2026年中考数学二轮复习专题14 函数与几何综合（存在性问题）（题型专练）（全国通用）（含解析）

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内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 反比例函数与三角形存在性问题
题型02 反比例函数与特殊四边形存在性问题
题型03 二次函数与角度存在性问题
题型04 二次函数与特殊三角形存在性问题
题型05 二次函数与相似存在性问题
题型06 二次函数与特殊四边形存在性问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 反比例函数与三角形存在性问题
典例引领
【典例01】（2025·四川眉山·一模）如图，点A在反比例函数图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，连接，，．
(1)求反比例函数解析式；
(2)在y轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【典例02】（2025·广东广州·二模）如图，一次函数与反比例函数交于A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，其中A的坐标为，且满足．
(1)求，的表达式；
(2)反比例函数图象上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象分别交于点和点．

(1)求直线的表达式；
(2)如图2，直线经过点与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点将线段分成，两条线段，且，连接，求的面积；
(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式02】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与轴和轴分别交于点和点，其中点坐标为，点在反比例函数图象上．
(1)求点的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点在点的右侧，过点作轴，垂足为，若，求的长；
(3)是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式03】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数交于点．
(1)求点坐标及反比例函数的表达式；
(2)连接，在反比例函数上取一点，满足求点的坐标；
(3)直线与轴交于点，在（2）的条件下，当点在点的右侧时，平面内是否存在点，使得，若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由．
题型02 反比例函数与特殊四边形存在性问题
典例引领
【典例01】（2026·四川成都·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点在反比例函数的图象的右支上，当的面积为8时，求点的坐标；
(3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象的右支上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【典例02】（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点D是x轴上一点，直线交双曲线于点C．
(1)求k的值；
(2)连接，当时，求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P是直线上一个动点，点G是坐标平面上一点，是否存在点P，使得四边形为菱形？ 若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接．
(1)求直线的表达式．
(2)当△AOB的面积为时，求点B的坐标；
(3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式02】（2025·山东济南·模拟预测）已知：如图，在平面直角坐标系中点，，以为顶点在第一象限内作正方形，反比例函数，分别经过、两点．
(1)求点的坐标并直接写出、的值；
(2)在反比例函数图象上点的右方有一点，使，求点的坐标；
(3)如图，过点作轴，垂足为点，交的图象于点，点为轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得点、、、四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
题型03 二次函数与角度存在性问题
典例引领
【典例01】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式．
(2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接交于点M，当的值为最大值时，求出此时点P的坐标和最大值．
(3)抛物线上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【典例02】（2025·江苏无锡·三模）如图，抛物线与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是抛物线上一点，点是线段上一点，连接并延长交抛物线于点，若，求点的坐标；
(3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·内蒙古包头·二模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．
(1)求点A、B、C的坐标，并直接写出的度数；
(2)若点D是和线段垂直平分线的交点，则与的周长之比为多少？
(3)在满足（2）的条件下，试探究抛物线上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式02】（2025·辽宁营口·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为，点C的坐标为．
(1)求二次函数的表达式和点B的坐标．
(2)如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接，抛物线上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
题型04 二次函数与特殊三角形存在性问题
典例引领
【典例01】（2025·陕西榆林·三模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【典例02】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·青海西宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求直线和抛物线的解析式．
(2)若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式02】（2026·广东广州·一模）如图，抛物线经过点，，．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值；
(3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式03】（2025·四川泸州·二模）如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
(3)点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
题型05 二次函数与相似三角形存在性问题
典例引领
【典例01】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．
(1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标；
(2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标；
(3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【典例02】（2025·湖南永州·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，，点是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)在轴上有一点，求出的值最小时点的坐标，及此时的值．
(3)在第四象限内的抛物线上是否存在一点，过点作轴交轴于点，使与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
方法透视
变式演练
【变式01】（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，抛物线过，两点，且交轴于另一点，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点为第一象限内抛物线上一点，且点的横坐标为，请用含的代数式表示点到直线的距离；
(3)抛物线上是否存在一点（点除外），使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型06 二次函数与特殊四边形存在性问题
典例引领
【典例01】（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线是第一象限内抛物线上一个动点，过点作轴于点，与线段交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当是以为底边的等腰三角形时．
（i）求线段的长；
（ii）已知是直线上一点，直线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【典例02】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．
(1)点的坐标是 ，点的坐标是 ．
(2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线交线段于点．
①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值；
(4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式02】（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
题●型●训●练
1．（2025·四川广元·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集；
(3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2025·四川达州·三模）如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．
(1)求点的坐标；
(2)线段在轴上运动，且点在点右侧，求四边形周长的最小值；
(3)是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在第一象限时，过点作轴于点，与线段交于点，是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2025·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中中，二次函数的图象与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点，其顶点的横坐标是．
(1) ________， ________；
(2)已知一次函数（k为常数）的图象为直线，直线与x轴交于点．
①连接，若，求的取值范围；
②当直线与该抛物线有且只有一个公共点时，在该抛物线上是否存在点，使得直线与所夹的锐角是的2倍？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
5．（2024·山东东营·模拟预测）如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．
(1)求出直线，的函数表达式．
(2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
6．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由；
(3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标；
(3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)①求点A的坐标；
②当时，根据图象直接写出x的取值范围________；
(3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．考向解读
1. 等腰三角形：已知两点在双曲线上，探究第三点使三角形等腰，按腰相等分类讨论列方程。
2. 直角三角形：已知两点，探究第三点使三角形直角，按直角顶点位置分类，用勾股或垂直列式。
3. 相似三角形：双曲线上点与已知三角形相似，按对应边比例分类讨论，利用函数解析式求解。
方法技能
1. 设点坐标：设双曲线上点坐标为(t,kt)，用含t式子表示线段长。
2. 分类讨论：按腰、直角顶点、对应顶点位置分类，分别列方程求解。
3. 检验合理性：求出t后验证是否在双曲线上，且满足三角形三边关系。
考向解读
1. 平行四边形存在性：已知三个点在双曲线上，探究第四点使四边形为平行四边形，按对角线互相平分分类讨论。
2. 矩形与菱形：在平行四边形基础上增加邻边垂直（矩形）或邻边相等（菱形）条件，列方程求解。
3. 正方形存在性：同时满足邻边垂直且相等，即矩形与菱形条件复合，需双重验证。
方法技能
1. 设点坐标：设双曲线上点坐标为(t,kt)，用含t式子表示各点坐标。
2. 分类讨论：按对角线或顶点顺序分类，利用平行四边形对角线互相平分列中点坐标方程。
3. 附加条件检验：矩形加垂直条件（斜率积为-1），菱形加邻边相等条件（距离相等），正方形同时满足。
考向解读
1. 相等角存在性：抛物线上找点使某角等于已知角，通过构造相似三角形或三角函数列方程求解。
2. 倍半角关系：探究一角是另一角的两倍或一半，常通过构造等腰三角形或利用正切倍角公式转化。
3. 特殊角度：探究45°、90°等特殊角存在，利用斜率积为-1（垂直）、等腰直角三角形性质求解。
方法技能
1. 三角函数法：设点坐标表示各边，用正切值列方程，将角度条件转化为线段比。
2. 构造相似三角形：找与已知角相等的角，构造相似三角形，利用对应边成比例列方程。
3. 分类讨论全面：按点在已知角两边不同位置分类，避免遗漏符合条件的点。
考向解读
1. 等腰三角形存在性：抛物线上找点使三角形等腰，按腰相等分三种情况（两腰分别相等）列方程。
2. 直角三角形存在性：抛物线上找点使三角形直角，按直角顶点分三种情况，用勾股定理或斜率积为-1求解。
3. 等腰直角三角形：同时满足等腰和直角条件，先按等腰求点再验证直角，或反之。
方法技能
1. 设点坐标：设抛物线上点坐标(x, ax2+bx+c)，用含x式子表示各边长度。
2. 分类讨论：等腰按边相等分类，直角按直角顶点分类，分别列方程求解。
3. 检验合理性：求出x后验证点是否在抛物线上，且能构成三角形（三点不共线）。
考向解读
1. 对应顶点分类：已知三角形与抛物线上点构成的三角形相似，按对应顶点不同分多种情况讨论。
2. 边角条件转化：利用相似三角形对应边成比例或对应角相等，将几何条件转化为代数方程。
3. 动点与存在性：抛物线上动点运动中，探究是否存在某时刻两三角形相似，常需分类求解。
方法技能
1. 设点坐标：设抛物线上动点坐标(x, ax2+bx+c)，用含x式子表示各边长。
2. 分类讨论全面：按对应顶点顺序列出所有可能相似情况，分别列比例方程。
3. 验证合理性：求出x后验证点是否在抛物线上，且满足三角形内角和对应相等。
考向解读
1. 平行四边形存在性：已知三个定点，探究抛物线上点使四边形为平行四边形，按对角线互相平分分类讨论。
2. 矩形与菱形：在平行四边形基础上增加邻边垂直（矩形）或邻边相等（菱形）条件，列方程求解。
3. 正方形存在性：同时满足邻边垂直且相等，即矩形与菱形条件复合，需双重验证。
方法技能
1. 设点坐标：设抛物线上点坐标(x, ax2+bx+c)，用含x式子表示各点坐标。
2. 分类讨论：按对角线或顶点顺序分类，利用平行四边形对角线互相平分列中点坐标方程。
3. 附加条件检验：矩形加垂直条件（斜率积为-1），菱形加邻边相等条件（距离相等），正方形同时满足。