山东青岛第五十八中学2025-2026学年高二年级第一学期期末检测数学试题（含答案解析）

这是一份山东青岛第五十八中学2025-2026学年高二年级第一学期期末检测数学试题（含答案解析），共21页。试卷主要包含了解答题，填空题，多选题，单选题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1. 已知函数，其中．
(1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设分别为在区间的极值点和零点.
（i）设函数.证明：在区间单调递减；
（ii）比较与的大小，并证明你的结论．
2. 设m为正整数，数列，，…，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和（）后剩余的项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，，…，是-可分数列.
(1)写出所有的，，使数列，，…，是-可分数列；
(2)当时，证明：数列，，…，是-可分数列；
(3)从1，2，..，中任取两个数i和j（），记数列，，…，是-可分数列的概率为，证明：.
3. 已知和为椭圆上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．
4. 如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
5. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
二、填空题
6. 已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
7. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________.
8. 双曲线的渐近线方程为________
三、多选题
9. 设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（ ）
10. 已知点在圆上，点、，则（ ）
11. 已知函数，则（ ）
四、单选题
12. 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（ ）
13. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
14. 已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
15. 等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
16. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
17. 在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（ ）
18. 若抛物线的焦点为，则（ ）
19. 下列数列中是等差数列也是等比数列的是（ ）
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．点在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D．当点在C上时，
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
A．有两个极值点
B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
A．4
B．5
C．6
D．7
A．
B．
C．
D．
A．（）
B．（）
C．（）
D．（）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
A．
B．e
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．1
C．2
D．4
A．1，，1，，1
B．1，2，3，4，5
C．5，5，5，5，5
D．1，2，3，5，7