【数学】贵州省六盘水市2025-2026学年高二上学期期末统考试题（学生版+解析版）

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一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1. 已知复数，则（ ）
A. 13B. C. D. 5
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 空间两条直线互相平行的一个充分条件是（ ）
A. 直线没有交点B. 直线与同一个平面所成的角相等
C. 直线都平行于同一个平面D. 直线都垂直于同一个平面
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切
C. 相离D. 相切或相交
6. 与椭圆有公共焦点且离心率的双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知都是正数，向量，若，则的最小值是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数若方程有四个实数根且，则值是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若点的坐标是，则下列选项正确的有（ ）
A. B.
C. D. 准线方程为
10. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，以为横坐标，为纵坐标，下列选项中正确的是（ ）

A. 小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为
B. 当时小球达到最高点
C. 小球往复运动一次经过的时间为秒
D. 当时，小球向下运动
11. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，平面平面，，则下列说法正确的是（ ）
A. 三棱锥的四个面都是直角三角形
B. 四棱锥的外接球体积为
C. 当时，异面直线与所成角为
D. 直线与平面所成角正弦值的最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 经过两点的直线的一般式方程为___________.
13. 四边形中，，以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为___________.
14. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围是___________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或清算步骤.）
15. 已知三个内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，的面积为，求，.
16. 某中学有50名入团积极分子在参加学校团课培训后进行团知识测试，根据测试成绩得到如图所示的频率分布直方图.数据的分组依次为，.
（1）求成绩在的入团积极分子的人数；
（2）若成绩在前25%的学生可获得“优秀学员”的称号，则成绩至少要达到多少分才可以被评为“优秀学员”？
（3）从低于60分入团积极分子中随机抽取2名学生，求这2名学生成绩在同一分组的概率.
17. 如图，在正三棱柱中，为棱的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.
18. 已知椭圆的一个顶点为，左焦点为，离心率为，为椭圆上的动点、为坐标原点，为的中点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当的面积最大时，求直线的方程；
（3）过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.
19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程为，一般式方程可表示为.
（1）若直线的方向向量为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若平面经过三点，平面的一般式方程为，直线为平面与平面的交线，求平面的一般式方程，并求直线的单位方向向量（写出一个即可）；
（3）已知集合，记集合中所有点构成的几何体为中所有点构成的几何体为.求几何体的体积和的表面积.