贵州省六盘水市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份贵州省六盘水市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 已知向量，满足，，，则， 已知函数，若，则， 已知数列满足，则， 下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时长：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.答题时，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
第I卷（选择题，共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题意，，，
∴.
故选：A.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为，则.
故选：A.
3. 复数满足，则（ ）
A. B. C. 3D. 5
【答案】B
【详解】因为，所以，
.
故选：B.
4. 已知向量，满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题意，
∵，，，
∴，
解得，
∴，
故选：A.
5. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则的离心率为（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】D
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，
由两条渐近线的夹角为，且，
所以，
所以双曲线的离心率.
故选：D.
6. 已知函数，若，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【详解】函数，函数定义域为，
，所以是偶函数，
所以；
故选：D.
7. 将4辆车停放到5个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与甲车相邻停放，则不同的停放方法种数为（ ）
A 6B. 12C. 18D. 24
【答案】B
【详解】因为客车甲占两个车位且乙车与客车甲相邻停放，
所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车有种排法，与余下的两辆车全排有种排法，
所以共有种不同的停放方法.
故选：B.
8. 已知数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】∵
又，∴成以首项为，公比为的等比数列
，，即．
故选：C
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知直线，和平面，，下列说法中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
【答案】BD
【详解】对于A，若，，则与可能相交、平行或异面，故A错误；
对于B，若，，则，故B正确；
对于C，若，，则或，故C错误；
对于D，若，，则，故D正确.
故选：BD.
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 样本数据7，8，6，8，4，7，3，9的下四分位数为4
B. 的展开式中所有项的系数和与二项式系数和相等
C. 已知随机变量，若，则
D. 成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数的值越接近于1
【答案】BC
【详解】选项A，排序数据：3，4，6，7，7，8，8，9；, ，下四分位数为：，A错误；
选项B，令，得得所有项的系数和为，二项式系数和为，B正确
选项C，，，
，，C正确.
选项D，样本相关系数的值越接近于-1，也是相关程度越强，D错误.
故选：BC
11. 定义在区间上的函数满足，，且对任意的，都有，则（ ）
A.
B.
C. 不等式在区间上恒成立
D. 若，都有，则的最小值为
【答案】AB
【详解】，，
又，，
又，所以时，，
对于A，，故A正确；
对于B，，，故B正确；
对于C，根据题意只能推导时，，
，也符合题意，故C错误；
对于D，时，，,
，，,
则的最小值为，故D错误；
故选：AB.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 记等差数列的前项和为，已知，，则的公差为_____.
【答案】
【详解】设等差数列的公差为，
因为，所以，即，
又，所以，解得.
故答案为：.
13. 椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块，，它们可分别在横槽和纵槽中滑动，在直尺上的点处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆.现以横槽和纵槽所在直线分别为轴和轴建立直角坐标系，若，是的中点，则的轨迹方程为_____.
【答案】
【详解】设x轴上的点，y轴上的点，点，
则由，又是的中点，
所以，
所以即，
所以的轨迹方程为.
故答案为：
14. 理想状态下，在一个底面直径和高均为圆柱形石材中，挖去一个半径为的球体后，剩余石材最多还能打磨出_____个体积最大的小球.（参考数据：）
【答案】30
【详解】由题意，
要在剩余空间打磨最大的小球，需满足：
与圆柱侧面相切（小球球心到侧面距离等于小球半径），与圆柱底面（或顶面）相切（小球球心到底面距离等于），与挖去的大球相切（两球心距离等于），
设小球坐标为，由几何知识得，
，
解得：，
此为满足接触条件的最大半径.
接着求每层小球数量：
小球中心位于半径的圆周上，
设每层放个小球，相邻小球中心距离为,
∵中心间弦长公式为，
∴即，，
∵，
∴，
解得，
∴每层恰能放置 15 个相切的小球.
下面求解此圆柱能放置多少层小球：
小球中心高度为，底部小球范围为，顶部小球范围为，
间隙为，
顶部底部小球不会重叠，
小球中心到挖去球体中心的最小距离为，
∴无法再放置一层小球，
∴挖去球后圆柱上下两部分都能放置一层，即最大放置层数为2，
∴最大打磨个数为.
∴剩余石材最多还能打磨出30个体积最大的小球，
故答案为：30.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 为了解高中学生数学成绩与物理成绩的关联性，现从某高中学校抽取100人，得到如下信息：数学成绩与物理成绩都优秀的有10人，都不优秀的有65人.
（1）依据上述信息完善下列列联表，并根据小概率的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联；
（2）从数学成绩优秀的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，若从这6人中随机抽2人、记为物理成绩优秀的学生人数，求的分布列及数学期望.
附：，.
【答案】（1）列联表见解析，根据小概率的独立性检验，认为数学成绩与物理成绩有关联；
（2）分布列见解析，
【小问1详解】
由题可得列联表如下：
零假设数学成绩与物理成绩无关联，
由表格得，
所以根据小概率的独立性检验，没有充分依据推断成立，即推断不成立，
所以根据小概率的独立性检验，认为数学成绩与物理成绩有关联.
【小问2详解】
由（1）可得从数学成绩优秀的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，
则物理成绩优秀的学生有2人，物理成绩不优秀的有4人，
所以若从这6人中随机抽2人则的取值有，
且，
所以的分布列为
所以的数学期望.
16. 设函数.
（1）求的定义域，并证明：；
（2）讨论的单调性，并比较与的大小.
【答案】（1）；证明见解析；
（2）函数在区间上单调递减；在区间上单调递增；
【小问1详解】
因为中，中，综合可得得定义域为，
；
【小问2详解】
因为，所以
令，即，所以，故，
当时，，，，所以，
当时，，，，所以，
所以函数在区间上单调递减；在区间上单调递增；
因为，且在区间上单调递增；
所以，又因为，所以， 所以.
17. 如图，在长方体中，，，，分别在，上，且.
（1）求证：平面平面；
（2）若是的中点，三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见详解
（2）
【小问1详解】
如图，以点为坐标原点，直线所在方向分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
因为，所以，
因为平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，
所以平面面.
【小问2详解】
因为，所以，解得，
所以，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，
所以，
易得平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，
则.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18. 在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知且.
（1）求；
（2）求的最大值；
（3）若的角平分线交于点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
由，得，
即，
所以，而，
所以.
【小问2详解】
由（1），，即，
，
，即，当且仅当时，取等号.
所以的最大值为.
【小问3详解】
由（1），，，
，即，
，
由，得，
所以，
由，令，
设，则，
所以在上单调递增，
，即，
所以的取值范围为.
19. 如图，抛物线上纵坐标为的点到焦点的距离为，点，是上的两点，且.
（1）求的方程；
（2）过线段的中点作轴的垂线交于点，过线段的中点作轴的垂线交于点，过线段的中点作轴的垂线交于点，，依此操作次，记的面积为.
①求的面积；
②证明：.
【答案】（1）
（2）①；②证明见解析
【小问1详解】
由已知抛物线，准线为，
由抛物线定义可知抛物线上的点到焦点的距离为，
即，解得，
即抛物线方程为；
【小问2详解】
①由（1）得抛物线方程为，即，
即，，
则，
即点的横坐标为，纵坐标为，
即，则，
则三角形面积；
②设，与线段的交点为，
则，，
即，，
又，即，，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，
则，
则，
又，
则.数学成绩
物理成绩
合计
优秀
不优秀
优秀
20
不优秀
合计
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7879
10.828
数学成绩
物理成绩
合计
优秀
不优秀
优秀
10
20
30
不优秀
5
65
70
合计
15
85
100
0
1
2