专题10 二次函数存在性问题练习含答案--2026年中考数学一轮专题

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\l "_Tc16452" 【类型1 二次函数中的等腰三角形存在性问题】1
\l "_Tc5338" 【类型2 二次函数中的直角三角形存在性问题】6
\l "_Tc31833" 【类型3 二次函数中的相似三角形存在性问题】12
\l "_Tc846" 【类型4 二次函数中的平行四边形存在性问题】18
\l "_Tc16452" 【类型5 二次函数中的特殊平行四边形存在性问题】23
\l "_Tc5338" 【类型6 二次函数中的角度存在性问题】29
\l "_Tc31833" 【类型7 二次函数中的周长存在性问题 】34
\l "_Tc846" 【类型8 二次函数中的面积存在性问题 】36
►类型1二次函数中的等腰三角形存在性问题
1．（2024·云南怒江·一模）已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)点D是直线上方抛物线上的点，连接、，求的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点A−4,0，，交轴于点C0,6，在轴上有一点，连接．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由．
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为．
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)点是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为；
①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形；
②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？
4．（2024·山西·模拟预测）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．已知点，．
(1)求该抛物线的表达式及直线的表达式．
(2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，求的最大值．
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移5个单位长度，为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后抛物线的对称轴上的任意一点．直接写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标．
5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（为常数，且）与x轴交于两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线．
(1)求抛物线的函数表达式和点D的坐标；
(2)将抛物线向左平移个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为E，连接，请问在平移过程中，是否存在m的值，使得是等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
►类型2二次函数中的直角三角形存在性问题
6．（2024·湖南·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的表达式．
(2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
7．（2024·湖北·模拟预测）若抛物线交x轴于交y轴于
(1)请求出抛物线的解析式并直接写出的解集．
(2)在抛物线对称轴上有一点P．当三角形为直角三角形时请求出P点的坐标．
(3)以B为圆心2为半径做圆，上有一点M，连接．请求出的最小值．
8．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，．抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有得合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2024·广东·模拟预测）综合运用
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于点 A．C(点 A 在点 C的右侧)．与y轴交于点 B．直线经过点A，B．
(1)求A，B，C 三点的坐标及直线的表达式．
(2)P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴交直线于点 Q，设点 P 的横坐标为．的长为 L．
①求L与m的函数关系式，并写出m的取值范围；
②若与交于点D， 求 m的值．
(3)设抛物线的顶点为M，问在y轴上是否存在一点 N，使得为直角三角形？若存在，直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是线段上一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及；
(3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2024·广东·模拟预测）综合探究
如图（1）所示，在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点A在y轴正半轴上，顶点B，C，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，且轴，与y轴交于点E，．
(1)求的长．
(2)求a的值．
(3)如图（2）所示，F是射线上的一动点，点C，D同时绕点F按逆时针方向旋转得点，当是直角三角形时，求的长．
►类型3二次函数中的相似三角形存在性问题
12．（2024·广东清远·模拟预测）综合运用
如图，抛物线交轴于点、，交轴于点，顶点为，直线与轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)在第一象限内是否存在一点M使得与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接，将绕x轴上的动点顺时针旋转得到，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，直接写出的取值范围．
13．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点左侧），与y轴交于点，连接．
(1)如图1，求的值及直线的解析式；
(2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点．当时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，且点的横坐标小于2，在坐标轴上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
14．（2024·山西·模拟预测）综合与探究
在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．连接．
(1)求点A和点C的坐标和直线的解析式；
(2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，交于点E，求的最大值；
(3)如图2，连接，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的正半轴交于点．
(1)求的值及抛物线的解析式．
(2)如图①，若点为直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标；
(3)如图②，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为．
①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；
②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
16．（2024·青海西宁·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D，连接与抛物线的对称轴交于点E．
(1)求点A，B，C的坐标．
(2)若点P是第四象限内抛物线上一动点，当三角形的面积为60时，求点P的坐标．
(3)若点Q是对称轴右侧抛物线上的动点，试探究在射线上是否存在一点H，使以H，Q，E为顶点的三角形与相似．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2024·湖北随州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点A，B，A点的坐标为1,0，与y轴交于点C0,1．

(1)求抛物线的解析式，并求出点B坐标；
(2)过点B作交抛物线于点D，连接，，；
①求四边形的周长；（结果保留根号）
②在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作垂直于x轴，垂足为点E，使以B，P，E为顶点的三角形与相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
►类型4二次函数中的平行四边形存在性问题
18．（2024·甘肃嘉峪关·二模）如图所示，在的顶点、在轴上，点在轴上正半轴上，且，，．
(1)求过A，B，C三点的抛物线解析式．
(2)设抛物线的对称轴与边交于点，若是对称轴上的点，且满足以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
(3)在对称轴和抛物线上是否分别存在点、，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点、点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2024·广东广州·模拟预测）已知直线过点，．
(1)求直线的函数解析式；
(2)设点在上，抛物线G：与轴交于点，（点在点右侧），与轴交于点．
①当时，试用含的代数式表示四边形的面积；
②当，，中有两点与点，围成的四边形是平行四边形时，求的函数解析式．
20．（2024·山西·模拟预测）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为，连接．
(1)求抛物线的函数表达式及点C的坐标．
(2)当的面积等于的面积的时，求m的值．
(3)在（2）的条件下，若M为x轴上一动点，N是抛物线上一动点，是否存在以点C，P，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（2024·安徽·模拟预测）已知二次函数的图象顶点为，二次函数的图象顶点为．
(1)分别求出点，的坐标（用表示）；
(2)证明：函数与的图象相交于，两点；
(3)当时，点，为图象上的动点，且点在点，之间，，两点的横坐标分别为，，作轴交于点，轴交直线于点，若四边形，为平行四边形，求的值．
22．（2024·四川南充·模拟预测）如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，将直线绕点B逆时针旋转交y轴于点D，在直线上有一点P，求周长的最小值及此时点P的坐标；
(3)如图3，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
►类型5二次函数中的特殊平行四边形存在性问
23．（2024·湖南·模拟预测）如图，二次函数图象顶点坐标为，一次函数图象与二次函数图象相交于y轴上一点，同时相交于x正半轴上点C．
(1)试求二次函数与一次函数的表达式．
(2)连接，试求四边形的面积．
(3)假设点P 是二次函数对称轴上一动点，点Q 是平面直角坐标系中任意一点，是否存在这样的点P 及点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2024·山西长治·模拟预测）综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积；
(3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中存在两条抛物线，抛物线交轴于点，，顶点坐标为．抛物线交轴于点，，顶点坐标为，（）．
(1)求线段的长；
(2)若点在抛物线上，点在抛物线上．试讨论和大小；
(3)若点，在抛物线上，且满足，求的取值范围；
(4)若S、T分别为、上的动点，当为菱形时，是否存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出S和T的横坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2024·山西太原·模拟预测）综合与探究
如图1，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点．点P是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交抛物线于另一点E．
(1)求点A，B，C的坐标．
(2)如图2，当点P在第二象限时，连接，交直线于点F．当时，求m的值．
(3)当点P在第三象限时，以为边作正方形，当点C在正方形的边上时，直接写出点D的坐标．
27．（2024·甘肃·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，P是直线下方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，连接，，并把沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，求出点P的坐标；
(3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标及此时线段的长．
28．（2024·山东泰安·二模）如图，抛物线经过点A−2,0，点B4,0，与轴交于点，过点作直线轴，与抛物线交于点，作直线，连接．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)是抛物线上的点，求满足的点的坐标；
(3)点在轴上，且位于点的上方，点在直线上，点为直线上方抛物线上一点，是否存在点使四边形为菱形，如果存在，请直接写出点的坐标．如果不存在，请说明理由．
►类型6二次函数中的角度存在性问题
29．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线．
(1)如图1，抛物线与直线交于、两点点在左侧）．
①求、的坐标；
②点在直线上，且在第四象限，过点作轴交抛物线于点，交于点，连接，过点作交于，求的长．
(2)如图2，将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移4个单位长度得抛物线，直线与抛物线交于、两点，在抛物线上是否存在定点，使得对于任意实数都有？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
30．（2024·湖南·二模）已知抛物线的顶点为A，M，N是抛物线上的两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为（为常数，且），将抛物线向上平移3个单位得到抛物线，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于B，D两点（点B在点D的左侧）．
(1)求顶点A的坐标；
(2)连接，若轴，求m的值；
(3)如图，在直线上方的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
31．（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，抛物线的顶点为，直线与抛物线交于点，若为等腰直角三角形，我们把抛物线上两点之间的部分与线段围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段称为碟宽，顶点称为碟顶，由定义知，取中点，连结与的关系是______．抛物线对应的准蝶形必经过，则=______，对应的碟宽是______．抛物线对应的碟宽在轴上，且．
①求抛物线的解析式；
②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点，使得为锐角，若有，请求出的取值范围．若没有，请说明理由．
32．（2024·重庆江津·模拟预测）如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，P为直线下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图3，连接，，抛物线上是否存在一点M，使得？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
33．（2024·江苏淮安·模拟预测）已知二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且当和时，二次函数的函数值相等．
(1)填空： ， ；
(2)如图1，动点、同时从点出发，其中点以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，点以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动．当点到达终点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒．连接，将沿翻折，使点落在点处，得到．设与重叠部分的面积为，求关于的函数表达式，并注明的取值范围；
(3)如图2，点是直线下方抛物线上一动点，过点作，垂足为，连接，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
►类型7二次函数中的周长存在性问题
34．（2024·河北张家口·模拟预测） 如图，二次函数的图象交轴于、两点，并经过点，已知点坐标是，点坐标是．求二次函数的解析式；求函数图象的顶点坐标及点的坐标；二次函数的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若点存在，求出点的坐标；若点不存在，请说明理由．
35．（2024·山西·一模）抛物线过点，点，与y轴交于C点．
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)如图1，设M是抛物线上的一点，若，求M点的坐标；
(3)如图2，点P在直线下方的抛物线上，过点P作轴于点D，交直线于点E，过P点作，交与F点，的周长是否有最大值，若有最大值，求出此时P点的坐标．若不存在，说明理由．
►类型8二次函数中的面积存在性问题
36．（2024·安徽·三模）抛物线交x轴于，，交y轴于点C，点E为对称轴l与x轴的交点，点P为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式：
(2)求面积的最大值；
(3)点Q为l上一点，连接，若，，求m的值．
37．（2024·湖北武汉·模拟预测）为培养学生劳动实践能力，某研学基地计划在一块形状为三角形的土地上开辟出一块矩形土地（如图1所示）供种菜使用，其中米，边上的高为米，要求长方形的一边在上，其余两个顶点分别在上．为了方便学生使用，计划在开辟出来的长方形土地上建造三条如图所示的宽均为a（）米的道路（图2中阴影部分）．
(1)若所开辟的土地为正方形，求该正方形的边长；
(2)若所开辟的土地为矩形，求矩形的最大面积；
(3)当时，若开辟的矩形土地上供学生种菜的面积最大值与最小值之差恰好为6平方米，求此时路宽a的值．
38．（2024·广东东莞·模拟预测）如图1，抛物线与x 轴交于点和点B，与 y 轴交于点C，连接，已知，点M是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图2，抛物线的对称轴与x 轴相交于点P，与线段相交于点Q，点N 是抛物线的对称轴上的点，且满足，求点N 的坐标．
(3)如图3，连接，点D 是线段上的一个动点，过点D 作交于点E，于 点F， 连接．当面积最大时，求此时点D的坐标．
39．（2024·山西大同·二模）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，直线经过B，C两点，E是第一象限抛物线上一点，连接交x轴于点D，连接．
(1)求点B的坐标及抛物线的函数表达式
(2)当时，
①求点D的坐标；
②抛物线上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
40．（2024·湖南·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过点，点，并与轴有另一交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线AB下方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值；
(3)在轴上有一个动点，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段．直接写出线段与抛物线只有一个公共点时的取值范围．
41．（2024·四川乐山·模拟预测）已知二次函数（）与轴交于、两点，与轴交于，顶点为．
(1)如图①，若为直角三角形，求的值；
(2)如图②，设AD与交于，在的变化过程中，与不重合部分的面积比的值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，说明理由；
(3)如图③，若，作的中点，过点在第二象限内作轴的垂线段，以、为邻边作矩形，记矩形与重叠部分的面积为，矩形以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过点时，停止运动．设运动时间为，求与的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围．在运动过程中，是否存在最大值，若存在，直接写出这个最大值．
42．（2024·云南昆明·一模）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且满足．
(1)求抛物线的解析式；
(2)M是线段上的一点（不与点B，C重合），过点M作轴交抛物线于点N，交x轴于点D，连接，若点M的横坐标为m，是否存在点M，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．