2025-2026学年新疆维吾尔自治区哈密市高三最后一卷数学试卷（含答案解析）

这是一份2025-2026学年新疆维吾尔自治区哈密市高三最后一卷数学试卷（含答案解析），共30页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，若集合，，则，已知函数等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线：的左右焦点分别为，，为双曲线上一点，为双曲线C渐近线上一点，，均位于第一象限，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知抛物线：（）的焦点为，为该抛物线上一点，以为圆心的圆与的准线相切于点，，则抛物线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数（）的部分图象如图所示，且，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
7．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了年至年国家财政性教育经费投入情况及其在中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ）
A．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长
B．年以来，国家财政性教育经费的支出占比例持续年保持在以上
C．从年至年，中国的总值最少增加万亿
D．从年到年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是年
8．已知集合M＝{y｜y＝，x＞0}，N＝{x｜y＝lg（2x－）}，则M∩N为（ ）
A．（1，＋∞）B．（1，2）C．[2，＋∞）D．[1，＋∞）
9．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出属于（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数（，且）在区间上的值域为，则（ ）
A．B．C．或D．或4
11．已知双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上与不重合的动点，若， 则双曲线的离心率为( )
A．B．C．4D．2
12．已知三棱锥的体积为2，是边长为2的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是中点，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为_______.
14．为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间的一等品，在区间和的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．
15．设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差________，通项公式________.
16．在平行四边形中，已知，，，若，，则____________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）若曲线存在与轴垂直的切线，求的取值范围.
（2）当时，证明：.
18．（12分）已知，函数有最小值7.
（1）求的值；
（2）设，，求证：.
19．（12分）年，山东省高考将全面实行“选”的模式（即：语文、数学、外语为必考科目，剩下的物理、化学、历史、地理、生物、政治六科任选三科进行考试）.为了了解学生对物理学科的喜好程度，某高中从高一年级学生中随机抽取人做调查.统计显示，男生喜欢物理的有人，不喜欢物理的有人；女生喜欢物理的有人，不喜欢物理的有人.
（1）据此资料判断是否有的把握认为“喜欢物理与性别有关”；
（2）为了了解学生对选科的认识，年级决定召开学生座谈会.现从名男同学和名女同学（其中男女喜欢物理）中，选取名男同学和名女同学参加座谈会，记参加座谈会的人中喜欢物理的人数为，求的分布列及期望.
，其中.
20．（12分）已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.
（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.
（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.
21．（12分）已知函数.
（1）当时，解关于的不等式；
（2）若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.
22．（10分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点.
（1）证明：平面；
（2）设是直线上的动点，当点到平面距离最大时，求面与面所成二面角的正弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
由双曲线的方程的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，为双曲线的渐近线上的一点，且都位于第一象限，且，
可知为的三等分点，且,
点在直线上，并且，则，，
设，则，
解得，即，
代入双曲线的方程可得，解得，故选D．
点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．
2．C
【解析】
根据抛物线方程求得点的坐标，根据轴、列方程，解方程求得的值.
【详解】
不妨设在第一象限，由于在抛物线上，所以，由于以为圆心的圆与的准线相切于点，根据抛物线的定义可知，、轴，且.由于，所以直线的倾斜角为，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以抛物线的方程为.
故选：C
本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
3．A
【解析】
根据排除，，利用极限思想进行排除即可．
【详解】
解：函数的定义域为，恒成立，排除，，
当时，，当，，排除，
故选：．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题．
4．D
【解析】
试题分析：抛物线焦点在轴上，开口向上，所以焦点坐标为，准线方程为，因为点A的纵坐标为4，所以点A到抛物线准线的距离为，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.
考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.
点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.
5．B
【解析】
根据正弦函数的性质可得集合A，由集合性质表示形式即可求得，进而可知满足.
【详解】
依题意，；
而
，
故，
则.
故选：B.
本题考查了集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.
6．A
【解析】
是函数的零点，根据五点法求出图中零点及轴左边第一个零点可得．
【详解】
由题意，，∴函数在轴右边的第一个零点为，在轴左边第一个零点是，
∴的最小值是．
故选：A.
本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性．函数的零点就是其图象对称中心的横坐标．
7．C
【解析】
观察图表，判断四个选项是否正确．
【详解】
由表易知、、项均正确，年中国为万亿元，年中国为万亿元，则从年至年，中国的总值大约增加万亿，故C项错误．
本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础．
8．B
【解析】
，
，
∴．
故选．
9．B
【解析】
由题意，框图的作用是求分段函数的值域，求解即得解.
【详解】
由题意可知，
框图的作用是求分段函数的值域，
当；
当
综上：.
故选：B
本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.
10．C
【解析】
对a进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解.
【详解】
分析知，.讨论：当时，，所以，，所以；当时，，所以，，所以.综上，或，故选C.
本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.
11．D
【解析】
设，，，根据可得①，再根据又②，由①②可得，化简可得，即可求出离心率．
【详解】
解：设，，，
∵，
∴，即，①
又，②，
由①②可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
故选：D．
本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．
12．A
【解析】
根据是中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解.
【详解】
解：设点到平面的距离为，因为是中点，
所以到平面的距离为，
三棱锥的体积，解得，
作平面，垂足为的外心，所以，且，
所以在中，，此为球的半径，
.
故选：A.
本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据双曲线方程，可得渐近线方程，结合题意可表示，再由双曲线a，b，c关系表示，最后结合双曲线离心率公式计算得答案.
【详解】
因为双曲线为，所以该双曲线的渐近线方程为.
又因为其一条渐近线经过点，即，则，
由此可得.
故答案为：.
本题考查由双曲线的渐近线构建方程表示系数关系进而求离心率，属于基础题.
14．100.
【解析】
分析：根据频率分布直方图得到三等品的频率，然后可求得样本中三等品的件数．
详解：由题意得，三等品的长度在区间，和内，
根据频率分布直方图可得三等品的频率为，
∴样本中三等品的件数为.
点睛：频率分布直方图的纵坐标为，因此每一个小矩形的面积表示样本个体落在该区间内的频率，把小矩形的高视为频率时常犯的错误．
15．2
【解析】
直接利用等差数列公式计算得到答案.
【详解】
，，解得，，故.
故答案为：2；.
本题考查了等差数列的基本计算，意在考查学生的计算能力.
16．
【解析】
设，则，得到，，利用向量的数量积的运算，即可求解．
【详解】
由题意，如图所示，设，则，
又由，，所以为的中点，为的三等分点，
则，，
所以
．
本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）在上有解，，设，求导根据函数的单调性得到最值，得到答案.
（2）证明，只需证，记，求导得到函数的单调性，得到函数的最小值，得到证明.
【详解】
（1）由题可得，在上有解，
则，令，，
当时，单调递增；当时，单调递减.
所以是的最大值点，所以.
（2）由，所以，
要证明，只需证，即证.
记在上单调递增，且，
当时，单调递减；当时，单调递增.
所以是的最小值点，，则，
故.
本题考查了函数的切线问题，证明不等式，意在考查学生的综合应用能力和转化能力.
18．（1）.（2）见解析
【解析】
（1）由绝对值三解不等式可得，所以当时，，即可求出参数的值；
（2）由，可得，再利用基本不等式求出的最小值，即可得证；
【详解】
解：
（1）∵
，
∴当时，，解得.
（2）∵，∴，
∴，
当且仅当，即，时，等号成立.
∴.
本题主要考查绝对值三角不等式及基本不等式的简单应用，属于中档题．
19．（1）有的把握认为喜欢物理与性别有关；（2）分布列见解析，.
【解析】
（1）根据题目所给信息，列出列联表，计算的观测值，对照临界值表可得出结论；
（2）设参加座谈会的人中喜欢物理的男同学有人，女同学有人，则，确定的所有取值为、、、、．根据计数原理计算出每个所对应的概率，列出分布列计算期望即可．
【详解】
（1）根据所给条件得列联表如下：
，
所以有的把握认为喜欢物理与性别有关；
（2）设参加座谈会的人中喜欢物理的男同学有人，女同学有人，则，
由题意可知，的所有可能取值为、、、、．
，
，
，
，
.
所以的分布列为：
所以.
本题考查了独立性检验、离散型随机变量的概率分布列．离散型随机变量的期望．属于中等题．
20．（1）证明见解析；（2）存在，
【解析】
（1）将点代入椭圆方程得到，结合基本不等式，求得取得最小值时，进而证得椭圆的离心率为.
（2）当直线的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，求得到直线的距离.当直线的斜率存在时，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用，则列方程，求得的关系式，进而求得到直线的距离.根据上述分析判断出所求的圆存在，进而求得定圆的方程.
【详解】
（1）证明：∵椭圆经过点，∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
此时椭圆的离心率.
（2）解：∵椭圆的焦距为2，∴，又，∴，.
当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.
∵，在椭圆上，∴，∴，∴到直线的距离.
当直线的斜率存在时，设的方程为.
由，得，
.
设，，则，.
∵，∴，
∴，
∴，即，
∴到直线的距离.
综上，到直线的距离为定值，且定值为，故存在定圆：，使得圆与直线总相切.
本小题主要考查点和椭圆的位置关系，考查基本不等式求最值，考查直线和椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
21．（1）；（2）.
【解析】
（1）分类讨论去绝对值号，然后解不等式即可.
（2）因为对任意，都存在，使得不等式成立，等价于，根据绝对值不等式易求，根据二次函数易求，
然后解不等式即可.
【详解】
解：（1）当时，，则
当时，由得，，解得；
当时，恒成立；
当时，由得，，解得.
所以的解集为
（2）对任意，都存在，得成立，等价于.
因为，所以，
且|
，①
当时，①式等号成立，即.
又因为，②
当时，②式等号成立，即.
所以，即
即的取值范围为：.
知识：考查含两个绝对值号的不等式的解法；恒成立问题和存在性问题求参变数的范围问题；能力：分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力；中档题.
22．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）取中点，连接，根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；
（2）根据面面垂直的判定定理和性质定理，可以确定点到直线的距离即为点到平面的距离，结合垂线段的性质可以确定点到平面的距离最大，最大值为1.
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系.利用空间向量夹角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】
（1）证明：取中点，连接，
因为四边形为菱形且.
所以，
因为，所以，
又，
所以平面，因为平面，
所以.
同理可证，
因为，
所以平面.
（2）解：由（1）得平面，
所以平面平面，平面平面.
所以点到直线的距离即为点到平面的距离.
过作的垂线段，在所有的垂线段中长度最大的为，此时必过的中点，
因为为中点，所以此时，点到平面的距离最大，最大值为1.
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系.
则
所以
平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则即
取，则，
，
所以，
所以面与面所成二面角的正弦值为.
本题考查了线面垂直的判定定理和性质的应用，考查了二面角的向量求法，考查了推理论证能力和数学运算能力.
男
女
合计
喜欢物理
不喜欢物理
合计