
即.
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或清算步骤.）
15. 已知三个内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，的面积为，求，.
【答案】（1）
（2）
（1）
由正弦定理，，
因为，所以，
所以,
所以，
因为，所以，所以.
又，所以.
（2）
由余弦定理：，所以；
又.
所以.
所以.
16. 某中学有50名入团积极分子在参加学校团课培训后进行团知识测试，根据测试成绩得到如图所示的频率分布直方图.数据的分组依次为，.
（1）求成绩在的入团积极分子的人数；
（2）若成绩在前25%的学生可获得“优秀学员”的称号，则成绩至少要达到多少分才可以被评为“优秀学员”？
（3）从低于60分的入团积极分子中随机抽取2名学生，求这2名学生成绩在同一分组的概率.
【答案】（1）8 （2）
（3）
（1）
因为，
可得.
所以成绩在的入团积极分子的人数约为人.
（2）
问题可转化为根据频率分布直方图估计数据的上四分位数.
因为，，
所以成绩的上四分位数在区间内，且等于.
即成绩至少要达到分才可以被评为“优秀学员”.
（3）
成绩在入团积极分子的人数为人，记为；
成绩在入团积极分子的人数为人，记为.
从这5人中随机抽取2人，基本事件有：，，，，，，，，，，共10个.
其中这2名学生成绩在同一分组对应的基本事件有：，，，，共4个.
设事件：这2名学生成绩在同一分组，则.
17. 如图，在正三棱柱中，为棱的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（1）
因为为等边三角形，为中点，所以.
又三棱柱为正三棱柱，所以平面，
又平面，所以.
因为平面，，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）
过作，垂足为，连接.如图：
因为，所以，所以，
.
所以，，
设二面角，则，
所以，
所以.
18. 已知椭圆的一个顶点为，左焦点为，离心率为，为椭圆上的动点、为坐标原点，为的中点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当的面积最大时，求直线的方程；
（3）过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
（1）
由题意：，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）
因为，，所以.
如图：
设点所在直线，当直线与椭圆相切，且时，的面积取得最大值.
将代入，得，
整理得：，
由，
又，所以
此时点坐标为：.
所以直线方程为：，整理得：.
（3）
因为直线的斜率不能为0，可设直线的方程为：，
代入，整理得：.
设，，
则，，
所以，
所以.
由.
设，，因为在上单调递增，所以当时，取得最小值5.
所以.
所以面积的最大值为：.
19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程为，一般式方程可表示为.
（1）若直线的方向向量为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若平面经过三点，平面的一般式方程为，直线为平面与平面的交线，求平面的一般式方程，并求直线的单位方向向量（写出一个即可）；
（3）已知集合，记集合中所有点构成的几何体为中所有点构成的几何体为.求几何体的体积和的表面积.
【答案】（1）
（2）平面的一般式方程为；直线的一个单位方向向量为或
（3）的体积；的表面积为
（1）
平面一般式方程为，
则平面的一个法向量，设直线l与平面所成角为，
所以，
即直线l与平面所成角的正弦值为.
（2）
因为，所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
所以平面的一个法向量为，
又平面经过，所以平面的点法式方程为，
即；
因为平面的一般式方程为，则平面的一个法向量，
设直线的一个方向向量，
又直线为平面和平面的交线，
则，令，则，
所以直线的一个方向向量为，
所以直线的一个单位方向向量为或；
（3）
集合，所以集合是以原点为中心，边长为2的正方体，
，当时，即，
根据题意知是平面的一般方程，且过，
则，形成的是一个三棱锥，如图所示，

由对称性，所以形成的立体几何图形由8个相同的三棱锥组成，
体积，
当时，的一部分如图所示，

则由对称性，表面由8个边长为的正三角形6个边长为的正方形组成，