2026年中考数学二轮复习专题12 几何最值问题模型突破（题型专练）（全国通用）（含解析）

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内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 几何图形中的单线段最值问题
题型02 几何图形中的面积最值问题
题型03 几何图形中将军饮马最值问题
题型04 几何图形中胡不归最值问题
题型05 几何图形中阿氏圆最值问题
题型06 几何图形中瓜豆原理最值问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 几何图形中的单线段最值问题
典例引领
【典例01】（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，动点P为平面内一点，且，连接，则的最小值为______，最大值为______．
【答案】
【分析】本题主要考查正方形的性质，点与圆的位置关系；以B点为坐标原点，分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，利用，结合圆的性质可得出点P的轨迹是以为直径的圆，将的最值问题转化为点C到圆上点的距离最值问题，通过点C到圆心的距离与半径的关系即可求解．
【详解】解：如图，以B点为坐标原点，分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，
∵
根据圆的性质，点P的轨迹是以为直径的圆，
∵正方形的边长为2，
∴，则圆心为，半径为，
∴圆的方程为，
∵，
∴圆心到点C的距离为
∵，
∴点C在圆外，
∴最小值为，
最大值为，
故答案为：，．
【典例02】（2025·河南新乡·三模）如图，四边形中，，且，连接．若，则四边形的面积为___________，的最小值为___________．
【答案】
【分析】本题考查了四点共圆的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，三角形三边关系，熟练掌握相关知识的是解题的关键．
由题先证明四点共圆，得到，在的延长线上取，连接，证明，得到，求出；连接，得到，即，得到的最小值为．
【详解】解：如图，过点作于点，于点，
，
，
，平分，
，四边形是矩形，
，
，
，
，
，
四点共圆，
设的中点为，
为的直径，
如图，在的延长线上取，连接，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
如图，连接，
，即，
的最小值为；
故答案为： ．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·河南南阳·二模）如图，在中，，，是平分线上的任意一点，连接．把绕点逆时针旋转得到，连接，，则的最小值为_______，的最小值为_______．
【答案】
【分析】①由等腰直角三角形和勾股定理分析出，即当时，最小，延长，交于点，证出，再利用勾股定理解答即可；
②分析出点的位置，在结合勾股定理解答即可．
【详解】解：①由题意可得：为等腰直角三角形，则，，
∴，
∴当最小时，最小，
∴当时，最小，延长，交于点，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
又∵在中，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴；
②∵在中，，
∴当，，三点共线时，，此时最小，过作于点，延长，交于点，如图所示：
由①同理可得：，，
∴在中，，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；．
【变式02】（2025·河南周口·三模）如图，在正方形中，是边上的一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段（在正方形内），连接，再将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．若，，则的长的最小值为______，的长的最小值为______．
【答案】 / 2
【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由旋转的性质可得，，则，要使的值最小，即要使的值最小，故当，，三点共线时，的值最小；连接，可证明，得到，则线段的长的最小值即为线段的长的最小值，故当，，三点共线时，最短，即此时最短，据此求解即可．
【详解】解：由旋转的性质可得，，
∴，
∴要使的值最小，即要使的值最小，
∵，
如图1，当，，三点共线时，的值最小．
∵四边形是正方形，
∴，
在中，，
∴的长的最小值为，
∴的长的最小值为．
如图2，连接，
由正方形的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴线段的长的最小值即为线段的长的最小值．
∴当，，三点共线时，最短，即此时最短，
在中，，
∴的长的最小值为．
故答案为：；2．
题型02 几何图形中的面积最值问题
典例引领
【典例01】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点为正方形内部一点，，，点为边上一点，且，连接、，则面积的最小值为______．
【答案】
【分析】如图，连接，证明，可得，则点在以为直径的圆上，因为面积中底边是定值，其高最小时，面积最小，如图，当运动到处时达到最小，根据三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上，
如图，取中点为圆心，以为直径作圆，过点作交圆于点，交于点，
∴弧为点的运动轨迹，当运动到处时达到最小为：，
此时，
∴面积的最小值为．
故答案为：．
【典例02】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论正确的有______．（填序号）
①的最小值为；②的最小值为；③周长的最小值为6；④四边形面积的最小值为．

【答案】②③④
【分析】①延长交于M，过P作直线，由和是等边三角形，可得四边形是平行四边形，而P为中点，知P为中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即共线时，最小，再根据勾股定理求出，即可判断①是否正确；②由，即可得：当共线时，最小，最小值为的长度，求出即可判断②是否正确；③过D作于K，过C作于T，由和是等边三角形，得，有，得到周长，即可判断③是否正确；④设，用m表示，再配方，即可知四边形面积的最小值，从而可判断④是否正确．
【详解】解：①如图，延长交于M，过P作直线，
和是等边三角形，
，
，
四边形是平行四边形，
为中点，
为中点，
在线段上运动，
在直线l上运动，
由知等边三角形的高为，
到直线l的距离，P到直线的距离都为，
作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即共线时，最小，
此时最小值，故①错误；
②，
，
当共线时，最小，最小值为的长度，
为的中点，
，
为等边三角形的高，
的最小值为，故②正确；
过D作于K，过C作于T，如图，
和是等边三角形，
，
，
，即，
，
周长的最小值为6，故③正确；
④设，则，
，，，，
，
当时，四边形面积的最小值为，故④正确．
故答案为：②③④．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在矩形中，，点P为边上一动点，连接交对角线于点E，过点E作，交于点F，连接交于点G，在点P的运动过程中，面积的最小值为 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理、求角的正切值、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长
【分析】由勾股定理得，，由，可知四点共圆，则，如图，作的外接圆 ，过作于，过作于，连接，由，可求，由，可得，则，，设，则，，由勾股定理得，，由，可得，可求，则，根据，求解作答即可．
【详解】解：∵矩形，
∴，，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴四点共圆，
∴，
如图，作的外接圆 ，过作于，过作于，连接，
∴，即，
解得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴在点P的运动过程中，面积的最小值为，
故答案为：．
【变式02】（2025·安徽·二模）如图，在中，，，点是边上一点，连接，已知，点是射线上的一个动点，点是线段上一点，且，连接．
（1） ；
（2）的面积最大值为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、y=ax²+bx+c的最值、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由，设，则，，然后由勾股定理得出，然后解方程即可；
（）过点作于，则，证明，所以，即，设，则，得出，，故有，然后根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：（）由，，
设，则，，
在中，，
∴，
解得：，，
故，
故答案为：；
（）过点作于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，且对称轴为直线，
∴当时有最大值为，
故答案为：．
题型03 几何图形中将军饮马最值问题
典例引领
【典例01】（2025·吉林长春·二模）如图，是的直径，点是半圆上的三等分点，点是劣弧的中点，点是直径上一动点．连接，若，，则的周长的最小值是______．
【答案】/
【分析】本题考查了圆周角定理，轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的判定和性质等，作点关于的对称点，连接，交于点，连接、、、、，，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出即可求解，
正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：作点关于的对称点，连接，交于点，连接、、、、，
则，
∴，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，
∵点与关于对称，点是半圆上的一个三等分点，
，
∵点是的中点，
，
，
是的直径，，
，
是等腰直角三角形，
，
的最小值，
周长的最小值，
故答案为：．
【典例02】（2025·广西·模拟预测）如图，在中，，，，F为的中点，E，P分别为，上一动点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题．作点关于的对称点，过点作于点，由对称性质可知，的最小值即为的值，再根据解直角三角形求出故可求解．
【详解】解：如图，
作点关于的对称点，过点作于点，由对称性质可知，
的最小值即为的值，
，，，
∴，
，
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·四川雅安·一模）如图：菱形的边长为4，，点E，点F是对角线上的两动点，，连接，则的最小值为________．
【答案】
【分析】连接交于点O，作，使得，连接交于点F，可得四边形是平行四边形，因此，根据两点之间线段最短可知，此时最短，再结合已知可得是等边三角形，进而得，在中，根据勾股定理即可求出的值，因此即可求出答案．
【详解】解：连接交于点O，作，使得，连接交于点F，
，
四边形是平行四边形，
，
，
根据两点之间线段最短可知，此时最短，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
在中，，
的最小值为，
故答案为：．
【变式02】（2026·陕西西安·一模）如图，在边长为的正方形中，是的中点，分别是边上的动点，且交于点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】过作于点，将正方形沿翻折，得到正方形，连接，过点作交于点，由正方形性质可得，，，则有四边形是矩形，，，四边形是平行四边形，然后证明，，可得，由，要使有最小值，则有最小值，则当三点共线时，为线段的长，最后通过勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过作于点，将正方形沿翻折，得到正方形，连接，过点作交于点，
∴，
∵四边形，四边形是正方形，
∴，，，
∴，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴要使有最小值，则有最小值，则当三点共线时，为线段的长，如图，
∵，
∴，
∴的最小值为．
题型04 几何图形中胡不归最值问题
典例引领
【典例01】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，平行四边形中，，，，为边上的一动点，则最小值等于__________.
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，锐角三角形函数的应用，垂线段最短等知识，根据题意添加合适的辅助线是解题的关键．
过点作，交的延长线于点，由锐角三角函数可得，即，则当点，点，点三点共线，且时，有最小值，即最小值为．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴当点，点，点三点共线，且时，有最小值，即最小值为，
∵，
∴，
故答案为：．
【典例02】（2025·河南商丘·二模）如图，矩形中，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，，，则的最小值是_________________ ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等角的余角相等，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，最短距离问题，勾股定理等．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
本题先根据矩形的性质得出，，根据等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质得出，作交于点N，交的延长线于点，作点关于直线的对称点，连接，与交于点，连接，可得，，根据矩形的判定与性质得出，，，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质得出，即可求出，根据两点之间，线段最短得出当点B、G、三点共线时，的值最小，最小值为，结合勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
即，
作交于点N，交的延长线于点M，作点D关于直线的对称点，连接，与交于点H，连接，如图：
则，，
∵，
又∵，，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，
故当点B、G、三点共线时，的值最小，最小值为．
在中，，
故答案为：．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，，以点A为圆心、的长为半径的圆交于点E，点P在上运动，则的最小值为______．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的判定和 性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，最短线段问题等知识，将求的最小值转化为求线段的长是解题关键．在上截取，连接、、，过点K作于点H，则四边形是矩形．由勾股定理得，证明出，得到，进而得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，在上截取，连接、、，过点K作于点H，则四边形是矩形．
，，
，
．
在中，由勾股定理，得，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
．
．
，，
．
的最小值为．
故答案为：．
【变式02】（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在矩形中，，点F为边上一点，，以点A为圆心，长为半径的圆交于点E，点P在上运动，则的最小值为_______．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，最短线段问题等知识，将求的最小值转化为求线段的长是解题关键．
在上截取，连接、、，过点K作于点H，则四边形是矩形．由勾股定理得，证明出，得到，进而得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，在上截取，连接、、，过点K作于点H，则四边形是矩形．
，，
，
．
在中，由勾股定理，得，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
．
．
，，
．
故的最小值为．
故答案为：．
题型05 几何图形中阿氏圆最值问题
典例引领
【典例01】（2025·河南周口·一模）如图，在中，，，，点在以O为圆心，3为半径的圆上运动，连接、，则的最小值为________．
【答案】
【分析】本题考查求最值问题，圆的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，在上取一点，使得，先证，将转化为，从而求得的最小值．解题关键是构造出由性质转换等量关系．
【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接，

∵，，，
∴
∵，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴最小值为的长度，
∴的最小值等于的长度，
在中，，
∴的最小值．
故答案为：．
【典例02】（2024·海南·三模）如图，正方形的边长为，点为边上一个动点，点在边上，且线段，点为线段的中点，连接、、，则_______；的最小值为_______．
【答案】
【分析】本题考查直角三角形斜边中线定理、相似三角形的判定与性质、动点轨迹与线段和的最值，确定动点G的运动轨迹是解题关键．
（1）借助正方形性质得为直角三角形，利用直角三角形斜边中线定理求出；
（2）先确定点的轨迹为圆，再构造相似三角形将转化为，结合“两点之间线段最短”与勾股定理求得的最小值为．
【详解】（1）解：四边形为正方形，，
，
点为线段的中点，
，
故答案为：．
（2）解：如图，根据题意可知，点的运动轨迹为以为圆心，长为半径的圆，在上取点，使，连接交于．
，，，
，
，
，
，即，
，
可知当运动到的位置，即、、位于同一条直线上时，取得最小值，最小值为，
，，
，
的最小值为．
故答案为：．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·江西吉安·一模）如图，与中， ，，，可以绕点C自由转动，连接，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理及两点之间线段最短的性质，取中点F，连接，证明，得出，则，根据勾股定理求出结论即可．
【详解】解：如下图：
，
点D在以C为圆心为半径的圆上运动，
取中点F，连接，
，
，
，
，
，
当共线时，最小，
，
的最小值为，
故答案为：．
【变式02】（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）10；（3）
【分析】（1）证明△PAQ∽△BAP，根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ；
（2）在AB上取一点Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如图的辅助线，同（2）法推出当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC−PB的最大值．
【详解】解：（1）证明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，∴PA2=AQ⋅AB=4．∴．
又∵∠A=∠A，∴△PAQ∽△BAP．∴．∴PB=2PQ；
（2）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ．
∴AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)．
∵PC+PQ≥QC，∴当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小．
∵QC==5，∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．∴2PC+PB的最小值为10．

（3）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ，延长CQ交⊙A于点P′，过点C作CH垂直AB的延长线于点H．易得AP=2，AB=4，AQ=1．
由（1）得PB=2PQ，∴2PC−PB=2PC−2PQ=2(PC−PQ) ，
∵PC−PQ≤QC，∴当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大．
∵QC= =，∴2PC−PB=2(PC−PQ)≤2．∴2PC−PB的最大值为2．
题型06 几何图形中瓜豆原理最值问题
典例引领
【典例01】（2025·四川达州·一模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 .
【答案】//
【分析】如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点Q在射线上运动，求出，可得结论．
【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．
∵四边形是矩形，∴，∵都是等边三角形，
∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，
∵，，∴点Q在射线上运动，
∵，∴，∵，∴．据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为．
故答案为：．
【典例02】（2025·江苏宿迁·三模）如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，连接，若以为边向右上侧作等边；点从点运动到点的过程中，连接，则线段的最小值是___________．
【答案】
【分析】以为边作等边，连接．证明，得到，从而，因此是定值，即点G在与成定角的直线上运动．过点C作于点H，则点G在点H时，取得最小值，最小值为的长．当点E与点A重合时，过点G作于点M，过点F作于点N，求出，，的面积，得到，根据勾股定理求出，再由三角形的面积求出，即可解答．
【详解】解：如图，以为边作等边，连接．
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵在矩形中，，，
∴，
∴，
∴是定值，即点G在与成定角的直线上运动．
过点C作于点H，则点G在点H时，取得最小值，最小值为的长．
如图，当点E与点A重合时，
过点G作于点M，过点F作于点N，
∴，
∴．
∵是等边三角形，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
，，
∴在中，
∵，
又，
∴，
∴，
∴点从点运动到点的过程中，线段的最小值是．
故答案为：
方法透视
变式演练
【变式01】（2024·四川泸州·二模）如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是 ．

【答案】/
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和最大值问题．连接，证明，得到，点在以为圆心，2为半径的上，当在对角线延长线上时，最大，再利用勾股定理求对角线的长，即可得出长度的最大值．
【详解】解：连接，∵正方形，∴，，

∵将绕点逆时针旋转得到，∴，，∴，
∴，∴，∴点在以为圆心，2为半径的上，
如图，当在对角线延长线上时，最大，
在中，，∴，
即长度的最大值为，故答案为：．
【变式02】如图，已知正方形的边长为2，另一边长为的正方形的中心与点重合，连接，设的中点为，连接，当正方形绕点旋转时，的最小值为 ，最大值为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解
【分析】本题主要考查了正方形的性质、三角形中位线、旋转变换、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．在的延长线上截取，连接，易知是的中位线，即，再由旋转的性质，可知在以点为圆心，半径为1的圆上，当点在线段与的交点处时，最小，即最小；当点在线段的延长线与的交点处时，最大，即最大，然后求解即可．
【详解】解：如图1，在的延长线上截取（即是的中点），连接，
∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，
由旋转的性质，可知在以点为圆心，半径为1的圆上，
如图2，当点在线段与的交点处时，最小，即最小，
此时，，
∴，即的最小值为；
如图3，当点在线段的延长线与的交点处时，最大，即最大，
此时，
∴，即的最大值为，
综上所述，的最小值为，最大值为．
故答案为：；．
题●型●训●练
一、单选题
1．（2025·四川遂宁·一模）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作E点关于的对称点，连接、 、，当、P、F三点共线，时，此时的值最小，由题意可得，则，根据勾股定理即可求出 的值，即的最小值．
【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P，
连接，则，
∴，
当、P、F三点共线，且时，的值最小，
∵是正三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∴的最小值．
故选：C．
2．（2025·四川绵阳·一模）如图，矩形中，，，与相交于为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段，则线段的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了旋转性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质. 取的中点，连接并延长交于点，连接，分别过点和点作的垂线，垂足分别点和点，设直线交于点，证明，推出，得到点在直线上运动，当在线段上即时，此时线段有最小值，据此即可求解.
【详解】解：如图，取的中点，连接并延长交于点，连接，分别过点和点作的垂线，垂足分别点和点，
设直线交于点，
∵点是中点，
∴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵P为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点在直线上运动，
∴当在线段上即时，此时线段有最小值，
同理可得四边形是矩形，
∴，
故选：D.
3．（2025·安徽黄山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作射线，作于E，作于F，交y轴于，可求得，从而得出，进而得出，进一步得出结果．
【详解】解：如图，
作射线，作于E，作于F，交y轴于，
抛物线的对称轴为直线，
∴，
当时，，
∴，
当时，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，当点P在时，最小，最大值等于，
在中，，，
∴，
∴，
故选：A．
4．（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质．取的中点，连接，先判断出点在上运动，当共线时，有最小值，据此求解即可．
【详解】解：取的中点，连接，
由旋转的性质知：，
∴点在上运动，
∴当共线时，有最小值，
由旋转的性质知：，，
∴,，
∴，
∴的最小值为，
故选：A．
5．（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形中，，，点E是边上一点，且，点F是边上任一点，把沿翻折，点B的对应点为，连接、，则以下结论正确的是（ ）
①当与相似时，；②的最小值是；③点到距离的最小值是；④取的中点P，连接，则的最大值是．
A．①③④B．②③④C．②③D．②④
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、勾股定理、圆的基本性质，熟练掌握隐形圆上的点到定点和定直线的距离问题是解答的关键．利用相似三角形的性质可判断①；②由折叠性质得，则点在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接，当C、、E共线时，有最小值，最小值为，利用勾股定理求解即可判断②；过E作于G，当、、共线时，最小，即点到距离的最小，最小值为的长度，利用三角形的面积公式求得，进而求得可判断③；取的中点，连接、，利用三角形的中位线求得，则点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，当点P在的延长线上时，最大，最大值为，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理求得即可判断④，进而可得答案．
【详解】解：∵矩形中，，，
∴，，
∵，
∴，
①当时，则，即，
解得；
当时，则，即，
解得，
综上，当与相似时，或，故①错误；
②由折叠性质得，则点在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接，当C、、E共线时，有最小值，最小值为，
在中，，
∴的最小值为，故②正确；
③过E作于G，当、、共线时，最小，即点到距离的最小，最小值为的长度，
由得，
∴，
∴点到距离的最小值为，故③正确；
④取的中点，连接、，
∵点P是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，当点P在的延长线上时，最大，最大值为，
过O作于H，则，又，
∴，
∴，
∴，，
∴在中，，
∴的最大值是，故④正确，
综上，结论正确的是②③④，
故选：B．
二、填空题
6．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是______．
【答案】/
【分析】如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，，，可证是等边三角形，得到，当点四点共线且时，取得最小值，即可求解．
【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
当点四点共线且时，取得最小值，
∵四边形是正方形，边长为，绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为： ．
7．（2025·江苏无锡·二模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使得，连接，则长的最大值为_____．
【答案】/
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
【详解】解：如图，作，使得，，则，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即（定长），
∵点是定点，是定长，
∴点在半径为的上，
∵，
∴的最大值为，
故答案为：．
8．（2025·湖南岳阳·一模）如图，已知点是直线外一定点，是直线上的动线段，，连接、，．求当取最小值时的值．小聪在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当取最小值时___________．
【答案】
【分析】过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接，当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值．，先求出和的值，再通过勾股定理求出，通过角度的代换，证得，通过即可求解．
【详解】解：如图，过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接，
点是点关于直线的对称点，
直线垂直平分，
，，，
，
当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值．
，，
．
，且，，
，
四边形是矩形，
，，
，，，
，
，
，
，，
在中，，
，
．
当取最小值时，．
故答案为：．
9．（2025·贵州·模拟预测）如图，在中，，，将边长为1的正方形绕点B旋转一周，连结，点M为的中点，连结，则线段的最大值为________．
【答案】
【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，三角形中位线定理等知识，延长到，使，连接，根据三角形的三边关系确定的取值范围，再根据是的中位线得出，得出的取值范围即可，根据三角形三边关系得出的取值范围是解题的关键．
【详解】解：延长到，使，连接，如图：
∴点为为的中点，
在中，，
，
∵正方形的边长为，
∴，，
∴，
为等腰直角三角形，
，
，即，
，
∵为的中点，为的中点，
∴是的中位线，
，
，
∴线段的最大值是，
故答案为：．
10．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，在平面内有一点P，始终保证，连接，设的中点为E，连接，则线段的最小值为__________，最大值为__________．
【答案】 / /
【分析】本题考查圆的定义、三角形的中位线性质、正方形的性质，解答的关键是构造三角形的中位线和得到点P的运动轨迹，属于中考填空题的常考压轴题．
延长至T，使得，连接，根据三角形的中位线性质得到，即只需求的最大值和最小值；根据圆的定义可得点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，，利用正方形的性质和勾股定理求得，进而求得的最小值和最大值即可求解．
【详解】解：延长至T，使得，连接，
∵的中点为E，
∴是的中位线，
∴，即只需求的最大值和最小值；
∵始终保证，
∴点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，，
∵，，
∴，
∴，，
∴的最小值为，的最大值为，
∴的最小值为，的最大值为，
故答案为：，．
三、解答题
11．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点．
(1)求的值；
(2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可；
（2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可；
（3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度．
【详解】（1）解：，
点坐标为，
将，代入，
得，
解得，
（2）解：设直线的表达式为，
由（1）可知抛物线的表达式为，
故点坐标为，
直线的表达式为
设点坐标为，
则， ，
，
若，
则，
解得，
，
故，此时点坐标为；
（3）如图，取，连接，
，，，
又，
，
，
，
，
，
故的最小值为．
12．问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值．
(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值；
(2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值；
(3)拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)13
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
（1）连接，得到当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长．求出的长即可；
（2）连接，在上取点D，使，连接，，证明．得到．则．当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长，进一步求出的长即可；
（3）延长到点E，使，连接，．证明．得到．．当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长．进一步求出的长即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
，要使最小，即最小．
当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长．
在中，，，．
的最小值为．
（2）如图，连接，在上取点D，使，连接，，．
，
．
．
．
．
当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长，
在中，．
的最小值为．
（3）如图，延长到点E，使，连接，．
．
，，
．
，
．
．
．
．
当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长．
在中，．
的最值为13．
13．（1）如图①，在矩形中，，，以为圆心，为半径在矩形内画弧，已知点是该弧上的一动点，点是边上的动点，则的最小值为______．
（2）随着社会发展，人们生活品质日益提升，年轻人对高品质生活的追求愈发强烈．“荒野求生”、“生存大挑战”等栏目在网络上火爆，野外探险成为当下很多人想寻求刺激、提升生活品质的热门选择，图②是一片探险区域，其中四边形是探险途中的必经区域，米，米，，，且，点是探险入口，边界上点是探险出口，其中，点方圆米的圆形区域是危险禁区，严禁探险者进入为了保证探险者的安全，在危险区域边界上设有一个可移动监测点，一旦探险者靠近并跨入危险区，便会触发警报，一支探险小队计划进入此区域探险，为确保队员统一行动、节省体力并高效前行，领队需提前确定两个集结点和点，其中点在探险区域内，且满足，，点在边界上，探险路线是，请帮助领队计算的最小值．
【答案】（1）8；（2）最小值为米．
【分析】（1）由矩形的性质得到．作点关于的对称点，连接，则，连接，则，即，根据勾股定理求得，即可解答．
（2）连接，过点作，交于点，在上取点，使得米，根据两边对应成比例且夹角相等证得，从而由相似三角形的对应边成比例求得米，即点在以点为圆心，半径为 500 米的圆上运动．作点关于的对称点，连接，则，因此有．连接，交于点，延长，交的延长线于点，过点作于点．通过解直角三角形在中，求得（米），（米），在中，（米），（米），（米），在中，（米），因此在矩形中，米，米，进而求得米，（米），在中，根据勾股定理求得米，即可解答．
【详解】解：（1）四边形是矩形，
，，，
作点关于的对称点，连接，
则，
连接，，，
则，
，
在中，，，
，
，
的最小值为，
故答案为：；
（2）连接，过点作，交于点，在上取点，使得米，
，
，即，
，，
，
，
，
米，
点在以点为圆心，半径为米的圆上运动，
作点关于的对称点，连接，，则，
，
，
连接，交于点，延长，交的延长线于点，过点作于点，
，，
，
在中，米，
米，
点与关于对称，
，
，，
四边形，四边形，四边形都是矩形，
米，
在中，，又，
，
，
在中，米，
米，
，
米，
，
，
，
在中，米，
米，
在矩形中，米，米，
点与关于对称，
米，
米，
在中，米，
，
即的最小值为米．考向解读
1. 垂线段最短：定点到定直线距离垂线段最短，用于求点到直线距离类最值。
2. 两点间线段最短：定点间线段最短，常通过对称转化求折线和的最小值（将军饮马）。
3. 圆中直径最长：圆中直径是最长弦，或利用圆外一点到圆上点距离的最值（定点与圆心连线）。
方法技能
1. 模型识别：根据图形特征识别所属最值模型（垂线段、将军饮马、圆上点）。
2. 对称转化：求折线最小值时作对称点，将折线转化为两点间直线段。
3. 勾股计算：构造直角三角形，用勾股定理求出最值对应的线段长度。
考向解读
1. 二次函数模型：几何图形面积与某变量成二次函数关系，利用顶点坐标求面积最大值或最小值。
2. 定值与不等式：利用几何定值（如三角形面积一定）结合基本不等式或垂线段最短求最值。
3. 动点轨迹：动点运动过程中，面积随位置变化，先求轨迹再找临界位置求最值。
方法技能
1. 建立函数：设自变量表示相关线段，写出面积表达式，转化为二次函数求顶点最值。
2. 优先考虑特殊位置：动点面积最值往往在端点或特殊点（中点、垂直点）处取得。
3. 割补转化：不规则图形面积通过割补转化为规则图形，再求最值简化计算。
考向解读
1. 两定点一线：两定点在直线同侧，在直线上找一点使距离和最小，作对称点转化为两点间线段。
2. 两定点两线：两定点在两直线内侧，在两条直线上各找一点使折线和最小，作双对称转化。
3. 差最大问题：两定点在直线同侧，在直线上找一点使距离差最大，直接连线交直线即得。
方法技能
1. 同侧化异侧：求线段和最小时，作定点关于直线的对称点，将同侧转化为异侧。
2. 两点间线段最短：对称后连接两点，与直线交点即为所求点，线段长即为最小值。
3. 差最大直接连：求两线段差最大时，直接连接两定点延长交直线即得所求点。
考向解读
1. 模型识别：主要考查形如“PA+k×PB”的最值问题（0 < k < 1），动点P在直线上运动，这是胡不归模型的典型特征。
2. 系数转化：核心在于通过构造辅助线（常作一个角使其正弦值等于k），将带系数的线段k×PB转化为某条垂线段，实现“折”变“直”。
3. 历史溯源与综合：常以最短时间路径问题为背景引入，并结合特殊三角形、二次函数等知识进行综合考查。
方法技能
1. 构造角转化：在动点P所在直线异侧，构造一个角α使得sinα = k，过P作该角一边的垂线，则k×PB转化为垂线段长。
2. 化折为直：将原式转化为“PA + PC”的形式，再根据“垂线段最短”或“两点之间线段最短”确定最小值位置。
3. 系数大于1处理：若k > 1，则需先提取系数转化为1k形式（0 < 1k< 1）再构造。
考向解读
1. 模型识别：动点P在圆上运动，求形如“PA + k×PB”的最小值（k≠1），这是阿氏圆典型特征。
2. 子母相似构造：通过构造子母型相似，将k×PB转化为某条定线段PC，实现系数转化。
3. 两点间线段最短：转化后PA + PC最小值即为AC线段长，当A, P, C共线时取到。
方法技能
1. 找点构造相似：在圆所在直线上找点C，使△PBC ∽△ABP，对应边比例等于k。
2. 半径搭桥：利用圆半径与已知边长的比例，确定相似比k，构造出C点位置。
3. 三点共线求最值：转化后PA + PC≥AC，当P在AC连线上时取等号。
考向解读
1. 主从动点：主动点P在直线或圆上运动，从动点Q随P按固定变换（旋转、缩放）运动，Q轨迹与P轨迹相同。
2. 轨迹判断：P在直线上运动，Q轨迹也是直线；P在圆上运动，Q轨迹也是圆，考查轨迹识别。
3. 最值转化：求与Q相关的最值问题，转化为求主动点P轨迹上的最值，简化计算。
方法技能
1. 找变换关系：分析P到Q的变换方式（旋转角、缩放比），确定Q轨迹形状。
2. 定轨迹位置：取P的两个特殊位置，确定Q的对应点，从而确定Q轨迹直线或圆心。
3. 转化为P最值：将Q的最值问题通过变换逆推回P的轨迹上，用已知模型求解。