新疆维吾尔自治区哈密市2025-2026学年高三下学期第五次调研考试数学试题（含答案解析）

这是一份新疆维吾尔自治区哈密市2025-2026学年高三下学期第五次调研考试数学试题（含答案解析），共11页。试卷主要包含了下列结论中正确的个数是，设，，则等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从名男生，，和名女生，，中各随机选出两名，把选出的人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则和两人组成一队参加比赛的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（ ）

A．B．C．D．
3．已知平面向量满足，且，则所夹的锐角为（ ）
A．B．C．D．0
4．如图，圆的半径为，，是圆上的定点，，是圆上的动点， 点关于直线的对称点为，角的始边为射线，终边为射线，将表示为的函数，则在上的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
5．下列结论中正确的个数是（ ）
①已知函数是一次函数，若数列通项公式为，则该数列是等差数列；
②若直线上有两个不同的点到平面的距离相等，则；
③在中，“”是“”的必要不充分条件；
④若，则的最大值为2.
A．1B．2C．3D．0
6．设，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．已知复数，则对应的点在复平面内位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
8．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
9．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（ ）．
A．B．C．D．
10．已知向量，满足，在上投影为，则的最小值为( )
A．B．C．D．
11．已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同两点，，直线与抛物线交于另一点．给出以下判断：
①直线与直线的斜率乘积为；
②轴；
③以为直径的圆与抛物线准线相切.
其中，所有正确判断的序号是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
12．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，则|a＋bi|＝( )．
A．B．C．D．5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．三个小朋友之间送礼物，约定每人送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同），则三人都收到礼物的概率为______.
14．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．
15．曲线在点（1，1）处的切线与轴及直线=所围成的三角形面积为，则实数=____。
16．设，则除以的余数是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，∠，是边长为2的正三角形，，为线段的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若为线段上一点，当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积．
18．（12分）心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系中，方程（）表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴所在的直线为轴，极点为坐标原点的直角坐标系中.已知曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若曲线与相交于、、三点，求线段的长.
19．（12分）已知点为圆：上的动点，为坐标原点，过作直线的垂线（当、重合时，直线约定为轴），垂足为，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求点的轨迹的极坐标方程；
（2）直线的极坐标方程为，连接并延长交于，求的最大值.
20．（12分）在综合素质评价的某个维度的测评中，依据评分细则，学生之间相互打分，最终将所有的数据合成一个分数，满分100分，按照大于或等于80分的为优秀，小于80分的为合格，为了解学生的在该维度的测评结果，在毕业班中随机抽出一个班的数据.该班共有60名学生，得到如下的列联表：
已知在该班随机抽取1人测评结果为优秀的概率为.
（1）完成上面的列联表；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与测评结果有关系？
（3）现在如果想了解全校学生在该维度的表现情况，采取简单随机抽样方式在全校学生中抽取少数一部分来分析，请你选择一个合适的抽样方法，并解释理由.
附：
21．（12分）已知矩阵，求矩阵的特征值及其相应的特征向量．
22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，曲线：（为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系取相同单位长度的极坐标系中，曲线：.
（1）求曲线的普通方程以及曲线的平面直角坐标方程；
（2）若曲线上恰好存在三个不同的点到曲线的距离相等，求这三个点的极坐标.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
根据组合知识，计算出选出的人分成两队混合双打的总数为，然后计算和分在一组的数目为，最后简单计算，可得结果.
【详解】
由题可知：
分别从3名男生、3名女生中选2人 ：
将选中2名女生平均分为两组：
将选中2名男生平均分为两组：
则选出的人分成两队混合双打的总数为：
和分在一组的数目为
所以所求的概率为
故选：B
本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成组，则要除以，即，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.
2．C
【解析】
由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案．
【详解】
由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
其底面面积，高，
故体积，
故选：．
本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
3．B
【解析】
根据题意可得，利用向量的数量积即可求解夹角.
【详解】
因为
即
而
所以夹角为
故选：B
本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题.
4．B
【解析】
根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解.
【详解】
由题意，当时，P与A重合，则与B重合，
所以,故排除C,D选项；
当时，，由图象可知选B.
故选：B
本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.
5．B
【解析】
根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可；
【详解】
解：①已知函数是一次函数，若数列的通项公式为，
可得为一次项系数），则该数列是等差数列，故①正确；
②若直线上有两个不同的点到平面的距离相等，则与可以相交或平行，故②错误；
③在中，，而余弦函数在区间上单调递减，故 “”可得“”，由“”可得“”，故“”是“”的充要条件，故③错误；
④若，则，所以，当且仅当时取等号，故④正确；
综上可得正确的有①④共2个；
故选：B
本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
6．D
【解析】
由不等式的性质及换底公式即可得解.
【详解】
解：因为，，则，且，
所以，，
又,
即,则，
即，
故选：D.
本题考查了不等式的性质及换底公式，属基础题.
7．A
【解析】
利用复数除法运算化简，由此求得对应点所在象限.
【详解】
依题意，对应点为，在第一象限.
故选A.
本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题.
8．C
【解析】
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可，
【详解】
由题意可知几何体的直观图如图：
上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥,
几何体的表面积为：，
故选：C
本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.
9．B
【解析】
根据角终边上的点坐标，求得，代入二倍角公式即可求得的值.
【详解】
因为终边上有一点，所以，
故选：B
此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目.
10．B
【解析】
根据在上投影为，以及，可得；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入即可求得.
【详解】
在上投影为，即

又
本题正确选项：
本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到的最小值.
11．B
【解析】
由题意，可设直线的方程为，利用韦达定理判断第一个结论；将代入抛物线的方程可得，，从而，，进而判断第二个结论；设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，进而判断第三个结论.
【详解】
解：由题意，可设直线的方程为，
代入抛物线的方程，有．
设点，的坐标分别为，，
则，．
所．
则直线与直线的斜率乘积为．所以①正确．
将代入抛物线的方程可得，，从而，，
根据抛物线的对称性可知，，两点关于轴对称，
所以直线轴．所以②正确．
如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，
则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，
则．所以③不正确．
故选：B.
本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题．
12．C
【解析】
试题分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根据复数相等的充要条件，有a＝－，b＝－1
所以|a＋bi|＝，选C
考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
基本事件总数，三人都收到礼物包含的基本事件个数．由此能求出三人都收到礼物的概率．
【详解】
三个小朋友之间准备送礼物，
约定每人只能送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同），
基本事件总数，
三人都收到礼物包含的基本事件个数．
则三人都收到礼物的概率．
故答案为：．
本题考查古典概型概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题.
14．丙
【解析】
若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙．
考点：反证法在推理中的应用.
15．或1
【解析】
利用导数的几何意义，可得切线的斜率，以及切线方程，求得切线与轴和的交点，由三角形的面积公式可得所求值．
【详解】
的导数为，
可得切线的斜率为3，切线方程为，
可得，可得切线与轴的交点为，，切线与的交点为，
可得，解得或。
本题主要考查利用导数求切线方程，以及直线方程的运用，三角形的面积求法。
16．1
【解析】
利用二项式定理得到，将89写成1+88，然后再利用二项式定理展开即可.
【详解】
，因展开式中
后面10项均有88这个因式，所以除以的余数为1.
故答案为：1
本题考查二项式定理的综合应用，涉及余数的问题，解决此类问题的关键是灵活构造二项式，并将它展开分析，本题是一道基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析； （2）.
【解析】
（1）先证明，可证平面，再由可证平面，即得证；
（2）以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设，求解面的法向量，面的法向量，利用二面角的余弦值为，可求解，转化即得解.
【详解】
（1）证明：因为是正三角形，为线段的中点，
所以．
因为是菱形，所以．
因为，所以是正三角形，
所以，所以平面．
又，所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
（2）由（1）知平面，
所以，．
而，
所以，．
又，
所以平面．
以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．
则．
于是，，．
设面的一个法向量，
由得
令，则，
即．
设，
易得，．
设面的一个法向量，
由得
令，则，，
即．
依题意，
即，
令，则，
即，即．
所以．
本题考查了空间向量和立体几何综合，考查了面面垂直的判断，二面角的向量求解，三棱锥的体积等知识点，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
18．（1）（）；（2）.
【解析】
（1）化简得到直线方程为，再利用极坐标公式计算得到答案.
（2）联立方程计算得到，，计算得到答案 .
【详解】
（1）由消得，即，
是过原点且倾斜角为的直线，∴的极坐标方程为（）.
（2）由得，∴，
由得∴，∴.
本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
19．（1）；（2）
【解析】
（1）设的极坐标为，在中，有，即可得结果；
（2）设射线：，，圆的极坐标方程为，联立两个方程，可求出，联立可得，则计算可得，利用三角函数的性质可得最值.
【详解】
（1）设的极坐标为，在中，有，
点的轨迹的极坐标方程为；
（2）设射线：，，圆的极坐标方程为，
由得：，
由得：，
，
，
当，即时，，
的最大值为.
本题考查极坐标方程的应用，考查三角函数性质的应用，是中档题.
20．（1）见解析；（2）在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“性别与测评结果有关系”（3）见解析.
【解析】
（1）由已知抽取的人中优秀人数为20，这样结合已知可得列联表；
（2）根据列联表计算，比较后可得；
（3）由于性别对结果有影响，因此用分层抽样法．
【详解】
解：（1）
（2）由于，
因此在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“性别与测评结果有关系”.
（3）由（2）可知性别有可能对是否优秀有影响，所以采用分层抽样按男女生比例抽取一定的学生，这样得到的结果对学生在该维度的总体表现情况会比较符合实际情况.
本题考查独立性检验，考查分层抽样的性质．考查学生的数据处理能力．属于中档题．
21．矩阵属于特征值的一个特征向量为，矩阵属于特征值的一个特征向量为
【解析】
先由矩阵特征值的定义列出特征多项式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程组，即可求得相应的特征向量.
【详解】
由题意，矩阵的特征多项式为，
令，解得，，
将代入二元一次方程组，解得，
所以矩阵属于特征值的一个特征向量为；
同理，矩阵属于特征值的一个特征向量为v
本题主要考查了矩阵的特征值与特征向量的计算，其中解答中熟记矩阵的特征值和特征向量的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
22．（1），;（2），，.
【解析】
(1)把曲线 的参数方程与曲线 的极坐标方程分别转化为直角坐标方程；(2)利用图象求出三个点的极径与极角.
【详解】
解：（1）由消去参数得，
即曲线的普通方程为，
又由得
即为，即曲线的平面直角坐标方程为
（2）∵圆心到曲线：的距离，
如图所示，所以直线与圆的切点以及直线与圆的两个交点，即为所求．
∵，则，直线的倾斜角为，
即点的极角为，所以点的极角为，点的极角为，
所以三个点的极坐标为，，.
本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.
优秀
合格
总计
男生
6
女生
18
合计
60
0.25
0.10
0.025
1.323
2.706
5.024
优秀
合格
总计
男生
6
22
28
女生
14
18
32
合计
20
40
60